高考复习资料8-函数与方程 - 图文

高考专题复习资料4 函数与方程

1．函数零点的概念：对于函数y?f(x)，我们把方程f(x)?0的实数根叫做函数y?2．函数零点与方程根的关系：

方程

f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图象与x轴有点?函数y?f(x)有零点.因此判断

f(x)的零点。

一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)?0是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程f(x)?0，所得实数根就是f(x)的零点 3．函数零点的存在性定理：

如果函数y?f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)?f(b)?0，那么，函数

y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在x0?(a,b)，使得f(x0)?0，这个x0也就是方程f(x)?0的根。

但要注意：如果函数y?f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间

上的一个零点，却不一定有f(a)?f(b)?0. 注：若f(x)?0或f(x)?0恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】

1.对函数零点的理解及补充

（1）若y?f(x)在x?a处其函数值为0，即f(a)?0，则称a为函数f(x)的零点。 （2）变号零点与不变号零点

①若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。 ②若函数f(x)在零点x0左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。 ③若函数f(x)在区间?a,b?上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)?0是f(x)在区间?a,b?内有零点的充分不必要条件。 （3）一般结论：函数y?f(x)的零点就是方程f(x)?0的实数根。从图像上看，函数y?f(x)的零

点，就是它图像与x轴交点的横坐标。

（4）更一般的结论：函数F(x)?f(x)?g(x)的零点就是方程f(x)?g(x)的实数根，也就是函数y?与y?g(x)的图像交点的横坐标。

2.函数y?f(x)零点个数（或方程f(x)?0实数根的个数）确定方法

1

f(x)1)代数法：函数y?f(x)的零点?f(x)?0的根;

2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y?函数的性质找出零点。

3)注意二次函数的零点个数问题 ??0?y?f(x)有2个零点?f(x)?0有两个不等实根;

f(x)的图象联系起来，并利用

??0?y?f(x)有1个零点?f(x)?0有两个相等实根

??0?y?f(x)无零点?f(x)?0无实根; 对于二次函数在区间?a,b?上的零点个数，要结合图像进行确定

3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。

为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a化为正数，

a?0，ax2?bx?c?0(a?0)恒成立?a?0 （1）ax2?bx?c?0(a?0)恒成立????????0???02a?0?a?b?0；a?0?a?b?0 ax2?bx?c?0的解集为R??ax?bx?c?0的解集为R??（2） 或?或??????0?c?0???0?c?0（3）对于二次函数在区间?a,b?上的最值问题. 4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。

①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小?a·f(r)<0； ②二次方程f(x)=0的两根都大于

???b2?4ac?0,?r???b?r, ;

??2aa?f(r)?0??2

③二次方程f(x)=0

???b2?4ac?0,?b在区间(p，q)内有两根? ?q,?p????2a?a?f(q)?0,???a?f(p)?0;④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根?f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。 5.构造函数解不等式恒成立的问题

（1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。

（2）m?f(x)恒成立?m??f(x)?max，m?f(x)恒成立?m??f(x)?（注意等号是否成立）

min（3）m?f(x)有解?m??f(x)?min，m?f(x)有解?m??f(x)?max （4）f(x)?0在区间?a,b?上恒成立??f(x)?在?a,b?上大于0

min6.函数零点个数的确定方法:

①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;②一元n方程最多有n个实数根,一般常用分解因式进行求解;

③指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决; ④利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数.

4)对于函数F(x)?f(x)?g(x)的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。

5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。 7.用二分法求方程的近似解:

(1)二分法的定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)?0的函数y?f(x),通过不断地把函数y?f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;

(2) 用二分法求方程的近似解的步骤:

①确定区间[a,b],验证f(a)?f(b)?0,给定精确度?;

3

②求区间(a,b)的中点c; ③计算f(c);

(ⅰ)若f(c)?0,则c就是函数的零点;

(ⅱ) 若f(a)?f(c)?0,则令b?c(此时零点x0?(a,c)); (ⅲ) 若f(c)?f(b)?0,则令a?c(此时零点x0?(c,b));

④判断是否达到精确度?,即a?b??,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步. 例题精讲：

例1.求下列函数的零点. (1) f?x??x3?1; (2) f?x??x

例2.已知函数f(x)?x2?2ax?a2?1的两个零点都在(?2,4)内,求实数a的取值范围.

