数值分析报告第五版问题详解

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第一章 绪论

1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*

****

r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈

2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()

p xf x C f x = 又1'()n f x nx -=, 1

||n p x nx C n n

-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?

且(*)r e x 为2

((*))0.02n r x n ε∴≈

3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指

出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =,

*456.430x =,*57 1.0.x =?

解：*1 1.1021x =是五位有效数字；

*20.031x =是二位有效数字；

*3385.6x =是四位有效数字；

*456.430x =是五位有效数字；

*57 1.0.x =?是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .

其中****

1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：

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*4

1*3

2*13*3

4*1

51

()102

1()102

1()102

1()102

1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333

(1)()

()()()

111101010222

1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143

(2)()

()()()

1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222

0.215

x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈

**24****24422

*4

33

5(3)(/)()()

110.0311056.430102256.43056.430

10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?=

5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343

V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343

p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=

又(*)1r V ε=

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故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=

?≈ 6．设028Y =

，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…） 计算到100Y

27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？

解：1n n Y Y -=

10099Y Y ∴=

9998Y Y =

9897Y Y =……

10Y Y =

依次代入后，有1000100Y Y =-

即1000Y Y =，

27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-

*310001()()(27.982)102

Y Y εεε-∴=+=? 100Y ∴的误差限为31102

-?。 7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有4

27.982=）。

解：25610x x -+=，

故方程的根应为1,228x =故

1282827.98255.982x =≈+=

1x ∴具有5位有效数字

211280.0178632827.98255.982

x =-=≈=≈+ 2x 具有5位有效数字

8．当N 充分大时，怎样求1

211N N dx x

++?？

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解 1

2

1arctan(1)arctan 1N N dx N N x +=+-+? 设arctan(1),arctan N N αβ=+=。

则tan 1,tan .N N αβ=+=

1

2211arctan(tan())

tan tan arctan 1tan tan 1arctan 1(1)1arctan 1

N N dx

x N N N N

N N αβαβαβαβ

++=-=--=++-=++=++? 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过2

1cm ？

解：正方形的面积函数为2()A x x = (*)2*(*)A A x εε∴=.

当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102

x ε-≤? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm

10．设212

S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 解：21,02

S gt t => 2(*)(*)S gt t εε∴=

当*t 增加时，*S 的绝对误差增加

2*2*(*)(*)*

(*)1()2

(*)2r S S S gt t g t t t

εεεε===

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当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。

11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),

若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 解：02 1.41y =≈

201(*)102

y ε-∴=? 又1101n n y y -=-

10101y y ∴=-

10(*)10(*)y y εε∴=

又21101y y =-

21(*)10(*)y y εε∴=

220(*)10(*)

......y y εε∴=

10100102

8

(*)10(*)

1101021102

y y εε-∴==??=?

计算到10y 时误差为81102

?，这个计算过程不稳定。 12

．计算61)f =

≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？

, 3(3-

，

99- 解：设6(1)y x =-，

若x =* 1.4x =，则*11102

x -ε()=?。

计算y 值，则

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***7***7**1(1)6(1)

y x x y x x y x ε()=--6?

ε()+ =ε()+ =2.53ε()

若通过3(3-计算y 值，则

**2******(32)632y x x y x x

y x ε()=-3?2?-ε()

=

ε()- =30ε()

计算y 值，则 ***4***7**1(32)1(32)

y x x y x x y x ε()=--3?

ε()+ =6?ε()+ =1.0345ε()

计算后得到的结果最好。 13

．()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多

大？若改用另一等价公式。ln(ln(x x =-

计算，求对数时误差有多大？

解

()ln(f x x =

, (30)ln(30f ∴=

设(30)u y f ==

则*

u =29.9833 *412

u -∴ε()=?10 故

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****3

10.0167

y u u u -1ε()≈-

ε()30- =ε() ≈3?10 若改用等价公式

ln(ln(x x =-

则(30)ln(30f =-

此时，

****7

159.9833

y u u u -1ε()=∣-

∣ε()30+ =?ε() ≈8?10 第二章 插值法

1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解：

0120121200102021101201220211,1,2,

()0,()3,()4;

()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3

x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--=

=-+-----=

=------==-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为

2

20()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4()

1

4(1)(2)(1)(1)23

537623

l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表

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用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;

()0.916291,()0.693147

()0.510826,()0.356675

()0.223144

x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-

若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ，

则0.50.540.6<< 21121221

11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -=

=----==---=+ 6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---

1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-

若采用二次插值法计算ln0.54时，

1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()

