2012-2018高考（全国I,II,III卷）真题分类汇编专题：19.不等式选讲（解析版）

专题：不等式选讲

1.(2018新课标III文理23)设函数f?x??2x?1?x?1． ⑴画出y?f?x?的图像；

???， f?x?≤ax?b，求a?b的最小值． ⑵当x∈?0，

???3x,x??1?2（1）f(x)???x?2,?1?x?2?1，如下图：

??3x,x?1?

（2）由（1）中可得：a?3，b?2， 当a?3，b?2时，a?b取最小值， ∴a?b最小值为5 1

2．(2018新课标II文理23) 设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|． （1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围． 解：（1）当a?1时，

?2x?4,x??1,?f(x)??2,?1?x?2,

??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．

而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4． 由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)． 3. (2018新课标I文理23)已知f?x??x?1?ax?1． ⑴当a?1时，求不等式f?x??1的解集；

1?时不等式f?x??x成立，求a的取值范围． ⑵若x∈?0，?2?解答：（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|??2x??2?∴f(x)?1的解集为{x|x?}.

x?1?1?x?1， x??112（2）当a?0时，f(x)?|x?1|?1，当x?(0,1)时，f(x)?x不成立.

当a?0时，x?(0,1)，∴f(x)?x?1?(1?ax)?(a?1)x?x，不符合题意. 当0?a?1时，x?(0,1)，f(x)?x?1?(1?ax)?(a?1)x?x成立.

1?(a?1)x,?1?x???a当a?1时，f(x)??，∴(1?a)?1?2?1，即a?2.

1?(1?a)x?2,x??a?综上所述，a的取值范围为(0,2].

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4.(2017新课标III文理23)已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. （1）求不等式f(x)≥1的解集；

2

（2）若不等式f(x)≥x–x +m的解集非空，求m的取值范围.

（2）原式等价于存在x?R，使f(x)?x2?x?m 成立，即 [f(x)?x?x]max?m 设g(x)?f(x)?x2?x

2??x2?x?3,x??1?2g(x)?由（1）知 ??x?3x?1,?1?x?2

??x2?x?3,x?2?当x??1时，g(x)??x2?x?3 其开口向下，对称轴x?1??1 2∴g(x)?g(?1)??1?1?3??5

3

当?1?x?2时 g(x)??x2?3x?1 其开口向下，对称轴为x?∴g(x)?g()??3 232995??1? 424当x?2时，g(x)??x2?x?3 其开口向下，对称轴为x?1 2∴g(x)?g(2)??4?2?3?1

5 45∴m的取值范围为 (??,].

4综上 g(x)max?5.(2017新课标II文理23) 已知a?0,b?0,a3?b3?2.证明： （1）?a?b?a5?b5?4 错误！未找到引用源。： （2）错误！未找到引用源。a?b?2. 【解析】(1)(a???b)(a5?b5)?a6?ab5?a5b?b6

2?(a3?b3)?2a3b3?ab(a4?b4) ?4? ?4. （2）因为(a?

ab(a2?b2)2

b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

?2?3ab(a?b)

3(a?b)2(a?b) ?2?4

6.(2017新课标I文理23)已知函数f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.

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7.(2016新课标III文理24)已知函数f(x)?|2x?a|?a. （I）当a=2时，求不等式f(x)?6的解集；

（II）设函数g(x)?|2x?1|.当x?R时，f(x)?g(x)?3，求a的取值范围.

（Ⅱ）当x?R时，f(x)?g(x)?|2x?a|?a?|1?2x|

?|2x?a?1?2x|?a ?|1?a|?a，

当x?1时等号成立， 2所以当x?R时，f(x)?g(x)?3等价于|1?a|?a?3. ① ……7分 当a?1时，①等价于1?a?a?3，无解. 当a?1时，①等价于a?1?a?3，解得a?2. 所以a的取值范围是[2,??). ………………10分 考点：绝对值不等式的解法、三角不等式的应用

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