高中数学选修1-2：2.2.2同步练习

高中数学人教A版选修1-2 同步练习

1.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，假设正确的是( ) A．三个内角中至少有一个钝角 B．三个内角中至少有两个钝角 C．三个内角都不是钝角

D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

解析：选B.“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故假设为“至少有两个”． 2.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( ) A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除

解析：选B.“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”． 3.已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．

解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn. 答案：0

4.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．

解析：由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②. 答案：③①②

[A级 基础达标]

1.下列命题错误的是( )

A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．四面体的三组对棱都是异面直线

C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点

D．设a、b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数

解析：选D.a＋b为奇数?a、b中有一个为奇数，另一个为偶数．故D错误． 2.(2012·东北师大附中高二检测)用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为( ) A．a，b，c，d全都大于等于0 B．a，b，c，d全为正数

C．a，b，c，d中至少有一个正数 D．a，b，c，d中至多有一个负数

解析：选A.至少有一个负数的否定是一个负数也没有，即a，b，c，d全都大于等于0. 3.“M不是N的子集”的充要条件是( ) A．若x∈M，则x∈N B．若x∈N，则x∈M

C．存在x1∈M且x1∈N，又存在x2∈N且x2∈M

1

D．存在x0∈M且x0?N

解析：选D.假设M是N的子集，则M中的任一个元素都是集合N的元素，所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M且x0?N.

4.设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．

1

解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少有一

3

1

个不小于.

31答案：

3

5.已知p3＋q3＝2，用反证法证明p＋q≤2时，得出的矛盾为________． 解析：假设p＋q>2，则p>2－q. ∴p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3， 将p3＋q3＝2代入得6q2－12q＋6<0， ∴(q－1)2<0这不可能．∴p＋q≤2. 答案：(q－1)2<0

1

6.已知a，b，c∈(0，1)，求证(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.

4

1

证明：假设三个式子同时大于，

4

111

即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，

444

1

三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>3， ①

4

a＋1－a21

又因为0

24

11

同理0

44

1

所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤3， ②

4

①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．

[B级 能力提升]

7.设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0且P、Q、R不都大于零，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b>0矛盾，故P、Q、R都大于零．

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8.设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )

yzx

A．至少有一个不大于2 B．都小于2

C．至少有一个不小于2 D．都大于2

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解析：选C.若a，b，c都小于2，则a＋b＋c＜6①，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，

xyz

显然①②矛盾，所以C正确． 9.完成反证法证题的全过程．

设a1，a2，?，a7是1，2，?，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)?(a7－7)为偶

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数．

证明：反设p为奇数，则a1－1，a2－2，?，a7－7均为奇数． 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝________________① ＝________________② ＝0.

但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数．

解析：将a1－1，a2－2，?，a7－7相加后，再分组结合计算． 答案：(a1－1)＋(a2－2)＋?＋(a7－7) (a1＋a2＋?＋a7)－(1＋2＋?＋7) 10.(2012·佛山高二检测)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根． 证明：假设f(x)＝0有整数根n， 则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，

而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则a，b，c同时为奇数或a，b同时为偶数，c为奇数，当n为奇数时，an2＋bn为偶数；当n为偶数时，an2＋bn也为偶数，即an2＋bn＋c为奇数，与an2＋bn＋c＝0矛盾． ∴f(x)＝0无整数根．

11.(创新题)已知直线ax－y＝1与曲线x2－2y2＝1相交于P，Q两点，是否存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.设P(x1，y1)，

y1y2Q(x2，y2)，则·＝－1，∴(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝

x1x2

－4a－3－32

0.由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，∴x1＋x2＝，x·x＝.∴(1＋a)·－2

1－2a211－2a21－2a2－4a2a·2＋1＝0，即a＝－2，这是不可能的．∴假设不成立．故不存在实数a，使得以PQ1－2a

为直径的圆经过坐标原点O.

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