江苏省2012届高三数学 全真模拟卷卷13

江苏省2012届高三全真模拟卷数学卷13

一.填空题（每题5分，共70分） 1. 复数(2?i)i的虚部是

2．如3?a,a2?2a,则实数a的值等于

???1x3. 若函数f(x)??(4),?1?x?0，则f(log3)?

?4?4x,0?x?1?4．等比数列{an}中，Sn表示前n顶和，a3?2S2?1,a4?2S3?1，则公比q为 5．在集合?1,2,3?中先后随机地取两个数，若把这两个数按照取的先后顺序组成一个二位数，

则“个位数与十位数不相同”的概率是 .

6．设?,?为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m??,n??,则m?n；②若m??,n??,m∥?,n∥?，则?∥?； ③若???,????m,n??,n?m,则n??；④若m??,???,m//n,则n//?， 其中所有正确命题的序号是 ． 7．已知xy?0，则|x?11|?|y?|的最小值为 2y2x8．已知定义域为R的函数f?x?在区间?8,???上为减函数，且函数y?f?x?8?为偶函数，则给出如下四个判断：正确的有

①f?6??f?7? ②f?6??f?9? ③f?7??f?9? ④f?7??f?10?

??AA9．已知角A、B、C是?ABC的内角，a,b,c分别是其对边长，向量m?(23sin,cos2),，

22????3A则b? n?(cos,?2)，m?n，且a?2,cosB?3210．直线

xy11??1通过点M(cos?,sin?),则2?2的取值范围为 abab11．已知f(x)?sin(?x??最大值，则??__________．

)(??0),f()?f()，且f(x)在区间(,)有最小值，无

36363????12. 在区间?t,t?1?上满足不等式x3?3x?1?1的解有且只有一个，则实数t?

?????????????C1???????13． 在△ABC中，tan?,AH?BC?0,AB?(CA?CB)?0，H在BC边上，则过点B

22以A、H为两焦点的双曲线的离心率为

用心 爱心 专心

- 1 -

14. 已知数列?an?满足：a1?m（m为正整数），an?1?an?,当an为偶数时，若a4?7，??2?3an?1,当an为奇数时?则m所有可能的取值为 二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分）

15.（14分）设函数f(x)??x?2x?a(0?x?3)的最大值为m，最小值为n， 其中a?0,a?R．

（1）求m、n的值（用a表示）；

（2）已知角?的顶点与平面直角坐标系xoy中的原点o重合，始边与x轴的正半轴重合，

终边经过点A(m?1,n?3)．求tan(??

16. （14分）在直角梯形PBCD中，?D??C?2?3)的值．

?2,BC?CD?2,PD?4，A为PD的中点，

???????3如下左图。将?PAB沿AB折到?SAB的位置，使SB?BC，点E在SD上，且SE?1SD，

M,N分别是线段AB,BC的中点，如右图．

（1）求证：SA?平面ABCD； （2）求证：平面AEC∥平面SMN．

17. （14分）如图，在一条笔直的高速公路MN的同旁有两个城镇A、B，它们与MN的距离分别是akm与8km(a?8)，A、B在MN上的射影P、Q之间距离为12km，现计划修普通公路把这两个城镇与高速公路相连接，若普通公路造价为50万元/km；而每个与高速公路连接的立交出入口修建费用为200万元．设计部门提交了以下三种修路方案：

方案①：两城镇各修一条普通公路到高速公路，并各修一个立交出入口； 方案②：两城镇各修一条普通公路到高速公路上某一点K，并 在K点修一个公共立交出入口；

方案③：从A修一条普通公路到B，再从B修一条普通公路到 高速公路，也只修一个立交出入口．

请你为这两个城镇选择一个省钱的修路方案．

用心 爱心 专心 - 2 -

x2y218. （16分）已知椭圆2?2?1(a?b?0)和圆O:x2?y2?b2O：，过椭圆上一点P引

ab圆O的两条切线，切点分别为A,B．

（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e的值； （ⅱ）若椭圆上存在点P，使得?APB?900，求椭圆离心率e的取值范围；

（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M,N，问当点P在椭圆

a2b2上运动时，是否为定值？请证明你的结论． ?22ONOM

19. （16分）对于数列{an}，定义数列{an?1?an}为{an}的“差数列”.

