三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

第一讲 三角函数的图象与性质

1．任意角的三角函数

y

(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. x(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2． 正弦、余弦、正切的图象及性质 函数 性质 定义域 y＝sin x R y＝cos x R y＝tan x π{x|x≠kπ＋，k∈Z} 2图象 值域 [－1,1] 对称轴：x＝kπ＋对称性 π2[－1,1] 对称轴：x＝ R ?kπ，0?(k∈Z) 对称中心：kπ(k∈Z)；对称中心： ?2?(k∈Z)；对称中心：π(kπ＋，0)(k∈Z) 2(kπ，0)(k∈Z) 2π 2π 单调减区间 π3π[2kπ＋，2kπ＋] 22π 周期 单调性 单调增区间[2kπ－ππZ) ，2kπ＋](k∈Z)； (k∈22单调增区间 单调增区间 ππ(kπ－，kπ＋)(k∈Z) 22[2kπ－π，2kπ]( k∈Z)； 奇偶性 奇 偶 奇 3． y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质

π3π

(1)五点作图法：五点的取法：设X＝ωx＋φ，X取0，，π，，2π时求相应的x值、y值，

22再描点作图．

(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－

φ

，0)作为突破口． ω

(3)图象变换

向左?φ>0?或向右?φ<0?

y＝sin x―――――――――――――→y＝sin(x＋φ)

平移|φ|个单位

纵坐标变为原来的A倍――――――――――――→y＝Asin(ωx＋φ)．

横坐标不变

第二讲 三角变换与解三角形

1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β.

tan α±tan β

(3)tan(α±β)＝.

1?tan αtan β2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α. (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

2tan α

(3)tan 2α＝.

1－tan2α3． 三角恒等变换的基本思路

(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 4． 正弦定理

abc＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)． sin Asin Bsin C

变形：a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C.

abc

sin A＝， sin B＝， sin C＝.

2R2R2Ra∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. 5． 余弦定理

a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C.

b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2

推论：cos A＝， cos B＝， cos C＝.

2bc2ac2ab6． 面积公式

111

S△ABC＝bcsin A＝acsin B＝absin C.

222

7． 三角形中的常用结论

(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π. (2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. (3)a＝bcos C＋ccos B.

第三讲 平面向量

1．向量的概念

(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.

a

(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.

|a|(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．

(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量． (5)向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影． 2．向量的运算

(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．

(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.

可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wxia.html