华东师大版九年级数学下册教案全册

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九年级数学下册全册教案

第26章 二次函数

26．1 二次函数

教学目标：

1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

教学重点：解二次函数的有关概念

教学难点：解二次函数的有关概念的应用

本节知识点

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．

教学过程

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．

实践与探索

例1． m取哪些值时，函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是以x为自变量的二次函数？

2分析 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数，须满足的条件是：m?m?0．

222222解： 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数，则 m?m?0． 解得 m?0，且m?1．

因此，当m?0，且m?1时，函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是二次函数．

222 - 0 -

回顾与反思 形如y?ax?bx?c的函数只有在a?0的条件下才是二次函数．

探索 若函数y?(m?m)x?mx?(m?1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 S?6a(a?0)，其中S是a的二次函数；

2222x2(x?0)，其中y是x的二次函数； （2）由题意，得 y?4?（3）由题意，得 y?10000?1.98%x?10000（x≥0且是正整数），

其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 S?11x(26?x)??x2?13x(0?x?26)，其中S是x的二次函数． 22例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一

个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）S?15?4x?225?4x(0?x?222215)； 2 （2）当x=3cm时，S?225?4?3?189（cm2）． 课堂练习

1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y?x?0 （3）y?x?22（2）y?(x?2)(x?2)?(x?1)

21 （4）y?x2?2x?3 x22．当k为何值时，函数y?(k?1)xk2?k?1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． 课外作业

A组

1． 已知函数y?(m?3)xm22?7是二次函数，求m的值．

2． 已知二次函数y?ax，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

- 1 -

3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为

3，求此时的y．

4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这

个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y?(m?1)x B．y?(m?1)x C．y?(m?1)x D．y?(m?1)x 6．下列函数关系中，可以看作二次函数y?ax?bx?c（a?0）模型的是 （ ）

A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系

课堂小结：

教学反思：

- 2 -

222222222

26.2 二次函数的图象与性质（1）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．

重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质

本节要点

会用描点法画出二次函数y?ax的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学过程：

我们已经知道，一次函数y?2x?1，反比例函数y? ，那么二次函数y?x的图象是什么呢？

（1）描点法画函数y?x的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数y?x的图象，你能得出什么结论？

实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y?2x 解 列表

x … … -3 18 -18 -2 8 -8 -1 2 -2 0 0 0 1 2 -2 2 8 -8 3 18 -18 … … … 223的图象分别是 、 x222（2）y??2x

2y?2x2 y??2x2 … 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y?2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲

线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

2y??2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，

曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．

- 3 -

例2．已知y?(k?2)xk2?k?4是二次函数，且当x?0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

?k2?k?4?2解 （1）由题意，得?， 解得k=2．

?k?2?0 （2）二次函数为y?4x，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．

例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．

分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得S?列表： C 2 4 1 6 8 4 … … 212C(C?0)． 16S?12C 161 49 4描点、连线，图象如图26．2．2． （2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm． （3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2． 回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． 课堂练习

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y?3x （2）y??3x （3）y?2．（1）函数y?2212x 322x的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 312（2）函数y??x的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．

43．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图． 课外作业

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）y??4x （2）y?2．填空：

（1）抛物线y??5x，当x= 时，y有最 值，是 ．

2212x 4 - 4 -

（2）当m= 时，抛物线y?(m?1)xm（3）已知函数y?(k2?k)xk大．

3．已知抛物线y?kxk222?m开口向下．

?2k?1是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增

?k?10中，当x?0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线y?ax经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．

6．二次函数y?ax与直线y?2x?3交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小． 27． 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积．

课堂小结：

教学反思：

2226．2 二次函数的图象与性质（2）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．

教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质

- 5 -

本节知识点

会画出y?ax?k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程

同学们还记得一次函数y?2x与y?2x?1的图象的关系吗？

2 ，你能由此推测二次函数y?x与y?x?1的图象之间的关系吗？ 22 ，那么y?x与y?x?2的图象之间又有何关系？ ． 实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出函数y?2x与y?2x?2的图象． 解 列表．

x … … … -3 18 20 -2 8 10 -1 2 4 0 0 2 1 2 4 2 8 10 3 18 20 … … …

2222y?2x2 y?2x2?2

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y?2x与y?2x?2的图象之间的关系吗？

- 6 -

22例2．在同一直角坐标系中，画出函数y??x?1与y??x?1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y??x?1得到抛物线y??x?1． 解 列表． x … … … -3 -8 -10 -2 -3 -5 -1 0 -2 0 1 -1 1 0 -2 2 -3 -5 3 -8 -10 … … …

