动能定理、机械能守恒和圆周运动的结合 - 图文

课题： 学案

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一、知识回顾 1、机械能守恒定律

（1）守恒条件：只有 和 做功

（2）表达式：EK1+Ep1=

（3）解题步骤：习题1 （1） ①、选取研究对象——物体系或物体。

②、根据研究对象经历的物理过程，进行 分析、 分析，判断机械能是否守恒。 ③、恰当地选取 ，确定研究对象在过程的 、 状态时的 。 ④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。

2、运用圆周运动向心力公式的技巧：

（1）公式（请写出F向与v，ω，T三个物理量的关系式）：

（2）解题技巧：习题1（2）

公式左：做受力分析，寻找 的来源。

公式右：根据题目出现的 、 、 选择公式。

二、习题

1、 如图所示把一个质量为m的小球用细线悬挂起来，形成一个摆，摆长为L，最大偏角为θ，小球从静

止释放，求：

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（1） 小球运动到最低位置时的速度是多大； （2） 小球运动到最低位置时绳子的拉力是多大。

2、 如图所示，用长为L的轻绳，一端拴一个质量为m的小球，一端固定在O点，小球从最低点开始运

动，若小球刚好能通过最高点，在竖直平面内做圆周运动，求： （1） 小球通过最高点的向心力； （2） 小球通过最高点的速度； （3） 小球通过最低点的速度。

（4） 小球通过最低点时受到绳子的拉力。

3、 AB是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，在下端B与光滑水平直轨道相切，如图所示，一小球自

A点起由静止开始沿轨道下滑。已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，求

（1） 小球运动到B点时的速度；

θ O L v A A 第 2 页 共 19 页

O B C （2） 小球经过光滑圆弧轨道的B点和光滑水平轨道的C点时，所受轨道支持力FNB、FNC。

4、 一质量m=2Kg的小球从光滑斜面上高h=3.5m处由静止滑下，斜面底端紧接着一个半径R=1m的光滑圆

环，如图所示，试求（g=10m/s）

（1） 小球滑至圆环底部时对环的压力； （2） 小球滑至圆环顶点时对环的压力；

（3） 小球至少应从多高处由静止滑下才能刚好越过圆环最高点．

5、 如图所示，半径R＝0.4m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平面相切于圆环的顶

点A。一质量m＝0.10kg的小球以初速度v0＝7.0m/s在水平地面上向左做加速度的大小为3.0m/s2的匀减速直线运动，运动4.0m后，冲上竖直半圆环，求（g=10m/s） （1） 小球到达端点A时的速度； （2） 小球是否能到达圆环的最高点B；

（3） 如果小球能够到达圆环的最高点，求小球通过B

点的速度和小球对B点的压力；

（4） 小球冲上竖半圆环，最后落在C点，求A、C间

2

2

h R 图5-25 B 第 3 页 共 19 页

v A C 的距离。

课题：机械能守恒和圆周运动的结合

教学目标

提高学生对机械能守恒和圆周运动向心力公式两个知识点的运用能力，学会将两个知识点有机地结合起来进行解题。通过习题的实践，教师的引导，使学生学会如何将知识进行整合和迁移。

教材分析

重点：机械能守恒定律，圆周运动向心力的来源。

难点：机械能守恒定律和圆周运动向心力两个知识点的综合运用。

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教学过程

前面我们学习了机械能守恒定律，那么机械能守恒的条件是什么？ 只有重力和弹簧弹力做功

只有重力做功等同于物体仅受重力吗？只有重力做功可能出现几种情况？ （课件） 只有重力做功：

①、物体仅受重力，只有重力做功——自由落体、抛体运动；

②、物体除受重力外，还受其他外力的作用，但只有重力做功。——摆球摆动的过程、小球冲上光滑圆环。

情况2中的摆球、同学们进行考查，这就是我小球冲光滑圆环物理模型属于圆周运动，而且它们指向圆心的力都有一个共同特点——不做功，只有重力做功，满足机械能守恒定律，因而在实际运用中常把这两个知识点糅合起来，对们今天要讲的内容——机械能守恒和圆周运动的结合。

