凸函数的性质及其应用研究论文

中文摘要

凸函数的性质及其应用研究

摘 要

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用，现已成为数学规划、对策论、数理经济学、变分学和最优控制学等学科的理论基础和有力工具。凸函数的许多重要性质在数学的许多领域中都有着广泛的应用，但是它的局限性也很明显，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。考虑到凸函数的连续性，可导性及凸函数在不等式证明方面的应用和意义，本文结合现有文献给出了凸函数12种定义，总结了凸函数常用的性质;由于凸函数的定义是由不等式给出的，基于此，凸函数广泛应用于对某些特殊不等式的证明，本文探讨了它在证明Jensen不等式、一般不等式 、Cauchy不等式、Holder不等式中的重要应用，并讨论了Jensen不等式，Cauchy不等式，Holder不等式在证明其他不等式的应用。

关键词：凸函数，定义，性质，应用，不等式

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英文摘要

Properties and Applications of Convex Function

Abstract

Convex function is a kind of important function. The concept of the earliest can be found in Jensen’s [1905] writing. Convex function has applied in pure mathematics and many applied mathematics extensive fields. Now it become the foundation and powerful tool to study mathematical programming, theory of strategy, mathematical economics, calculus of variations and such disciplines as the optimal control theory. Many important properties of convex function have been widely used in many fields of mathematics application, but its limitations are also obviously. So the study of some definitions and properties of convex function is necessary. Considering the application and significance to prove inequality and the continuity and conductivity of convex function, this paper presents 13 kind definitions and summarizes the properties of convex function which are commonly used. Convex function are widely used in some special inequality proof, because of convex function is defined by the inequality. This paper discusses the important applications of convex function in proving Jensen inequality, general inequality, Cauchy inequality, Holder Inequality. The important applications of Cauchy inequality, Holder inequality and Jensen inequality to prove other inequalities are also discussed.

Key Words: Convex function, definition, properties, applications, inequality

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目 录

中文摘要 ........................................................................................... I 英文摘要 ......................................................................................... Ⅱ 1 引言 ......................................................................................................................... 1 2 凸函数的定义 ......................................................................................................... 1 2.1凸函数的12种定义 ............................................................................................... 1 3 凸函数的性质 ....................................................................................................... 4 3.1凸函数的常用性质 ................................................................................................. 4 4 凸函数的应用 ....................................................................................................... 11 4.1凸函数在微分学中的应用 ................................................................................... 11 4.2凸函数在积分学中的应用 ................................................................................... 13 4.3利用凸函数和Jensen不等式证明不等式 .......................................................... 15 4.4利用凸函数证明Cauchy不等式 ........................................................................ 17 4.5利用凸函数证明Holder不等式 .......................................................................... 18 4.6利用凸函数证明一般不等式 ............................................................................... 19 参考文献 ..................................................................................................................... 24 致谢 ............................................................................................................................. 25

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1 引言

凸函数是一类重要的函数，它的概念最早见于Jensen [1905]著述中。它在纯粹数学和应用数学的众多领域中具有广泛的应用。尤其是凸函数的许多重要性质在数学的许多领域如：数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域中都有着广泛的应用，凸函数的性质在证明不等式、产品的外形设计，优化产品设计等方面都起着非常重要的作用，但是凸函数也有一定的局限性，所以研究凸函数的一些定义和性质就显得十分必要了。

目前凸函数还在不断研究中，它的性质及应用在不断完善。现行的高等数学教材中, 也都对函数的凸性作了介绍,由于各版本根据自己的需要,对凸函数这一概念作了不同形式的定义,本文结合现有的文献研究给出凸函数现有的几种定义及其有关性质的证明,并给出简单的应用，主要是应用凸函数的概念与性质来证明几个重要且常用的不等式并讨论凸函数在证明一般不等式中的应用。

2 凸函数的定义

2.1.凸函数的12种定义

定义1 若函数f(x)定义在?a,b?上，对?a,b?上任意的两点x1,x2，有

f?x1?x2?2?f?x1??f?x2? ???2?那么称f(x)是?a,b?上的凸(下凸)函数[1]。

定义 2 若?是定义在I内的单调增加函数，那么存在x0?I，对任意x?I,有 （x）xf(x)?f(x0)?x0??(t)dt，

则称f(x)为I内的凸函数[2]。

定义3 若函数f(x)在区间I上有定义，对于I上任意三点x1?x2?x3，下列不等式中任何两个不等式成立，

f(x2)?f(x1)f(x3)?f(x1)f(x3)?f(x2)??，

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则称f(x)是区间I上的凸函数。

定义4 利用二阶导数判断曲线的凸向来定义函数的凸性：设函数f(x)在区间

(a,b)内存在二阶导数,则在(a,b)内有 f??(x)?0?f(x)在(a,b)内严格凸数。

证法一 (Taylor公式法)对?x1,x2?(a,b),设x0?开成具有Lagrange型余项的Taylor公式，有

x1?x2,把f(x)在点x0处展2f(x1)?f(x0)?f?(x0)(x1?x0)?f??(?1) (x1?x0)2，2f??(?2) f(x2)?f(x0)?f?(x0)(x2?x0)? (x2?x0)2，2其中?1在x0与x1之间，?2在 x0与x2之间，注意到x1?x0??(x2?x0),就有

122????? f(x1)?f(x2)?2f(x0)??f(?)(x?x)?f(?)(x?x)110220??2于是,若有f??(x)?0，在上式中有

22??????f(?)(x?x)?f(?)(x?x)110220??0, 那么 f(x1)?f(x2)?2f(x0), ?即f(x)是严格凸函数。

证法二 (利用Lagrange中值定理)若f??(x)?0,则有f?(x)严格单调增。不妨

x1?x2设x1?x2,并设x0?分别在区间[x1,x0]和[x0,x2]上应用Lagrange中值定

2理,有

存在?1?(x1,x0), 使得 f(x0)?f(x1)?f?(?1)(x0?x1); 存在?2?(x0,x2), 使得 f(x2)?f(x0)?f?(?2)(x2?x0).

由x1??1?x0??2?x2?f?(?1)?f?(?2)，又由x0?x1?x2?x0?0，那么

f?(?1)(x0?x1)?f?(?2)(x2?x0)? f(x0)?f(x1)?f(x2)?f(x0)，

即:

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