2222y??x2?1 y??x2?1 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

可以看出，抛物线y??x?1是由抛物线y??x?1向下平移两个单位得到的．

2回顾与反思 抛物线y??x?1和抛物线y??x?1分别是由抛物线y??x向上、向下平移一个单位

2222得到的．

2探索 如果要得到抛物线y??x?4，应将抛物线y??x?1作怎样的平移？

2例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与y?12x相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这2条抛物线的函数关系式．

解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作y?ax?2(a?0)， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，1?a?1?2， 解得a?3． 故所求函数关系式为y?3x?2．

- 7 -

222

回顾与反思 y?ax?k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向 对称轴 顶点坐标 2y?ax2?k a?0 a?0

课堂练习

1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

y?1211x， y?x2?2， y?x2?2． 222观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线

12x?k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2122．抛物线y?x?9的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物412线y?x向 平移 个单位得到的．

4y?3．函数y??3x?3，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．

课外作业

A组

1．已知函数y?21211x， y?x2?3， y?x2?2． 333（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

12x?5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 312122． 不画图象，说出函数y??x?3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数y??x通

44（3）试说出函数y?过怎样的平移得到的．

3．若二次函数y?ax?2的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4．在同一直角坐标系中y?ax?b与y?ax?b(a?0,b?0)的图象的大致位置是( )

22 - 8 -

5．已知二次函数y?8x?(k?1)x?k?7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．

课堂小结：

教学反思：

226．2 二次函数的图象与性质（3）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．

重点：二次函数的图象与性质 难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

会画出y?a(x?h)这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学过程

- 9 -

2

y??3x2，y??3(x?2)2，y??3(x?2)2?1，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

2．将抛物线y??x?2x?5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．

3．将抛物线y??21231x?x?如何平移，可得到抛物线y??x2?2x?3？ 222B组

224．把抛物线y?x?bx?c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y?x?3x?5，则有 （ ）

A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21

25．抛物线y??3x?bx?c是由抛物线y??3x?bx?1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到

2的，求b、c的值．

6．将抛物线y?ax(a?0)向左平移h个单位，再向上平移k个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．

课堂小结：

教学反思：

- 15 -

2

26．2 二次函数的图象与性质（5）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．

教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质 本节知识点

1．能通过配方把二次函数y?ax?bx?c化成y?a(x?h)+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2．会利用对称性画出二次函数的图象． 教学过程

2我们已经发现，二次函数y?2(x?3)?1的图象，可以由函数y?2x的图象先向 平移 个单

222位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数y?2(x?3)?1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如y??x?3x?2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ 实践与探索

例1．通过配方，确定抛物线y??2x?4x?6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 y??2x?4x?6

2222??2(x2?2x)?6??2(x2?2x?1?1)?6??2(x?1)?1?6??2(x?1)2?8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）． 由对称性列表：

x … -2 -1 0 1 2 3 4 … ?2?

- 16 -

y??2x2?4x?6 … -10 0 6 8 6 0 -10 … 描点、连线，如图26．2．7所示． 回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索 对于二次函数y?ax?bx?c，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．

例2．已知抛物线y?x?(a?2)x?9的顶点在坐标轴上，求a的值．

分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

22a?22(a?2)2)?9?解 y?x?(a?2)x?9?(x?， 242?a?2(a?2)2?则抛物线的顶点坐标是?,9??．

24??a?2?0， 2解得 a??2．

当顶点在x轴上时，有 ?(a?2)2?0， 当顶点在y轴上时，有 9?4解得 a?4或a??8．

所以，当抛物线y?x?(a?2)x?9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是 –2，4，8． 课堂练习