()()()()()()()

x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --=

=------=

=-------==----=++

500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-

3．给全cos ,090x x ≤≤的函数表，步长1(1/60),h '==若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。

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当090x ≤≤时，

令()cos f x x = 取0110,()606018010800

x h ππ===?= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902x π

==

当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为

11111()()

()k k k k k k k k

x x x x L x f x f x x x x x ++++--=+-- 插值余项为 111()cos ()()()()2k k R x x L x f x x x x ξ+''=-=

-- 又在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且[]cos 0,1x ∈，故计算中有误差传播过程。

*5

**112111*1111*1*1(())102

()(())(())(())()1(())()(())

k k k k k k k k k

k k k k k k k k k k k f x x x x x R x f x f x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x h

f x εεεεεε-++++++++++∴=?--=+----≤+--=-+-=

∴总误差界为

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12*1*12*85

5()()1(cos )()()(())2

1()()(())211()(())22

11.0610102

0.5010610k k k k k k k R R x R x x x x x f x x x x x f x h f x ξεεε++---=+=

---+≤?--+≤?+=?+?=? 4．设为互异节点，求证：

（1）0

()n k

k j j

j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =

（2）

0()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =

证明 （1） 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =，则函数()f x 的n 次插值多项式为0()()n

k

n j j j L x x l x ==∑。 插值余项为(1)1()()()()()(1)!

n n n n f R x f x L x x n ξω++=-=+ 又,k n ≤

(1)()0

()0

n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k

k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =

00

000(2)()()

(())()()(())n

k j j j n n j i

k i k j j j i n n

i

k i

i

k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑

0i n ≤≤又 由上题结论可知

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0()n

k

i

j j j x l x x ==∑ 0()()0

n

i k i i

k i k

C x x x x -=∴=-=-=∑原式

∴得证。 5设[]2(),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证：

21max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为

10101010()()

()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =()()x b x a f a f b a b x a

--=+-- 1()()0

()0

f a f b L x ==∴=又 插值余项为1011()()()()()()2

R x f x L x f x x x x x ''=-=-- 011()()()()2f x f x x x x x ''∴=

-- []012012102()()

1()()21()4

1()4

x x x x x x x x x x b a --??≤-+-????=-=-又 ∴21max ()()max ().8

a x

b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 6．在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过6

10-，问使用函数表的步长h 应取多少？

解：若插值节点为1,i i x x -和1i x +，则分段二次插值多项式的插值余项为

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2111()()()()()3!

i i i R x f x x x x x x ξ-+'''=

--- 211441()()()()max ()6i i i x R x x x x x x x f x -+-≤≤'''∴≤--- 设步长为h ，即11,i i i i x x h x x h -+=-=+

434321().627R x e h ∴≤= 若截断误差不超过6

10-，则

6

2436()101027

0.0065.R x e h h --≤≤∴≤ 7．若442,.n n n n y y y δ=?求及，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

2n n y =

44(1)n n y E y ?=-

4

4044044044(1)4(1)4(1)2(21)2j j n

j j n j

j j j n

j n

n

n

E y j y j y j y y -=+-=-=??=- ???

??=- ???

??=-? ???=-==∑∑∑ 1

1

4422()n n y E E y δ-=- 1442242

2

()(1)2n

n n n E E y E y y ----=-=?==

8．如果()f x 是m 次多项式，记()()()f x f x h f x ?=+-，证明()f x 的k 阶差分

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()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式，并且1()0m f x +?=（l 为正整数）。 解：函数()f x 的Taylor 展式为

2()(1)1111()()()()()()2!(1)!m m m m f x h f x f x h f x h f x h f h m m ξ++'''+=++

++++ 其中(,)x x h ξ∈+

又()f x 是次数为m 的多项式

(1)()0

()()()m f f x f x h f x ξ+∴=∴?=+- 2()11()()()2!

m m f x h f x h f x h m '''=+++ ()f x ∴?为1m -阶多项式

2()(())f x f x ?=??

2()f x ∴?为2m -阶多项式

依此过程递推，得()k

f x ?是m k -次多项式 ()m f x ∴?是常数

∴当l 为正整数时，

1()0m f x +?=

9．证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?

证明

11()k k k k k k f g f g f g ++?=-

111111111()()

k k k k k k k k

k k k k k k k k k k

k k k k f g f g f g f g g f f f g g g f f g f g g f +++++++++=-+-=-+-=?+?=?+?