【例3】函数f(x)?lnx?2x?6的零点一定位于区间（ ）.

A. (1, 2) B. (2 , 3) C. (3, 4) D. (4, 5) 【例4】求证方程3

【例5】（1）若方程2ax2?1?0在(0,1)内恰有一解,则实数a的取值范围是 . （2）已知函数f(x)?3mx?4，若在[?2,0]上存在x0，使f(x0)?0，则实数m的取值范围是 .

函数与方程(一)

1.方程x-

x2?2x?3; (3)f(x)?x3?2x2?x?2

x?1?2?x在(0,1)内必有一个实数根. x?11=0的实数解所在的区间是( ) x4

A.(-∞,-1) B.(-2,2) C.(0,1) D.(1,+∞) 2.若函数f(x)=ax+b有一个零点2,则方程bx2-ax=0的根是( ) A.0,2 B.0,? C.0, -? D.2,- ?

3.(2010·合肥)方程x2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a的取值范围是( )

?23?A.??,????5? B.?1,????23?C.??,1??5?23??D.???,??

5??4.已知函数y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表: x y 1 -5 2 2 3 8 4 12 5 -5 6 -10 则函数y=f(x)在x∈[1,6]上的零点至少有( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 5.(2010·浙江)已知x0是函数f(x)=2x+

1的一个零点.若

1?xx1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 6.若函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是-2和3,则不等式a·f(-2x)>0的解集是________. 7.方程xlg(x+2)=1有________个不同的实数根.

8.已知函数f(x)=|x|+|2-x|,若函数g(x)=f(x)-a的零点个数不为0,则a的最小值为________.

9.若函数f(x)=22x+2xa+a+1有零点,求实数a的取值范围.

10.(1)m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4.①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1大;

(2)若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点,求实数a的取值范围.

函数与方程(二)

1.已知函数f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则该函数的所以零点之和为( ) A．0 B．1 C.2 D． 4

2.设x0是方程lnx?x?4?0的解,则x0属于区间( )

5

A.?0,1? B.?1,2? C.?2,3? D.?3,4?

3.（2009天津卷）设函数f(x)?1x?lnx(x?0),则y?f(x)在区间( )

3A.(1,1)和(1,e)内均有零点 B.(1,1)和(1,e)内均无零点

eeC.(1,1)内有零点，在区间(1,e)内无零点 D.(1,1)内无零点，在区间(1,e)内有零点

ee4.今有一组实验数据如下表

x y 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个，近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( ) A. y?log2x B.y?log0.5x C. y?1x22?1 D. 2y?2x?2

5.观察下列函数y?f?x?图像，方程f?x??2?0在???,0?内有解是（ ）

6.二次函数f(x)?x2?px?q的零点为1和m,且?1?m?0,则p,q满足的条件是( ) A.p?0且q?0 B.p?0且q?0 C.p?0且q?0 D.p?0且q?0 7.若函数f(x)?x3?3x?a有3个不同的零点,则实数a的取值范围为( ) A.(?2,2) B.[?2,2) C.(??,?1) D.(1,??)

8. 若函数f(x)?x3?x2?2x?2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f(1)??2 f(1.375)??0.260 f(1.5)?0.625 f(1.25)??0.984 f(1.4375)?0.162 f(1.40625)??0.054 则方程x3?x2?2x?2?0的一个近似根(精确到0.1)为( ) A.1.2 B.1.3 C.1.4 D.1.5 9.方程2x?x2的实数根的个数是( )个 A.1 B.2 C.3 D.无数多

10.已知f(x)?(x?a)(x?b)?2,m,n是方程f(x)?0的两个根,且a?b,m?n,则a,b,m,n的大小关系为( )

A.m?a?b?n B.a?m?n?b C.a?m?b?n D.m?a?n?b

6

11.三次方程x3?x2?2x?1?0在下列哪个区间上有实根( ) ① (?2,?1) ②(?1,0) ③ (0,1) ④ (1,2) ⑤ (2,3)