1．（1）二次函数y??x?2x的对称轴是 ．

（2）二次函数y?2x?2x?1的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小． （3）抛物线y?ax?4x?6的顶点横坐标是-2，则a= ． 2．抛物线y?ax?2x?c的顶点是(,?1)，则a、c的值是多少？ 课外作业

A组

1．已知抛物线y?2222213125x?3x?，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2222．利用配方法，把下列函数写成y?a(x?h)+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）y??x?6x?1

2（2）y?2x?3x?4

- 17 -

22（3）y??x?nx （4）y?x?px?q

223．已知y?(k?2)xk?2k?6是二次函数，且当x?0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

B组

4．当a?0时，求抛物线y?x?2ax?1?2a的顶点所在的象限．

5. 已知抛物线y?x?4x?h的顶点A在直线y??4x?1上，求抛物线的顶点坐标． 222

课堂小结：

教学反思：

- 18 -

26．2 二次函数的图象与性质（6）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．

教学重点：二次函数的图象与性质 教学难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

1．会通过配方求出二次函数y?ax?bx?c(a?0)的最大或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学过程

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数

2y??10x2?100x?2000．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?

实践与探索

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y?2x?3x?5； （2）y??x?3x?4．

分析 由于函数y?2x?3x?5和y??x?3x?4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数y?2x?3x?5中的二次项系数2＞0， 因此抛物线y?2x?3x?5有最低点，即函数有最小值．

2因为y?2x?3x?5=2(x?)?22222223449， 8所以当x?

3492时，函数y?2x?3x?5有最小值是?． 482（2）二次函数y??x?3x?4中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线y??x?3x?4有最高点，即函数有最大值．

2因为y??x?3x?4=?(x?)?223225， 4- 19 -

26 . 3 实践与探索（1）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 本节知识点

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．

教学过程

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？

实践与探索

例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是

y??1225x?x?，问此运动员把铅球推出多远？ 12331225x?x??0． 1233解 如图，铅球落在x轴上，则y=0， 因此，?解方程，得x1?10,x2??2（不合题意，舍去）．

所以，此运动员把铅球推出了10米．

探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面

5m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高3点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．

例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水

- 25 -

流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）

分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．

解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）． 由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25）， 因此，设抛物线为y?a(x?1)?2.25．

将A（0，1．25）代入上式，得1.25?a(0?1)?2.25， 解得 a??1

所以，抛物线的函数关系式为y??(x?1)?2.25． 当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5， 所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．

（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y??(x?h)?k．

由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7． 所以，水流最大高度应达3．7m．

课堂练习

1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？

2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？

课外作业

A组

1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？ 2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．

下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）． 根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？

- 26 -

22223．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式； （2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？

B组

4．某公司草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0．4m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算．

（1）求该抛物线的函数关系式；

（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度．

5．某跳水运动员在进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面102m，入水处距池边的距离为34m，同时运动员在距水面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误． （1）求这条抛物线的函数关系式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．

课堂小结：

教学反思：

35- 27 -

26 . 3 实践与探索（2）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 本节知识点

让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程． 教学过程

二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决． 实践与探索

例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。

（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；

b24ac?b2)?（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y?a(x?的形式，写出顶点坐标；在直角坐2a4a标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？

分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。 解 （1）根据题意，得

y?(x?30)[60?2(70?x)]?500

2 ??2x?260x?6500(30≤x≤70)。

2（2）y??2x?260x?6500??2(x?65)?1950。

2顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

- 28 -

X（十万元） y 0 1 1 1．5 2 1．8 … … （1）求y与x的函数关系式； （2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；

（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

解 （1）设二次函数关系式为y?ax?bx?c。

2?c?1?由表中数据，得?a?b?c?1.5 。

?4a?2b?c?1.8?1?a???10?3?解得?b?。

5??c?1??所以所求二次函数关系式为y??123x?x?1。 1052（2）根据题意，得S?10y?(3?2)x??x?5x?10。 （3）S??x?5x?10??(x?)?252265。 4由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。． 课堂练习

1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价（ ） A、5元 B、10元 C、15元 D、20元

2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原

x277?x?，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利销售量的y倍，且y??101010润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，

最大年利润是是多少万元？ 课外作业

A组

1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件）， 与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