∴得证

10．证明11

00100n n k

k n n k k k k f g f g f g g f --+==?=--?∑∑ 证明：由上题结论可知

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1()k k k k k k f g f g g f +?=?-? 1

110

1

1

100(())()n k k

k n k k k k k n n k k k k k k f g f g g f f g g f -=-+=--+==∴?=?-?=?-?∑∑∑∑ 1110110022111100

()()

()()()k k k k k k n k k k n n n n n n f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g f g ++-=--?=-∴?=-+-++-=-∑ 1100100n n k k n n k k k k f g f g f g g f --+==∴?=--?∑∑ 得证。

11．证明1200

n j n j y y y -=?

=?-?∑ 证明11

2100

()n n j j j j j y y y --+==?

=?-?∑∑

102110()()()n n n y y y y y y y y -=?-?+?-?++?-?=?-?

得证。 12．若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ， 证明：1100,02;(),1

k n j j j k n x f x n k n -=≤≤-?=?'=-?∑ 证明：

()f x 有个不同实根12,,,n x x x 且1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++ 12()()()()n n f x a x x x x x x ∴=--- 令12()()()()n n x x x x x x x ω=--- 则11()()k k n n j j j j j n n j x x f x a x ω===''∑∑

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而2313()()()()()()()n

n n x x x x x x x x x x x x x ω'=---+--- 121()()()n x x x x x x -++---

1211()()()()()()n

j j j j j j j j n x x x x x x x x x x x ω-+'∴=-----

令(),k g x x = []121,,

,()k n j n j n j x g x x x x ω=='∑ 则[]121,,

,()k n

j n j n j x g x x x x ω=='∑ 又[]1211,,,()k n j n j j n x g x x x f x a =∴

='∑

1100,02;(),1

k n j j j k n x f x n k n -=≤≤-?∴=?'=-?∑ ∴得证。

13．证明n 阶均差有下列性质：

（1）若()()F x cf x =，则[][]0101,,,,,,;n n F x x x cf x x x =

（2）若()()()F x f x g x =+，则[][][]010101,,

,,,,,,,.n n n F x x x f x x x g x x x =+ 证明：

（1）[]120

011(),,,()()()()

j n n j j j j j j j n f x f x x x x x x x x x x x =-+=----∑ []120011(),,,()()()()j n n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x x =-+=----∑

0011()

()()()

()j n j j j j j j j n cf x x x x x x x x x =-+=----∑ 0011()

()()()()()j n j j j j j j j n f x c x x x x x x x x =-+=----∑

[]01,,,n cf x x x = ∴得证。

(2)()()()F x f x g x =+

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[]00

011(),,()()()()j n n j j j j j j j n F x F x x x x x x x x x x =-+∴=----∑ 0011()()

()()()

()j j n j j j j j j j n f x g x x x x x x x x x =-++=----∑ 0011()

)()()()

()j n j j j j j j j n f x x x x x x x x x =-+=----∑ +0011()

)()()()()j n j j j j j j j n g x x x x x x x x x =-+----∑

[][]00,,,,n n f x x g x x =+

∴得证。 14．74()31,f x x x x =+++求0172,2,,2F ????及0182,2,,2F ????。 解：74()31f x x x x =+++

若2,0,1,

,8i i x i == 则[]()01(),,,!

n n f f x x x n ξ= [](7)017()7!,,,17!7!f f x x x ξ∴=== [](8)018(),,

,08!f f x x x ξ== 15．证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ξξ++=--∈

解：

若1[,]k k x x x +∈，且插值多项式满足条件

33

()(),()()k k k k H x f x H x f x ''== 3113

11()(),()()k k k k H x f x H x f x ++++''== 插值余项为3()()()R x f x H x =-

由插值条件可知1()()0k k R x R x +==

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且1()()0k k R x R x +''==

()R x ∴可写成221()()()()k k R x g x x x x x +=--

其中()g x 是关于x 的待定函数，

现把x 看成1[,]k k x x +上的一个固定点，作函数

2231()()()()()()k k t f t H t g x t x t x ?+=----

根据余项性质，有

1()0,()0k k x x ??+==

22

313()()()()()()()()()

k k x f x H x g x x x x x f x H x R x ?+=----=--=

22311()()()()[2()()2()()]k k k k t f t H t g x t x t x t x t x ?++'''=----+-- ()0k x ?'∴=

1()0k x ?+'=

由罗尔定理可知，存在(,)k x x ξ∈和1(,)k x x ξ+∈，使 12()0,()0?ξ?ξ''==

即()x ?'在1[,]k k x x +上有四个互异零点。

根据罗尔定理，()t ?''在()t ?'的两个零点间至少有一个零点， 故()t ?''在1(,)k k x x +内至少有三个互异零点，

依此类推，(4)()t ?在1(,)k k x x +内至少有一个零点。

记为1(,)k k x x ξ+∈使

(4)(4)(4)3()()()4!()0f H g x ?ξξξ=--=

又(4)3()0H t =

(4)1()(),(,)4!