A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ②③④

12.(2009福建卷)若函数f(x)的零点与g(x)?4x?2x?2的零点之差的绝对值不超过0.25,则

f(x)可以是（ ）

A. f(x)?4x?1 B. f(x)?(x?1)2 C. f(x)?ex?1 D. f(x)?ln(x?1)

213．函数f(x)对一切实数x都满足f(3?x)?f(3?x)，并且方程

22f(x)?0有三个实根，则这三个实根的和为 . 14.某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图 的一次函数图像确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为_____________. 第14题 15根据下表中的数据，可以断定方程ex?x?2?0的一个根所在的区间是 ．

x ex x?2 －1 0.37 1 0 1 2 f(x)?ax?x?a (a1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5 16.(2009山东卷)若函数是 .

?0且a?1)有两个零点，则实数a的取值范围

17.不用求根公式,求函数f(x)?(x?2)(x?5)?1的零点的个数,并比较零点与3的大小. 18.求方程2x3?3x?3?0的一个近似解,精确到0.1.

19.已知函数f?x?的图像在区间?0,6?上连续，且对应值如下表：

x y 0 1 2 3 4 5 6

(1)判断函数f?x?在区间

0 ?3.42 13.20 ?7.80 8.9 ?35.2 ?235 ?0,6?内有几个零点，

(2)判断方程f(x)?8?0的根在哪个以连续整数为端点的开区间内？并说明理由．

20.设函数f(x)?x2?2x?1在区间[t,t?1]有最小值g(t)，求函数g(t)的零点.

7

函数与方程(三)

x(x?4),x?0, 则函数f(x)零点个数为 ( ) 1.(2009·广州)已知函数则函数f(x)????x(x?4),x≥0.A.1 B.2 C.3 D.4

2．(2010·昆明)设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是( ) A．[0,1] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－1,0]

11

3.设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－)·f( )<0，则方程f(x)＝0在[－

221,1]内( )

A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根 4．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3

5.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0.则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( )

A.5 B.4 C.3 D.2

1

6.设函数y＝x3与y＝( )x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是( )

2A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

7.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式a·f(－2x)>0的解集是______________．

8.已知函数f(x)＝2mx＋4，若在[－2,1]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是 .

9.(2009·山东高考)若函数f(x)＝a－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .

x11

10.已知函数f(x)＝x－x＋＋.证明：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.

242

3

2

x

11.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点.

8

4

12.若函数f(x)＝ax－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－. 3

3

(1)求函数的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围.

函数与方程(四)

一、选择题

1

1．函数f(x)＝lnx－的零点的个数是( )

x－1A．0 B．1 C．2 D．3

2．设x0是方程lnx＋x＝4的解，则x0属于区间( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

3．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,2) B．[－2,2] C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

4．(2009·福建)若函数f(x)的零点与g(x)＝4＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )

1

A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－)

21

5．(2009·天津)设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)，则y＝f(x)( )

3?1?

A．在区间?，1?，(1，e)内均有零点

?e??1?

B．在区间?，1?，(1，e)内均无零点

?e?

?1?

C．在区间?，1?内有零点，在区间(1，e)内无零点

?e??1?

D．在区间?，1?内无零点，在区间(1，e)内有零点

?e?6．函数f(x)＝－x3＋x2＋x－2的零点分布情况是( )

x

9

1??

A．一个零点，在?－∞，－?内

3??1??

B．两个零点，分别在?－∞，－?、(0，＋∞)内

3??

1??1??

C．三个零点，分别在?－∞，－?、?－，0?、(1，＋∞)内

3??3??1??

D．三个零点，分别在?－∞，－?、(0,1)、(1，＋∞)内

3??二、填空题

7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有实根的区间是__________．

8．已知函数f(x)＝mx＋(m－3)x＋1的图像与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是__________．

9．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，这时可判断x0∈__________. 10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

e2

11．已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x＞0)．

x

22

(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

4

12．已知函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－. 3

(1)求函数的解析式；

(2)若关于x的方程f(x)＝k有三个零点，求实数k的取值范围．

10

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