- 29 -

2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？

3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；

(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

B组

4．行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能﹙车速不超过140千米/时﹚，对这种汽车进行测试，数据如下表：

刹车时车速（千米/时） 刹车距离 0 0 10 20 30 40 50 60 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8 ﹙1﹚以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连结这些点，得到函数的大致图象；

﹙2﹚观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数关系式；

﹙3﹚该型号汽车在国道上发生一次交通事故，现场测得刹车距离为46．5米，请推测刹车时的车速是多少？请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？

课堂小结：

教学反思：

26 . 3 实践与探索（3）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 本节知识点

（1）会求出二次函数y?ax?bx?c与坐标轴的交点坐标；

- 30 -

2（2）了解二次函数y?ax?bx?c与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 教学过程

2给出三个二次函数：（1）y?x?3x?2；（2）y?x?x?1；（3）y?x?2x?1．

222它们的图象分别为

观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数y?ax?bx?c的图象寻找方程ax?bx?c?0(a?0)，不等式

22ax2?bx?c?0(a?0)或ax2?bx?c?0(a?0)的解？

实践与探索

例1．画出函数y?x?2x?3的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？

（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x?2x?3?0有什么关系？ （3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？ 解 图象如图26．3．4，

（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）． （2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程x?2x?3?0的解相同．

（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．

回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

例2．（1）已知抛物线y?2(k?1)x?4kx?2k?3，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．

- 31 -

2222（2）已知二次函数y?(a?1)x?2ax?3a?2的图象的最低点在x轴上，则a= ．

22（3）已知抛物线y?x?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且????17，

22则k的值是 ．

分析 （1）抛物线y?2(k?1)x?4kx?2k?3与x轴相交于两点，相当于方程

22(k?1)x2?4kx?2k?3?0有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．

（2）二次函数y?(a?1)x?2ax?3a?2的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程

2(a?1)x2?2ax?3a?2?0的两个实数根相等，即⊿=0．

（3）已知抛物线y?x?(k?1)x?3k?2与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程

2x2?(k?1)x?3k?2?0的两个根，又由于?2??2?17，以及?2??2?(???)2?2??，利用根与

系数的关系即可得到结果． 请同学们完成填空．

回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．

例3．已知二次函数y??x?(m?2)x?m?1，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点； （2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数y??x?(m?2)x?m?1的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程?x?(m?2)x?m?1?0有两个不相等的实数根，即⊿＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程?x?(m?2)x?m?1?0有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1?x2?0，③x1?x2?0．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程?x?(m?2)x?m?1?0有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②x1?x2?0．

22解 （1）⊿=(m?2)?4?(?1)?(m?1)?m?8，由m?0，得m?8?0，所以⊿＞0，即不论m

2222222取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．

（2）由x1?x2?m?2?0，得m?2；由x1?x2??m?1?0，得m??1；又由（1），⊿＞0，因此，当m??1时，两个交点都在原点的左侧．

（3）由x1?x2?m?2?0，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．

- 32 -

探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数y??x?(m?2)x?m?1是由函数

2y??x2上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解

本题． 课堂练习

1．已知二次函数y?x?3x?4的图象如图， 则方程x?3x?4?0的解是 ， 不等式x?3x?4?0的解集是 ， 不等式x?3x?4?0的解集是 ．

2．抛物线y?3x?2x?5与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ． 3．已知方程2x?3x?5?0的两根是为 ．

4．函数y?ax?ax?3x?1的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标． 课外作业

A组

1．已知二次函数y?x?x?6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题． （1）方程x?x?6?0的解是什么？

（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？ 2．如果二次函数y?x?6x?c的顶点在x轴上，求c的值．

3．不论自变量x取什么数，二次函数y?2x?6x?m的函数值总是正值，求m的取值范围． 4．已知二次函数y?2x?4x?6，

求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； （2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积； （3）x为何值时，y＞0．

5．你能否画出适当的函数图象，求方程x??x?2的解？

B组

6．函数y?mx?x?2m（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 7．已知二次函数y?x?ax?a?2．

22222222222252，-1，则二次函数y?2x?3x?5与x轴的两个交点间的距离2222 - 33 -

（1）说明抛物线y?x?ax?a?2与x轴有两个不同交点； （2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）； （3）a取何值时，两点间的距离最小？

