2014-2016年全国一卷圆锥曲线高考题汇编含答案

高二数学专题学案

圆锥曲线部分高考试题汇编（椭圆部分）

1、（2016全国Ⅰ卷）（20）（本小题满分12分）

设圆x?y?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程；

（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求22四边形MPNQ面积的取值范围.

1

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x2y2??1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程2、（2015全国Ⅰ卷）（14）一个圆经过椭圆

164为 。 3、（2014全国Ⅰ卷）

x2y2320.（本小题满分12分）已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，F是椭圆

ab2的焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程.

2

23，O为坐标原点. 3

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4、（2016山东卷）（21）(本小题满分14分）

x2y23平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1?a＞b＞0? 的离心率是，抛物线E：x2?2y的焦点

ab2F是C的一个顶点. （I）求椭圆C的方程；

（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线l与y轴交于点G，记?PFG的面积为S1，?PDM的面积为S2，求时点P的坐标.

S1的最大值及取得最大值S23

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x2y25、（2015山东卷）（20） (本小题满分13分)平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)ab的离心率为3，左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心，以3为半径的圆与以F2为圆心，以1为半径的2圆相交，交点在椭圆C上. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

x2y2（Ⅱ）设椭圆E:2?2?1，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线y?kx?m交椭圆E于A,B两

4a4b点，射线PO交椭圆E于点Q. （ⅰ）求

4

|OQ|的值；（ⅱ）求?ABQ面积最大值. |OP|

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圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）

x2y2

1、（2016全国Ⅰ卷）（5）已知方程m2+n–3m2–n=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）

（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)

x2?y2?1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，2、（2015全国Ⅰ卷）（5）已知M（x0，y0）是双曲线C：2??????????若MF1?MF2＜0，则y0的取值范围是（ ）

（A）（-

3333，） （B）（-，） 336622222323，） （D）（?，） 3333（C）（?3、（2014全国Ⅰ卷）4. 已知F是双曲线C：x2?my2?3m(m?0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）

A.3 B.3 C.3m D.3m

x2y24、（2016山东卷）（13）已知双曲线E1：2?2?1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，

abAB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______ . x2y25、（2015山东卷）(15)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线与抛物线

abC2:x2?2py(p?0)交于点O,A,B，若?OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为 .

x2y2x2y26、（2014山东卷）（10）已知a?b，椭圆C1的方程为2?2?1，双曲线C2的方程为2?2?1，C1abab与C2的离心率之积为3，则C2的渐近线方程为（ ） 2（A）x?2y?0 （B）2x?y?0 （C）x?2y?0 （D）2x?y?0

5

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m2m2?m(x?m)，即y?mx?所以直线l的斜率为m，其直线方程为y?. 22

11

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m2（2）由（1）知直线l的方程为y?mx?，

2m2m2)， 令x?0得y??，所以G(0,?22m212m3?m2),F(,0),D(2又P(m,,)， 224m?12(4m2?1)111m(2m2?1)22所以S1?|GF|m?m(m?1)，S2?|PM|?|m?x0|?， 22428(4m?1)S1(2t?1)(t?1)S12(4m2?1)(m2?1)112?????2， t?2m?1所以，令，则?S2S2t2t2t(2m2?1)2

考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.

3c3x2y22225、解析：（Ⅰ）由椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为可知e??，而a?b?c则

2aba2a?2b,c?3b，左、右焦点分别是F1(?3b,0),F2(3b,0),

圆F1：(x?3b)2?y2?9,圆F2：(x?3b)2?y2?1,由两圆相交可得2?23b?4，即1?3b?2，

交点(4222?,?1?())，在椭圆C上，则223b?4b3b3b421?(2?3b)23b?1， 2b2整理得4b?5b?1?0，解得b?1,b2?1（舍去） 4x2?y2?1. 故b?1,a?4,椭圆C的方程为422x2y2??1， （Ⅱ）（ⅰ）椭圆E的方程为

16412

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设点P(xx200,y0)，满足4?y2?1，射线PO:y?y00xx(xx0?0)， 0代入x216?y24?1可得点Q(?2x|OQ|(?2x20)2?(?2y0)0,?2y0)，于是|OP|?x22?2.

