高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

1.2 类比推理

一、教学目标

1.知识与技能： （1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；

（2）能利用类比进行简单的推理；

（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作用。

2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；

2.典型例子方法归纳。

（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物理学家、数学家赫尔斯坦 惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）例题探析

例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？

解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的

解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四

面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直

结论。 面体P-ABC中，平

勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。

类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和。

2222即：S ABC S PAB S PBC S PCA

在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。

(四) 巩固练习：

练习1已知实数加法满足下列运算规律：（1）a b b a；

（2） a b c a b c ．

类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．

练习2 我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列?

(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；

(2)探索等和数列 an 的奇数项和偶数项有什么特点；

练习3若数列 an 是等差数列，且bn a1 a2 ... an,则 bn 也是等差数列。类比上述性质，相应地，n

数列 cn 是等比数列，且cn 0，dn ___________，则 dn 也是等比数列（以上n N*）

练习4在 ABC中，若AC BC,AC b,BC a，则

ABC的外接圆半径r ，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC中，若SA、SB、SC两两互相垂直，SA a,SB b,SC c，则四面体S ABC的外接球半径R ( )

A

B

C

D

1 tanx 练习5类比解答（1）（2）：（1）求证：tan x ； 4 1 tanx

a为非零常数，且f x a （2）设x R,1 f(x),试问：f(x)是周期函1 f(x)

数吗？证明你的结论。

（五）小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断

另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

（六）作业：1.课本P57练习：2．课本。P57习题3-1：4,5

五、教后反思：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wxcm.html