课堂小结：

教学反思：

226 . 3 实践与探索（4）

教学目标：

1、会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

教学重点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 教学难点：确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．

本节知识点

掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法． 教学过程

上节课的作业第5题：画图求方程x??x?2的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．

22甲：将方程x??x?2化为x?x?2?0，画出y?x?x?2的图象，观察它与x轴的交点，得出方

22程的解．

乙：分别画出函数y?x和y??x?2的图象，观察它们的交点，把交点的坐标作为方程的解．

你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流． 实践与探索

例1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1）x?2x?3?0 ； （2）2x?5x?2?0．

- 34 -

222横

分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线y?x的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．

解 （1）在同一直角坐标系中画出 函数y?x和y??2x?3的图象， 如图26．3．5，

得到它们的交点（-3，9）、（1，1）， 则方程x?2x?3?0的解为 –3，1．

（2）先把方程2x?5x?2?0化为

22225x?1?0，然后在同一直角 252坐标系中画出函数y?x和y?x?1

2x2?的图象，如图26．3．6，

11，）、（2，4）， 2412则方程2x?5x?2?0的解为 ，2．

2得到它们的交点（

2回顾与反思 一般地，求一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的近似解时，可先将方程ax?bx?c?02化为x?2bcbcx??0，然后分别画出函数y?x2和y??x?的图象，得出交点，交点的横坐标即aaaa为方程的解．

例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：

13??y?3x?6?y??x?(1)?． 22； （2）?2?y?x?2x?y?x2?分析 （1）可以通过直接画出函数y??13x?和y?x2的图象，得到它222们的交

点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决． 解 （1）在同一直角坐标系中画出函数y?x和y??26．3．7， 得到它们的交点（?13x?的图象，如22图

39，）、（1，1）， 24 - 35 -

3?13?x????1?y??x?2?x2?1,?则方程组?的解为． 22??y?9?y2?1?y?x21??4?

（2）在同一直角坐标系中画出函数y?x?2x和y?3x?6的图象，如图26．3．8， 得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组?

探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线y?x的图象，请尝试一下．

课堂练习

1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1）?x?x?1?0（精确到0．1） ； （2）3x?5x?2?0．

2222?y?3x?62?y?x?2x的解为??x1??2?x2?3． ,??y1?0?y2?15?y??x?22．利用函数的图象，求方程组?的解： 2y?x?课外作业

A组

1．利用函数的图象，求下列方程的解： （1）x?2321x?1?0 （2）x2?x??0 2332．利用函数的图象，求下列方程组的解： （1）??y??x?y?(x?1)?52； （2）??y?x?6?y??x?2xB组

2．

3．如图所示，二次函数y1?ax?bx?c(a?0)与y2?kx?b(k?0)的图象交于A（-2，4）、B（8，2）．求能使y1?y2成立的x的取值范围。

课堂小结：

教学反思：

- 36 -

2

第26章 小结与复习

一、 本章学习回顾 1． 知识结构

实二二次函数的图象

际次 二次函数的应用 问函 二次函数的性质 题 数

2．学习要点

（1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。 （3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。 （5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。 （7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3．需要注意的问题

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

二、 本章复习题

A组

一、填空题

1．已知函数y?mxm2?m，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当

m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．

- 37 -

2．抛物线y?ax经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线y?(k?1)x?k?9，开口向下，且经过原点，则k= ．

4．点A（-2，a）是抛物线y?x上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是 ；A点关于y轴的对称点C是 ；其中点B、点C在抛物线y?x上的是 ． 5．若抛物线y?x?4x?c的顶点在x轴上，则c的值是 ． 6．把函数y??22222212x的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式62为 ．

7．已知二次函数y?x?8x?m的最小值为1，那么m的值等于 ． 8．二次函数y??x?2x?3的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 ．

9．抛物线y?x?2x?1的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小． 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ． 11．若二次函数y?x?bx?c的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ． 12．抛物线y?x?2x?3的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 ．

213．抛物线y?x?x?c与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)，若x1?x2?3，那么c值