首先，让我们一起来回顾一下机械能守恒和圆周运动的一些重要的知识点，完成学案知识回顾。

一、知识回顾 1、机械能守恒定律

（1）守恒条件：只有重力和弹簧弹力做功 （2）表达式：

Ep1?Ek1?Ep2?Ek2

1122mgh1?mv1?mgh2?mv2

22注意：

①、h——相对于零势面的高度 ②、零势面的选取： （课件）

一般选地面；为了解题方便，很多时候选物体运动的最低点，例如摆球、圆形轨道选最低点。 ③、在图中明确定位初、末位置（可用A、B、C点表示），列出对应状态下面的Ep和Ek。

（3）解题步骤

①、选取研究对象——物体系或物体。

②、根据研究对象经历的物理过程，进行受力分析、做功分析，判断机械能是否守恒。 ③、恰当地选取参考平面（零势面），确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。 ④、根据机械能守恒定律列方程，进行求解。 通过习题1 （1）回顾机械能守恒的解题步骤。 2、运用圆周运动向心力公式的技巧：

刚才有部分同学完成了习题1（1）后已经进入了第二问的解答，那么解答第二问时是否还是继续用机械能守恒定律？由于模型是圆周，所以要用到之前的圆周运动的公式，习题1（2）（定点A）＋最低点的向心力由什么力提供？（拉力等于重力吗？）

解答计算题时一定要对模型进行受力分析，还要有必要的文字表述 （1）公式：

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求得

∵

vB最小?gR?2m/s

vB?vB最小

∴ 小球能到达最高点B

（3）vB?3m/s

2vB F向＝N?mg?mR2

vB?mg?1.25N N?mR根据牛顿第三定律 N’=N=1.25N 方向：竖直向上

（4））小球冲上半圆环从B点以水平速度抛出，在重力的作用下，做平抛运动，最终落在C点

h?2R?t?12gt 24?0.4?0.4(s) 104R?txBC?vBt?3?0.4?1.2(m)

机械能守恒

例1、木块原来静止，斜面光滑，比较滑到底端的速度大小？如果斜面粗糙，木块与斜面的动摩擦因数相同，比较滑到底端的速度大小？

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例2、如图，滑块从斜面点点A由静止滑至水平部分C点静止。一直斜面高h，滑块运动的整个水平距离为s，设转交B处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求动摩擦因数。

例3、如图，光滑水平桌面上开一小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F向下拉，维持小球在水平面上做半径为r的匀速圆周运动。缓缓地增大F，使圆周运动的半径逐渐减小。当拉力变为8F时，小球运动的半径变为r/2，在此过程中拉力做功（ ）

A. 0 B. 7 F r / 2 C. 4 F r D. 3 F r / 2

7、

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匀速圆周运动

3、如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平布做匀速圆周运动，以下说法正确的是：（ ） A. VA>VB B. ωA>ωB C. aA>aB D.压力NA>NB A B 4、半径为R的光滑半圆柱固定在水平地面上，顶部有一小物块， 第 13 页 共 19 页 如图所示，今给小物块一个初速度v0A. 沿圆面A、B、C运动

则物体将：（ ?gR，

）

A R O v B C B. 先沿圆面AB运动，然后在空中作抛物体线运动 C. 立即离开圆柱表面做平抛运动

D. 立即离开圆柱表面作半径更大的圆周运动

5、如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点钉一颗钉子，使悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时：（ ） ①小球的瞬时速度突然变大 ②小球的加速度突然变大 ③小球的所受的向心力突然变大 ④悬线所受的拉力突然变大 A. ①③④ B. ②③④ C. ①②④ D.①②③

6、如图所示，汽车以速度V通过一半圆形拱桥的顶点时，关于汽车受力的说法正确的是 A. 汽车受重力、支持力、向心力B. 汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力、向心力 C. 汽车的向心力是重力D. 汽车的重力和支持力的合力是向心力

7．如图所示，质量m=0.1kg的小球在细绳的拉力作用下在竖直面内做半径为r=0.2m的圆周运动，已知小球在最高点的速率为v1=2m/s，g取10m/s2，试求： （1）小球在最高点时的细绳的拉力T1=？ （2）小球在最低点时的细绳的拉力T2=？

