高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的直角坐标运算

1 3．1.4 空间向量的直角坐标运算 学习目标 1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角．

知识点一 空间向量的坐标表示

思考 平面向量的坐标是如何表示的？

梳理 空间直角坐标系及空间向量的坐标

(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做________________．单位向量i ，j ，k 都叫做____________．

(2)空间向量的坐标

在空间直角坐标系中，已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝________________.

知识点二 空间向量的坐标运算

思考 设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，那么m ＋n ，m －n ，λm ，m ·n 如何运算？

梳理 空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)．

知识点三 空间向量的平行、垂直及模、夹角

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则

2

类型一 空间向量的坐标表示与运算

命题角度1 空间向量的坐标表示

例1 如图，在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 、F 、G 分别为棱DD ′、D ′C ′、BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→

}为基底，求下列向量的坐标．

(1)AE →，AG →，AF →；

(2)EF →，EG →，DG →.

引申探究

本例中，若以{DA →，DC →，DD ′→}为基底，试写出AE →，AG →，EF →的坐标．

反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤

3

跟踪训练1 已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，

N 为BC 的中点，则MN →

在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．

命题角度2 空间向量的坐标运算

例2 已知a ＝(1，－2，1)，a －b ＝(－1，2，－1)，则b 等于( )

A ．(2，－4，2)

B ．(－2，4，－2)

C ．(－2，0，－2)

D ．(2，1，－3) 反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题

(1)直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．

(2)由条件求向量或点的坐标

首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标．

跟踪训练2 若向量a ＝(1，1，x )，b ＝(1，2，1)，c ＝(1，1，1)，且满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________.

类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示

例3 已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.

(1)若|c |＝3，c ∥BC →.求c ；

(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .

引申探究

若将本例(2)中改为“若k a －b 与k a ＋2b 互相垂直”，求k 的值．

反思与感悟 (1)平行与垂直的判断

①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．

②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是

4 否为0.

(2)平行与垂直的应用

①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程．

②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．

跟踪训练3 在正方体AC 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中点． 证明：(1)AB 1∥GE ，AB 1⊥EH ；

(2)A 1G ⊥平面EFD .

类型三 空间向量的夹角与长度的计算

例4 棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点．

(1)求证：EF ⊥CF ；

(2)求EF →与CG →所成角的余弦值；

(3)求CE 的长．

反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．

跟踪训练4 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.

(1)求四棱锥P －ABCD 的体积；

(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．

5 1．已知向量a ＝(3，－2，1)，b ＝(－2，4，0)，则4a ＋2b 等于( )

A ．(16，0，4)

B ．(8，－16，4)

C ．(8，16，4)

D ．(8，0，4)

2．若a ＝(2，－3，1)，b ＝(2，0，3)，c ＝(0，2，2)，则a ·(b ＋c )的值为( )

A ．4

B ．15

C ．3

D ．7

3．已知a ＝(2，－3，1)，则下列向量中与a 平行的是( )

A ．(1，1，1)

B ．(－4，6，－2)

C ．(2，－3，5)

D ．(－2，－3，5)

4．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )

A ．1 B.15 C.35 D.75

5．已知A (2，－5，1)，B (2，－2，4)，C (1，－4，1)，则向量AB →与AC →的夹角为________．

1．在空间直角坐标系中，已知点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2

－z 1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．

2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，

则|AB |＝|AB →|＝

AB →2 ＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.

3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．

提醒：完成作业 第三章 3.1.4

6

答案精析

问题导学

知识点一

思考 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使a ＝x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序实数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标． 设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA →＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立(O 是坐标原点)．

梳理 (1)单位正交基底 坐标向量 (2)坐标 (a 1，a 2，a 3)

知识点二

思考 m ＋n ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，m －n ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λm ＝(λx 1，λy 1)，m ·n ＝x 1x 2＋y 1y 2.

梳理 (a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (λa 1，λa 2，λa 3) a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3

知识点三

a 1

b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0

a ·a

|a |＝a 21＋a 22＋a 23

题型探究 例1 解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→ ＝?

????0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝? ??

??1，12，0， AF →＝AA ′→ ＋A ′D ′――→＋D ′F ――→＝AA ′→ ＋AD →＋12AB →＝? ??

??12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝(AA ′→ ＋AD →＋12AB →)－(AD →＋12AA ′→ )＝12AA ′→ ＋12AB →＝? ????12

，0，12， EG →＝AG →－AE →＝(AB →＋12AD →)－(AD →＋12

AA ′→) ＝AB →－12AD →－12

AA ′→ ＝?