0?y0（ⅱ）点Q(?2x0,?2y0)到直线AB距离等于原点O到直线AB距离的3倍：

d?|?2kx0?2y0?m|m|

1?k2?3|1?k2??y?kx?m?x2y2，得x2?4(kx?m)2?16，整理得(1?4k2)x2?8kmx?4m2?16?0 ??16?4?1??64k2m2?16(4k2?1)(m2?4)?16(16k2?4?m2)?0 AB|?1?k2|1?4k216(16k2?4?m2) S?12|AB|d?1|m|2|m|16k2?4?m22?2?3?1?4k2?416k?4?m?61?4k2 ?6?m2?16k2?4?m22(4k2?1)?12，当且仅当|m|?16k2?4?m2,m2?8k2?2等号成立. 而直线y?kx?m与椭圆C：x24?y2?1有交点P，则 ??y?kx?my?4有解，即2222?x2?42x?4(kx?m)?4,(1?4k)x?8kmx?4m2?4?0有解， 其判别式?221?64km2?16(1?4k2)(m2?1)?16(1?4k2?m)?0，即1?4k2?m2，m2?8k2?2不成立，等号不成立，

|m||m|16k2?4?m2设t?1?4k2?(0,1]，则S??61?4k2?6(4?t)t在(0,1]为增函数， 于是当1?4k2?m2时S?max?6(4?1)?1?63，故?ABQ面积最大值为12.

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则上述

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圆锥曲线部分高考试题汇编（双曲线部分）答案

1、【答案】A

【解析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，所以m?n?3m?n?4，解得：m?1，因为方程

222?1?n?0?n??1x2y2??1表示双曲线，所以?，解得?，所以n的取值范围是??1,3?，故选A． 1?n3?n?n?3?3?n?0考点：双曲线的性质 2、

考点：向量数量积；双曲线的标准方程 3、A 4、【答案】2

b2b22b2试题分析：易得A(c,)，B(c,?)，所以|AB|?，|BC|?2c，由2AB?3BC，c2?a2?b2aaa得离心率e?2或e??1（舍去），所以离心率为2. 2考点：把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.

x2y22pb2pb22pb2pb2b,2),B(?,2) 5、解析：C1:2?2?1(a?0,b?0)的渐近线为y??x，则A(aabaaaa2pb2p?2pb25c2a2?b29c3a2a2?，即2?,2?2?,e??. C2:x?2py(p?0)的焦点F(0,)，则kAF?2pb2a4aa4a2ba6、【答案】A

c2a2?b22c2a2?b2,e2?2?, 【解析】?e1?2?aa2aa222a4?b43b????(e1e2)?? 42a4a2

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圆锥曲线部分高考试题汇编（抛物线部分）答案

1、【答案】B【解析】

试题分析：如图，设抛物线方程为y?2px，圆的半径为r,AB,DE交x轴于C,F点，则AC?22，即A点纵坐标为22，则A点横坐标为

2442222，即OC?，由勾股定理知DF?OF?DO?r，ppp4AC2?OC2?AO2?r2，即(5)2?()2?(22)2?()2，解得p?4，即C的焦点到准线的距离为

2p4，故选B.考点：抛物线的性质

2、【答案】（Ⅰ）ax?y?a?0或ax?y?a?0（Ⅱ）存在

试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将

y?kx?a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求

思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而找出适合条件的P点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得M(2a,a)，N(?22,a)，或M(?22,a)，N(2a,a).

1x2∵y??x，故y?在x=22a处的到数值为a，C在(22a,a)处的切线方程为

24y?a?a(x?2a)，即ax?y?a?0.

x2故y?在x=-22a处的到数值为-a，C在(?22a,a)处的切线方程为

4y?a??a(x?2a)，即ax?y?a?0.

故所求切线方程为ax?y?a?0或ax?y?a?0. ??5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1,k2.