（I）若{an}的“差数列”是一个公差不为零的等差数列，试写出{an}的一个通项公式； （II）若a1?2,{an}的“差数列”的通项为2，求数列{an}的前n项和Sn；

（III）对于（II）中的数列{an}，若数列{bn}满足anbnbn?1??21?28(n?N*),且b4??7，求：①数列{bn}的通项公式；②当数列{bn}前n项的积最大时n的值．

20. （16分）已知函数f(x)的图像在[a,b]上连续不断，定义：

nf1(x)?min{f(t)/a?t?x}(x?[a,b])，f2(x)?max{f(t)/a?t?x}(x?[a,b])，其中

min{f(x)/x?D)表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)/x?D)表示函数f(x)在

D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”

（1）若f(x)?cosx,x?[0,?]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；

（2）已知函数f(x)?x,x?[?1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k阶收缩函数”，

如果是，求出对应的k，如果不是，请说明理由；

（3）已知b?0，函数f(x)??x?3x,是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围

用心 爱心 专心

- 3 -

322

附加题

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

21.（选修4—2：矩阵与变换）

? 3 3??1?

已知矩阵A＝?，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α＝1???，属于特征值1的

c d???1?

? 3?

一个特征向量为α2＝??．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

?－2?

22．（选修4—4：坐标系与参数方程）

已知曲线C的极坐标方程为??4sin?，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直

1?x?t?2?角坐标系，直线的参数方程为?（为参数），求直线被曲线C截得的线段长度.

?y?3t?1??2

23．某中学选派40名同学参加青年志愿者服务队（简称“青志队”），他们参加活动的次数统计如表所示．

(Ⅰ)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等

的概率；

用心 爱心 专心 - 4 -

(Ⅱ)从“青志队”中任选两名学生，用?表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量

?的分布列及数学期望E?．

活动次数 2 3

参加人数 5 15 20

24．用a,b,c,d四个不同字母组成一个含n?1(n?N*)个字母的字符串，要求由a开始，相邻两个字母不同. 例如n?1时，排出的字符串是ab,ac,ad；n?2时排出的字符串是

aba,abc,abd,aca,acb,acd,ada,adb,adc，??， 如图所示.记这含n?1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是a的字符串的种数为an.

3n?3(?1)n（1）试用数学归纳法证明：an?(n?N*,n?1)；

4*（2）现从a,b,c,d四个字母组成的含n?1(n?N,n?2)个字母的所有字符串中随机抽取一个字符串，字符串最后一个的字母恰好是a21的概率为P，求证：?P?.

93

参考答案

一.填空题（每题5分，共70分）

422 6．①③ 7．22 8．.④ 9．10．?1,???

335?11411． 12. t?(0,3?1) 13． 2 14. 56和9

3

1.2 2．-1 3. 3 4．3 5．

二.解答题（请给出完整的推理和运算过程，否则不得分） 15. 解（１） 由题可得f?x????x?1??1?a用心 爱心 专心

2而0?x?3．．．．．．３分

- 5 -

所以，m?f?1??1?a,n?f?3??a?3．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 （２）角?终边经过点A?a,a?，则tan??a．．．．．．．．．１０分 ?1．a 所以，tan???????3?1?3??2?3．．．．．．．．１４分 ??3?1?tan?tan?1?33tan??tan?16. （14分）（1）证明：由题意可知，BA?PD,ABCD为正方形， 所以在图中，SA?AB,SA?2，

四边形ABCD是边长为2的正方形， 因为SB?BC，AB?BC，

所以BC?平面SAB， ????????????3分 又SA?平面SAB，所以BC?SA，又SA?AB，

所以SA?平面ABCD，????????????6分

（2）证明：连接BD，设BD?MN?G,BD?AC?O， 连接SG,EO， 正方形ABCD中，因为M,N分别是线段AB,BC的中点，所以MN//AC， 且DO?2OG，????????9分 又SE?1SD，所以：DE?2SE，所以EO//SG 3所以平面SMN//平面EAC。???????????12分

17. （14分）解：方案①：共修(8?a)km普通公路和两个立交出入口， 所需资金为A1?50(8?a)?400?50(a?16)万元； 方案②：取B关于MN的对称点B'，连AB'与MN交于K， 在K修一个出入口，则路程最短，共需资金：