????1，－12，－12，

7 DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12

AD →－AD → ＝AB →－12AD →＝(1，－12

，0)． 引申探究

解 AE →＝AD →＋DE →＝－DA →＋12

DD ′→ ＝(－1，0，12

)， AG →＝AB →＋BG →＝DC →＋(－12

DA →) ＝－12DA →＋DC →＝(－12

，1，0)， EF →＝12DD ′→

＋12DC →＝(0，12，12

)． 跟踪训练1 ? ??

??－23，12，12 例2 A [依题意，得b ＝a －(－1，2，－1)＝a ＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，

2)．]

跟踪训练2 2

例3 解 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)，

且c ∥BC →，

所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)，

得|c |＝－2λ2＋－λ2＋λ2

＝3|λ|＝3，

解得λ＝±1.即c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)．

(2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，

b ＝AC →

＝(－1，0，2)，

所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)．

又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，

所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.

即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)

＝2k 2

＋k －10＝0.

8 解得k ＝2或k ＝－52

. 引申探究

解 由题意知k a －b ＝(k ＋1，k ，－2)，

k a ＋2b ＝(k －2，k ，4)，

∵(k a －b )⊥(k a ＋2b )，

∴(k a －b )·(k a ＋2b )＝0，

即(k ＋1)(k －2)＋k 2

－8＝0，

解得k ＝－2或k ＝52

， 故所求k 的值为－2或52

. 跟踪训练3 证明 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，

设正方体棱长为1，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C (1，1，0)，D (0，1，0)，A 1(0，0，1)， B 1(1，0，1)，C 1(1，1，1)，D 1(0，1，1)，由中点性质得E ? ????1，1，12，F ? ????1，12，0， G ? ????12，1，0，H ? ??

??12，12，1. (1)AB 1→＝(1，0，1)，GE →＝? ????12

，0，12 ， EH →＝? ????－12

，－12，12， ∵AB 1→＝2GE →， AB 1→·EH →

＝1×? ??

??－12＋0＋1×12＝0， ∴AB 1→∥GE →，AB 1→⊥EH →.即AB 1∥GE ，AB 1⊥EH .

(2)∵A 1G →＝? ??

??12，1，－1， DF →＝? ????1，－12

，0，

9 DE →＝? ????1，0，12，

∴A 1G →·DF →＝12－12＋0＝0，

A 1G →·DE →＝12＋0－12＝0，

∴A 1G ⊥DF ，A 1G ⊥DE .

又DF ∩DE ＝D ，∴A 1G ⊥平面EFD .

例4 解 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则

D (0，0，0)，

E ? ????0，0，12，C (0，1，0)，

F ? ????12，12，0，

G ? ????1，1，12.

所以EF →＝? ????12，12，－12，CF →＝? ????12，－12，0，CG → ＝? ????1，0，12，CE →＝? ????0，－1，12.

(1)证明 因为EF →·CF →＝12×12＋12×? ????－12＋? ????－12×0＝0，

所以EF →⊥CF →，即EF ⊥CF .

(2)因为EF →·CG →＝12×1＋12×0＋(－12)×12＝14，

|EF →|＝ ? ????1

22

＋? ????1

22

＋? ????－122

＝32，

|CG →|＝ 12＋02＋? ????122＝5

2，

所以cos 〈EF →，CG →〉＝EF →

·CG

→|EF →||CG →|

＝1

432×52

＝15

15.

(3)|CE |＝|CE →|

10 ＝ 02＋－2＋? ????1

22＝5

2.

跟踪训练4 解 (1)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠DAB ＝60°， ∴OA ＝OC ＝3，BO ＝OD ＝1，S 菱形ABCD

＝1

2×2×23＝2 3.

在R t△POB 中，∠PBO ＝60°，

∴PO ＝OB ·tan 60°＝ 3.

∴V P -ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PO

＝1

3×23×3＝2.

(2) 如图，以O 为原点，OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

则B (1，0，0)，

C (0，3，0)，

D (－1，0，0)，

A (0，－3，0)，P (0，0，3)．

∴E ? ????

1

2，0，32，∴DE →＝? ????

32，0，32，

PA →＝()0，－3，－3.

∴DE →·PA →＝0＋0＋32×(－3)＝－3

2，

|DE →|＝3，|PA →|＝ 6.

∴cos〈DE →，PA →〉＝DE →

·PA →|DE →||PA →|＝－3

23×6＝－2

4.

∵异面直线所成的角为锐角或直角，

∴异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为2

4.

11 当堂训练

1．D 2.C 3.B 4.D 5.π3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wy7l.html