k k f g x x x ξξ+∴=∈

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其中ξ依赖于x

(4)221()()()()4!

k k f R x x x x x ξ+∴=-- 分段三次埃尔米特插值时，若节点为(0,1,,)k x k n =，设步长为h ，即 0,0,1,,k x x kh k n =+=在小区间1[,]k k x x +上

(4)22

1(4)22

1()

()()()4!1()()()()4!k k k k f R x x x x x R x f x x x x ξξ++=--∴=-- 22(4)122(4)

14

(4)44

(4)1

()()max ()

4!1[()]max ()4!21

1

max ()

4!2max ()

384k k a x b k k a x b a x b a x b x x x x f x x x x x f x h f x h f x +≤≤+≤≤≤≤≤≤≤---+-≤=?=

16．求一个次数不高于4次的多项式P （x ），使它满足(0)(0)0,(1)(1)0,(2)0P P P P P ''=====

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式 0101010,1

0,10,1

x x y y m m ======

11

300

201

00101

2

()()()

()(12)()(12)(1)j j j j j j H x y x m x x x x x x x x x x x x αβα===+-

-=---=+-∑∑

2

10110102

()(12)()(32)x x x

x x x x x x x x α--=---=-

2

021()(1)()(1)x x x x x x ββ=-=-

实用文档

22323()(32)(1)2H x x x x x x x ∴=-+-=-+

设22301()()()()P x H x A x x x x =+--

其中，A 为待定常数

3222

(2)1

()2(1)P P x x x Ax x =∴=-++- 14

A ∴= 从而221()(3)4

P x x x =- 17．设2()/(1)f x x =+，在55x -≤≤上取10n =，按等距节点求分段线性插值函数()h I x ，

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 值，并估计误差。

解：

若0105,5x x =-=

则步长1,h =

0,0,1,,10i x x ih i =+=

21()1f x x

=+ 在小区间1[,]i i x x +上，分段线性插值函数为

1111()()()i i h i i i i i i

x x x x I x f x f x x x x x ++++--=+-- 122111()

()11i i i i x x x x x x ++=-+-++ 各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值为

当 4.5x =±时，()0.0471,()0.0486h f x I x ==

当 3.5x =±时，()0.0755,()0.0794h f x I x ==

当 2.5x =±时，()0.1379,()0.1500h f x I x ==

当 1.5x =±时，()0.3077,()0.3500h f x I x ==

当0.5x =±时，()0.8000,()0.7500h f x I x ==

实用文档

误差

12

55

max ()()max ()8i i h x x x x h f x I x f ξ+≤≤-≤≤''-≤ 又21()1f x x =+ 22223

3

24

2(),(1)62()(1)2424()(1)x f x x x f x x x x f x x -'∴=+-''=+-'''=+

令()0f x '''= 得()f x ''的驻点为1,21x =±和30x =

1,23551(),()221max ()()4

h x f x f x f x I x -≤≤''''==-∴-≤ 18．求2()f x x =在[,]a b 上分段线性插值函数()h I x ，并估计误差。 解：

在区间[,]a b 上，01,,,0,1,,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=- 01

2max ()i i n h h f x x ≤≤-==

∴函数()f x 在小区间1[,]i i x x +上分段线性插值函数为 11112211()()()1[()()]i i h i i i i i i i i i i i x x x x I x f x f x x x x x x x x x x x h ++++++--=

+--=-+-

误差为

实用文档

122

2

1max ()()max ()8()()2,()2

max ()()4

i i h i x x x a b

h a x b f x I x f h f x x f x x f x h f x I x ξξ+≤≤≤≤≤≤''-≤='''∴==∴-≤ 19．求4()f x x =在[,]a b 上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：

在[,]a b 区间上，01,,,0,1,

,1,n i i i x a x b h x x i n +===-=-

令01max i i n h h ≤≤-= 43(),()4f x x f x x '==

∴函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的分段埃尔米特插值函数为 2111211112112111()(

)(12)()(

)(12)()(

)()()()()()i i h i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x I x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x ++++++++++++--=+----++---'+---'+--

421342113321232112()(22)()(22)4()()4()()i i i i i

i i i i i

i i i i i i i i

x x x h x x h x x x h x x h x x x x x h x x x x x h ++++++=-+-+--++--+--

误差为

(4)221(4)4

()()

1()()()4!

1max ()()242h i i i a x b f x I x f x x x x h f ξξ+≤≤-=

--≤

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