222222为 ，抛物线的对称轴为 ．

14．已知函数y?(m?1)x?2x?m?4．当m 时，函数的图象是直线；当m

时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线． 15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 ．

三、 选择题

16．下列函数中，是二次函数的有 （ ）

2①y?1?2x ②y?221 ③y?x(1?x) ④y?(1?2x)(1?2x) 2x22A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

17．若二次函数y?(m?1)x?m?2m?3的图象经过原点，则m的值必为 （ ） A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定

18．二次函数y?x?2(m?1)x?4m的图象与x轴 （ ） A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点

- 38 -

219．二次函数y?x?2x?2有

A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2 20．在同一坐标系中，作函数y?3x，y??3x，y?222（ ）

12x的图象，它们的共同特点是 3 （D ） A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上 B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下

C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点

21．已知二次函数y?kx?7x?7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）

277 B、K??且k?0 4477C、K?? D、K??且k?0

44112222．二次函数y?(x?1)?2的图象可由y?x的图象 （ ）

22A、K??A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到

B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到

23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）

A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元

24．若抛物线y?ax?bx?c的所有点都在x轴下方，则必有 （ ） A、a?0,b?4ac?0 B、a?0,b?4ac?0 C、a?0,b?4ac?0 D、a?0,b?4ac?0

25．抛物线y?2x?4x?1的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ） A、（-1，3） B、（-1，-3） C、（1，3） D、（1，-3）

三、解答题

26．已知二次函数y?22222212x?2x?1． 2（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值； （2）求抛物线与x轴、y轴的交点； （3）作出函数图象的草图；

（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？ 27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式． 28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式． 29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．

- 39 -

（1）求二次函数的函数关系式；

（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积． 30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解： （1）2x?x?3?0；

2 （2）??y??3x?1?y?x?x2．

31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．

（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；

（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？

B组

一、选择题

32．若所求的二次函数的图象与抛物线y?2x?4x?1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增

大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ D ）

A、y??x?2x?4 B、y?ax?2ax?a?3(a?0)

2C、y??2x?4x?5 D、y?ax?2ax?a?3(a?0)

222233．二次函数y?ax?bx?c(a?0)，当x=1时，函数y有最大值，设(x1,y1)，（x2,y2)是这个函数图象上的两点，且1?x1?x2，则 （ ） A、a?0,y1?y2 B、a?0,y1?y2 C、a?0,y1?y2 D、a?0,y1?y2 34．若关于x的不等式组?2?x?a?312无解，则二次函数y?(2?a)x?x?的图象与x轴

4?x?15?5a（ ）

A、没有交点 B、相交于两点

C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点

二、解答题

35．若抛物线y?2xm22?4m?3?(m?5)的顶点在x轴的下方，求m的值．

36．把抛物线y?x?mx?n的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是

y?x2?2x?2，求m、n．

37．如图，已知抛物线y??12x?(5?m2)x?m?3，与x2- 40 -

轴交于

A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，

（1）求m的值；

（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．

38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．

C组

解答题

39．如图，已知二次函数y??x?mx?n，当x=3时，

有最大值4．

（1）求m、n的值；

（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B， 求A、B点的坐标；

（3）当y＜0时，求x的取值范围；

（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C， 求C点坐标．

40．阅读下面的文字后，解答问题．

2

有这样一道题目：“已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，

求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的 文字．

（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由； （2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．

41．已知开口向下的抛物线y?ax?bx?c与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜x2，P

22为顶点，∠APB=90°，若x1、x2是方程x?2(m?2)x?m?21?0的两个根，且x1?x2?26．

2222（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的函数关系式．

42．已知二次函数y??x?(m?2)x?3(m?1)的图象如图所示． （1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）求m的取值范围；

（3）在（2）的情况下，若OA?OB?6，求C点坐标； （4）求A、B两点间的距离； （5）求⊿ABC的面积S．

课堂小结：

教学反思：

- 41 -

2

第27章 圆 27.1圆的认识 27.1.1圆的基本元素

教学目标 ：

1、知识与技能：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念。 2、过程与方法：让学生通过实际操作深刻认识圆中的基本概念。 3、情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的能力。 教学重点：圆中的基本概念的认识。 教学难点：对等弧概念的理解。 教学过程