A2?50(a?8)2?122?200?50[(a?8)2?144?4]万元； 方案③：连接AB沿ABQ修路，在Q修一个出入口，共需资金： A3?50[(a?8)2?122?8]?200?50[(a?8)2?144?12]万元

由于a?8，比较大小有A1?A2?A3，（12分）故选择方案（3）．

18. （16分）解：（1）（ⅰ）∵ 圆O过椭圆的焦点，圆O： x?y?b，∴ b?c，

∴ b2?a2?c2?c2， a2?2c2，∴e?（ⅱ）由?APB?90?及圆的性质，可得OP?∴OP?2b?a,∴a2?2c2

2222222． 22b，

用心 爱心 专心 - 6 -

∴e2?21，?e?1．

22（2）设0P?x0,y0?,A?x1,y1?,B?x2,y2?，则

y0?y1x??1, 整理得x0x?y0y?x12?y12

x0?x1y1?x12?y12?b2 ∴PA方程为：x1x0?y1y0?b2， PB方程为：x2x0?y2y0?b2．

b2从而直线AB的方程为：x0x?y0y?b．令x?0，得ON?y?，令y?0，得

y0222a2y0?b2x0a2b2a2b2a2a2b2b2，∴为定值，???4?2，∴?OM?x?22422ONOMbbbONOMx0a2定值是2.

b19. （16分）（1）解：如an?n2（答案不惟一，结果应为an?An2?Bn?C的形式，其中A?0） .（2）解：依题意an?1?an?2n,n?1,2,3,?

所以an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?(an?2?an?3)???(a2?a1)?a1

?2n?1?2n?2?2n?3???2?2n.从面?an?是公比数为2的等比数列，所以

2(1?2n)Sn??2n?1?2.

1?2（3）①解：由anbnbn?1??21?28及an?1bn?1bn??21?28，两式相除得所以数列?b2n?1?,?b2n?分别是公比为

nbn?11?, bn?121的等比数列由b4??7得b2??14. 26令n?1,由a1b1b2??21?2得b1?3?2.

n?1?126?3?2?()(n?1,且n是奇数)2所以数列?bn?的通项为b??

?nn??14?(1)2?1(n?2,且n是偶数)?2?②记数列?bn?前n项的积为Tn. 用心 爱心 专心 - 7 -

111令bnbn?1?1,得?21?()n?8?1,即()n?8?,解得n?13.

2221所以当n是奇数时，|b1b2|?1,|b3b4|?1,?,|b11b12|?1,|b13b14|?1,|b15b16|?1, 从而|T2|?|T4|??|T12|,|T12|?|T14|??.

当n是偶数时，|b2b3|?1,|b4b5|?1,?,|b12b13|?1,|b14b15|?1,|b16b17|?1, 从而|T1|?|T3|??|T13|,|T13|?|T15|?. 注意到T12?0,T13?0,且T13?b13T12?3T12?T12, 所以当数列?bn?前n项的积Tn最大时n?13.

20. 解：（1）由题意可得：f1(x)?cosx,x?[0,?]，f2(x)?1,x?[0,?]。

?1?x2,x?[?1,0)??x,x?[?1,0)??1,x?[?1,1) （2）f1(x)??，f2(x)??2，f2(x)?f1(x)??1,x?[0,1)

??0,x?[0,4]?x,x?[1,4]?x2,x?[1,4]?2 当x?[?1,0]时，1?x?k(x?1),?k?1?x,k?2; 当x?(0,1)时，1?k(x?1),?k?221,?k?1; x?1x216,k?. 当x?[1,4]时，x?k(x?1),?k?x?1516综上所述，k?。