8．(6分)如图5-14所示，半径为R的圆板置于水平面内，在轴心O点的正上方高h处，水平抛出一个小球，圆板做匀速转动，当圆板半径OB转到与抛球初速度方向平行时，小球开始抛出，要使小球和圆板只碰一次，且落点为B，求：(1)小球初速度的大小．(2)圆板转动的角速度。

9、长为L=0.4m的轻质细杆一端固定在O点，在竖直平面内作匀速圆周运动，角速度为ω=6rad/s，若杆的中心处和另一端各固定一个质量为m=0.2kg的小物体，则端点小物体在转到竖直位置的最高点时，（g取10m/s）求:

(1)杆对端点小物体的作用力的大小和方向； (2)杆对轴O的作用力的大小和方向。

2

O θ P v1o

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动能定理

2、 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s）

2

3、 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）

A .Δv=0 B. Δv=12m/s C. W=0 D. W=10.8J

H h 2-7-2

4、 在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ） A. v022?2gh D. v0?2gh?2gh B. v0?2gh C. v0

5、 一质量为 m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（ ）

A. mglcosθ B. mgl(1－cosθ) C. Flcosθ D. Flsinθ

7、 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m＝l0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送

2

带传送至h＝2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数??3，g取10m/s。

2O θ l Q F P 2-7-3

(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?

(2) 工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功?．

8、 如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

2-7-4

9、 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s）

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2

机械能守恒 例1、相同

例2、

例3.

6.

6.

7、

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16、

13、

6、

第 17 页 共 19 页

匀速圆周运动3、A 4、C 5、B 6、D

7．（1）T﹦3N （2）T﹦7N

8．解析：(1)小球做平抛运动在竖直方向 h＝

12

gt t＝22h g在水平方向：s＝v1t＝v02h ＝R 所以v0＝Rg

2hg (2)因为t＝nT＝n2? 即2h ＝n2? 所以ω＝2πn

?g?g (n＝1，2，…)

2h 答案：(1)R

g (2)2πng (n＝1，2，…) 2h2h2

9、简解：（1）mg+TA=mω L

TA= mω L-mg=0.88N 方向向下

（2）mg+ TB -TA=mω L/2

TB = TA +mω L/2-mg=0.32N 方向向下 轴O受力方向向上，大小也为0.32N

2

2

2

L动能定理

2、石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。

对石头在整个运动阶段应用动能定理，有

mg(H?h)?Fh?0?0。

图D-1 所以，泥对石头的平均阻力F?H?h?mg?2?0.05?2?10N=820N。

h0.053、解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理

答案：BC

W?ΔEK?112mvt2?mv0?0224、解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有

mgh?1mv2?1mv2，

220解得小球着地时速度的大小为 v?2v0?2gh。正确选项为C。

5、解答 将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtanθ，可见，随着θ角的增大，F也在增大。而变力的功是不能用W= Flcosθ求解的，应从功和能关系的角度来求解。

小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。

小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 W－mgl(1－cosθ)=0，

W= mgl(1－cosθ)。正确选项为B。

7、解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力

F??mgcos?，

工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律

F?mgsin??ma

可得 a?F322

?gsin??g(?cos??sin?)?10?(cos300?sin300)m/s=2.5m/s。 m2设工件经过位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律

22可得 x?v0?2m=0.8m＜4m。

2a2?2.5第 18 页 共 19 页

故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。

(2) 在工件从传送带底端运动至h＝2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf ，由动能定理

Wf?mgh?1212, 可得

Wf?mgh?mv0?10?10?2J?1?10?22J=220J。 mv02228、解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0， 所以mgR-umgS-WAB=0

即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)

9、解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。

在匀加速运动过程中，加速度为

a?Fm?mg120?8?10m/s2=5 m/s2，

?m8v末速度 v?Pm?1200m/s=10m/s， 上升时间 t1?t?10s=2s，

ta5Fm12022v10t上升高度 h1?m=10m。 ?2a2?5在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为

v?Pm?1200m/s=15m/s， mmg8?1012由动能定理有 Pmt2?mg(h?h1)?1mvm?mvt2，

22解得上升时间

mg(h?h1)?112m(vm?vt2)8?10?(90?10)??8?(152?102)s=5.75s。 22?Pm1200t2?所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为 t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。

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