（一）情境导入：圆是如何形成的？

请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。如右图，线段OA绕着它固定的一个端

点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。

同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。

由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？ 而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定） (二)问题：

据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。

我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图27.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。

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图28.1.1

如图27.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。

︵︵线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为BC、BAC，其中像弧BC这样

︵

小于半圆周的圆弧叫做劣弧，

︵像弧BAC.这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。

∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。

结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。 三、课堂练习

1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？

3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？

4、比较右图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确。

5、说出上右图中的圆心角、优弧、劣弧。 6、直径是圆中最长的弦吗？为什么？ （四）课后小结

小结本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。

（五）课后作业：

（六）课后反思：

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BOCA

27.1.2圆的对称性

教学目标：

1、知识与技能：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形。

2、过程与方法：并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，

3、情感态度与价值观：能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 教学重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 教学难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 教学过程： （一）情境导入

要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。

由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。 (二)实践与探索1

（1）、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。

图28.1.4

图28.1.3

实验1、将图形27.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图27.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现?AOB??AOB，AB?AB，AB?AB。

实质上，?AOB确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。

问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？

在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？

（三）应用与拓展

思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要

求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。

（2）如图27.1.5，在⊙O中，AC?BC，?1?45?，求?2的度数。

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（3）如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.求∠C度数.

(第3题) 图 28.1.5 ︵︵

（第4题）

（4）如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数 （四）课后小结

︵︵︵

本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又

得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。

（五）课后作业：

（六）课后反思：

27.1.3圆周角

教学目标：

1、知识与技能：知道什么样的角是圆周角；了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。

- 45 -

2、过程与方法：能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题。 3、情感态度与价值观：通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。进一步体会分类讨论的思想。 教学重点：

1、了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征

2、能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题 教学难点：对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。 教学过程： （一）情境导入

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心

角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

(二)实践与探索1：圆周角

究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。

（三）实践与探索2： 圆周角的度数

（一）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90?的圆周角所对的弦是否是直径

如图27.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那 么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？

启发学生用量角器量出?ACB的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的 圆周角，并测量出它们的

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图28.1.9 （第1题）

度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90?（或直角），进而给出严谨的说明。 证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又 ∠

180?OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以 ∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何

2处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即

半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径

（二）探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系

1、分别量一量图27.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看

图28.1.10 看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？

（2） 分别量出图27.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？

我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。

由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。

为了验证这个猜想，如图27.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。

（三）应用与拓展

1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所 对的弧相等吗，为什么？ 2、你能找出右图中相等的圆周角吗？

3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办 法？

1、 如图，如图27.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数． 在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－弧所对的圆心角和圆周角的度数.

图28.1.12 图28.1.11 30）°，求这条

（四）课后小结 本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或

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周角等于这条等弧所对的圆

周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。

（五）课后作业：课本43页习题6、7

（六）课后反思：

27.2 与圆有关的位置关系 27.2.1点与圆的位置关系

教学目标：

1、知识与技能：了解点与圆的三种位置关系，能够用数量关系来判断点与圆的位置关系。 2、过程与方法：掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径。

3、情感态度与价值观：渗透方程思想，分类讨论思想。

教学重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。

教学难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。 教学过程： （一）情境导入

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同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩上留下的的成绩为

是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆10环，依次为9、8、…、1环）

这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关就是本节课研究的课题。

(二)实践与探索1：点与圆的位置关系

系呢？这

我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，

若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。 如图27.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那OA＜r， OB＝r， OC＞r．反过来也成立，即

若点A在⊙O内 OA?r 若点A在⊙O上 OA?r 若点A在⊙O外 OA?r

思考与练习

1、⊙O的半径r?5cm，圆心O到直线的AB距离d?OD?3cm。在直线AB上有P、Q、R三点，且有

图28.2.1 PD?4cm，QD?4cm，RD?4cm。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？

2、RtABC中，?C?90?，CD?AB，AB?13，AC?5，对C点为圆心，B、D的位置关系是怎样的？

(三)实践与探索2：不在一条直线上的三点确定一个圆

问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。

图23.2.2 60为半径的圆与点A、13

图28.2.4 图23.2.3

从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。

如图27.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂

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