5即存在k?4，使得f(x)是[-1,4]上的“4阶收缩函数”。

（3）f?(x)??3x?6x??3x(x?2)，令f?(x)?0得x?0或x?2。 函数f(x)的变化情况如下：

2 x (??,0) - 0 0 0 (0,2) + 2 0 4 (2,??) - f?(x) f(x) ? ? ? 令f(x)?0得x?0或x?3。

（i）当b?2时，f(x)在[0,b]上单调递增，因此，f2(x)?f(x)??x3?3x2，

f1(x)?f(0)?0。因为f(x)??x3?3x2是[0,b]上的“二阶收缩函数”，所以，

①f2(x)?f1(x)?2(x?0)对x?[0,b]恒成立； ②存在x?[0,b]，使得f2(x)?f1(x)?(x?0)成立。

用心 爱心 专心 - 8 -

①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，由?x3?3x2?2x解得0?x?1或x?2。 要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1。 ②即：存在x?[0,b]，使得x(x2?3x?1)?0成立。 由x(x2?3x?1)?0解得x?0或所以，只需b?综合①②可得3?53?5。 ?x?223?5。 23?5?b?1。 2（i i）当2?b?3时，f(x)在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，因此，

f2(x)?f(2)?4，f1(x)?f(0)?0，f2(x)?f1(x)?4,x?0?x，显然当x?0时，f2(x)?f1(x)?2(x?0)不成立。

（i i i）当b?3时，f(x)在[0,2]上单调递增，在[2,b]上单调递减，因此，

f2(x)?f(2)?4，f1(x)?f(b)?0，f2(x)?f1(x)?4?f(b)?4,x?0?x，显然当x?0时，f2(x)?f1(x)?2(x?0)不成立。

综合（i）（i i）（i i i）可得：3?5?b?1。 2附加题

?1?? 3 3??1??1?

21．解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??可得，?? ??＝6??，

?1?? c d??1??1?

即c＋d＝6； ???????????????3分

? 3?? 3 3?? 3?? 3?

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝??，可得?? ??＝??，

?－2?? c d??－2??－2?

即3c－2d＝－2， ????????????????6分

3 3??c＝2，?

解得?即A＝??， ??????????8分

?d＝4．? 2 4?

21 －32

A逆矩阵是 11 － 32

????????

22．解：将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2?y2?4y?0，

即x2?(y?2)2?4，它表示以(0,2)为圆心，2为半径的圆，??????????4分 直线方程的普通方程为y?3x?1，????????????6分 圆C的圆心到直线l的距离d?1，???????????????????8分 2用心 爱心 专心 - 9 -

1故直线被曲线C截得的线段长度为222?()2?15． ???????10分

223、(Ⅰ)这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率为

111C5C15C20 ????????????????4分 P?1?3C40 ?419 ????????????????5分 494(Ⅱ)由题意知??0,1,2

22C52?C15?C2061??????????????6分P0??2C40156 1111C5C15?C15C2075??????????????7分P??12C40156 11C5C205??????????????8分 P2??2C4039 ?的分布列：

x 0 1 2 P(??x) 61 15675 1565 39????????????????10分

?的数学期望:E??0?24．解（1）：证明：

61755115 ????12分 ?1??2??156156391563?3(?1)?0，所以等式正确. 4（ⅰ）当n?1时，因为a1?0，

3k?3(?1)k(k?N*,k?1)， （ⅱ）假设n?k时，等式正确，即ak?4那么，n?k?1时，因为

3k?3(?1)k4?3k?3k?3(?1)k3k?1?3(?1)k?1ak?1?3?ak?3???，

444kk这说明n?k?1时等式仍正确.

用心 爱心 专心

- 10 -

3n?3(?1)n据（ⅰ），（ⅱ）可知，an?(n?N*,n?1)正确.

413n?3(?1)n13(?1)n（2）易知P???[1?]， nn434313132(1?n)，因为3n?27，所以P?(1?)?，又43427913121P?(1?n)?，所以?P?；

4349413131②当n为偶数（n?2）时，P?(1?n)，因为3n?9，所以P?(1?)?，又

434931311121P?(1?n)?，所以?P?.综上所述，?P?.

4344393①当n为奇数（n?3）时，P?

用心 爱心 专心 - 11 -

3n?3(?1)n据（ⅰ），（ⅱ）可知，an?(n?N*,n?1)正确.

413n?3(?1)n13(?1)n（2）易知P???[1?]， nn434313132(1?n)，因为3n?27，所以P?(1?)?，又43427913121P?(1?n)?，所以?P?；

4349413131②当n为偶数（n?2）时，P?(1?n)，因为3n?9，所以P?(1?)?，又

434931311121P?(1?n)?，所以?P?.综上所述，?P?.

4344393①当n为奇数（n?3）时，P?

用心 爱心 专心 - 11 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wyfo.html