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将y?kx?a代入C得方程整理得x?4kx?4a?0. ∴x1?x2?4k,x1x2??4a. ∴k1?k2?2y1?by2?b2kx1x2?(a?b)(x1?x2)k(a?b)==. ?ax1x2x1x2 当b??a时，有k1?k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN，所以P(0,?a)符合题意. ??12分

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力。 3、B

p,0). 2p?2t设，则FD的中点为(,0).

44、解：（I）由题意知F(?FA?FD,由抛物线的定义知3?解得t?3?p或t??3（舍去） 由

pp?t?， 22p?2t?3,解得p?2. 42所以抛物线C的方程为y?4x. （II）（i）由（I）知F(1,0)

设A(x0,y0)(x0y0?0),D(xD,0)(xD?0),

?FA?FD,?xD?1?x0?1，

由xD?0得xD?x0?2,?D(x0?2,0). 所以直线AB的斜率kAB??y0. 2因为直线l1与直线AB平行， 所以设直线l1的方程为y??代入y?4x，得y?2y0x?b， 2288by??0, y0y016

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由题意得??6432b2得??0,b??. 2y0y0y0设E(xE,yE),则yE??44,xE?2. y0y04?y0y?yy4y020当y0， ??0??4时，k?E22xE?x0y0?44y0?24y02由y0?4x，整理得y?4y0(x?1)， 2y0?4直线AE恒过点F(1,0).

2当y0?4时，直线AE的方程为x?1，过点F(1,0).

所以 直线AE过定点F(1,0). （ii）由（i）得直线AE过焦点F(1,0).

?AE?AF?PF?(x0?1)?(设直线AE的方程为x?my?1,

11?1)?x0??2. x0x0因为点A(x0,y0)在直线AE上，?m?x0?1. y0y0(x?x0), 2设B(x1,y1),直线AB的方程为y?y0???y0?0,?x??2y?2?x0， y02代入抛物线方程，得：y?8y?8?4x0?0. y0?y0?y1??884,y1??y0?,x1??x0?4. y0y0x0所以点B到直线AE的距离为

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d?48?x0?4?m(y0?)?1x0y01?m2?4(x0?1)x0?4(x0?1x0).

则?ABC的面积S?111?4(x0?)(x0??2)?16, 2x0当且仅当

1x?x0，即x0?1时等号成立. 0所以?ABC的面积的最小值为16.

x018

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1、【解析】作出可行域如图，由图象可知当M位于点D处时，OM的斜率最小。由??x?2y?1?0?x?3?11??，得?，即D3,()1?,此时OM的斜率为33?3x?y?8?0?y??1选C.

2、【解析】因为﹁p是q的必要而不充分条件，所以﹁q是p的必要而不充分条件，即p是﹁q的充分而不必要条件，选A.

3、【解析】经过第一象限的双曲线的渐近线为y?p3x。抛物线的焦点为F(0,),双曲线的

23x021313右焦点为F2(2,0).y'?x，所以在M(x0,)处的切线斜率为，即x0?，所以

p32pp3ppp??0p33p62，即p?43，2x0?p，即三点F(0,)，F2(2,0)，M(p,)共线，所以?233630?23p3选D

4

、【

解

析

】

由

x2?3xy?4y2?z?0，得

z?x2?3xy?4y2。所以

xyxy1x4y1?2??，当且仅当，即x?2y时取等号此时??1zx?3xy?4y2x?4y?3yxx4y2??3yxyxz?2y2，(xy2122122121)max?1. ??????(1?)?(1?) zxy2yxyz2yyxyy11?1?2y2y2?4()?1，故选B.

235、解析：p：“函数f(x)= ax在R上是减函数 ”等价于0?a?1；q：“函数g(x)=(2-a) x在R上是增函数”

等价于2?a?0，即0?a?2,且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。

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6、解析：双曲线x2-y2＝1的渐近线方程为y??x，代入

可得

a2b234222222a?2bb?5bx?2,S?4x?16，则，又由可得，则， e?ab?4(a?b)22a?b2x2y2??1，答案应选D。 于是b?5,a?20。椭圆方程为

205227、解析：圆C:(x?3)2?y2?4，c?3,而3b?2，则b?2,a2?5，答案应选A。

c20

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