山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第23章角元形式的梅涅劳斯定理

第23章 角元形式的梅涅劳斯定理

第一角元形式的梅涅劳斯定理设A?、B?、C?分别是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线（包括三边的延长线）上的点，则A?、B?、C?共线的充要条件是 sin?BAA?sin?ACC?sin?CBB????1

sin?A?ACsin?C?CBsin?B?BABA?S△ABA?AB?sin?BAA???证明如图23-1，由， A?CS△AA?CAC?sin?A?ACAC'B'BC图23-1A'

CB?BC?sin?CBB?， ?B?AAB?sin?B?BAAC?AC?sin?ACC?． ?C?BBC?sin?C?CB这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立．

第二角元形式的梅涅劳斯定理设A?、B?、C?分别是△ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的点，点O不在△ABC三边所在直线上，则A?、B?、C?三点共线的充要条件是 sin?BOA?sin?COB?sin?AOC????1．

sin?A?OCsin?B?OAsin?C?OBsin?BOA?证明如图23-2．注意到

sin?A?OC及

AC'BBC图23-2OA'

??SBA?OCBA?nis?COB?（其中△BOA??）， ??S△A?OCA?COBA?Cnis?BOAOACB?sin?AOC?OBAC?，． ???OCB?Asin?C?OBOACBsin?BOA?sin?COB?sin?AOC?所以 ??sin?A?OCsin?B?OAsin?C?OBBA?CB?AC?． ??????ACBACB而由梅涅劳斯定理及逆定理知A?、B?、C?共线?BA?CB?AC????1． A?CB?AC?B故知结论成立．

注：在上述两定理中，若采用有向角（规定角的终边绕逆时针方向时角为正值，否则为负值）时，两条件式的右端均为?1，有向角记为?． 下面给出运用如上定理处理问题的例子．

例1如图23-3，设△ABC的三边BC、CA、AB所在的直线

AF'FE'EC图23-3D'BD

上的点D、E、F共线，并且直线AD、BE、CF关于?A、?B、?C平分线的对称直线AD?、BE?、CF?分别与BC、CA、AB所在直线交于D?、E?、F?，则D?、E?、F?也共线． 证明对△ABC及截线FED应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有

sin?BADsin?CBEsin?ACF???1．

sin?DACsin?EBAsin?FCB由题设知，?CAD???BAD，?D?AB??DAC，?BCF?=?ACF，?F?CA??FCB，?ABE???CBE，?E?BC??EBA．

sin?CAD?sin?ABE?sin?BCF?从而有???1，

???sin?DABsin?EBCsin?FCAsin?BAD?sin?CBE?sin?ACF?即???1． sin?D?ACsin?E?BAsin?F?CB由第一角元形式的梅涅劳斯定理知，D?、E?、F?三点共线．

例2若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线．

证明如图23-4，设△ABC的三条外角平分线分别与对边所在直线相交于D、E、F，则知

1111?????BAD?90???A，?DAC???90???A?，?CBE?90???B，?EBA???90???B?，

2222????11???ACF???90???C?，?FCB?90???C．

22??EFABC图23-4D

故有

sin?BADsin?CBEsin?AZF ??sin?DACsin?EBAsin?FCB111cos?Acos?B?cos?C222?????1． 111?cos?A?cos?Bcos?C222故D、E、F三点共线．

例3分别过三角形的三顶点作其外接圆的切线，证明：若三切线皆与其对边所在直线相交，则三交点共线．

BACFED图23-5

证明设过△ABC的三顶点A、B、C的切线与对边BC、CA、AB所在直线分别交于D、E、F．则弦切角定理?BA?D??，?DAC??C??A?180???B，?CBE???A，?EBA??A??B?180???C，?ACF??C??A?180???B，?FCB???A． 故有

sin?BADsin?CBEsin?ACF ??sin?DACsin?EBAsin?FCB?sinC?sinAsinB????1． sinBsinC?sinA故D、F、E三点共线．

例4在筝形ABCD中，AB?AD，BC?CD，过BD上一点P作一条直线分别交AD、BC于E、F，?PIPJ． ?PBPD证明如图23-6，过B作AD的平行线交直线EF于E?，再过B作CD的平行线交直线GH于H?，则?E?BP??EDP??PBG，?HBP?=?HDP=?PBF， 再过点P作一条直线分别交AB、CD于G、H．设GF与EH分别交BD于I，J．求证：

EAJGH'JBE'F图23-6DHPC

进而?H?BG=?H?BP??GBP =?PBF??PBE?=?E?BF，所以 sin?PBH?sin?GBIsin?FBE? ??sin?H?BGsin?IBFsin?E?BPsin?FBPsin?GBPsin?FBE?????1． sin?E?BFsin?PBFsin?PBG使H?、I、E?分别为△PGF三边所在直线上的点，且点B不在△PGF三边所在直线上，由第二角元形式的梅涅劳斯定理，即知H?、I、E?三点共线．

于是，由△PBE?∽△PDE，△PH?B∽△PHD，有E?H?∥EH．

PIPE?PB因此，． ??PJPEPDPIPJ． ?PBPD注：当PB?PD即P为BD中点时为1989年的冬令营选拔赛题．

例5设△ABC为非直角三角形，AD、BE、CF为三边上的高，D、E、F为垂足，过△ABC的垂心H分别作边BC，CA，AB的平行线与直线EF、FD、DE对应相交于P、Q、R．求证：P、Q、故

R三点共线．

??证明如图23-7，有?EHPHB，C?PHF??HCB，?FHQ??BCA，?QHD??HAC，

?DHR??HAB，?RHE??HBA．从而

QAFHBD图23-7REPC

sin?EHPsin?FHQsin?DHR??

sin?PHFsin?QHDsin?RHE?sin?HBCsin?HCAsin?HAB ??sin?HCBsin?HACsin?HBAsin?HBCsin?HCAsin?HAB ??sin?BCHsin?CAHsin?ABH????HCHAHB????1． HBHCHA因△ABC为非直角三角形，点H不在△ABC三边上，故由第二角元形式的梅涅劳斯定理知P、R、Q三点共线．

例6设E、F分别为四边形ABCD的边BC、CD上的点，BF与DE交于点P．求证： ?BAE=?FAD，则?BAP=?CAD．

证明只需证明：当AF关于?BAD的等角线交BE于P时，B、P、F共线即可，如图23-8所示．

ADFPBE图23-8C

事实上，B、P、F分别为△CDE三边所在直线上的三点，A不在其三边所在直线上，而?FAD???EAB，?DAP???BAC，?PAE???CAF．

sin?EABsin?CAF?DAP????1．

sin?BACsin?FADsin?PAE故由第二角元形式的梅涅劳斯定理，知B、P、F三点共线． 注：注AC平分?BAD时，即为1999年全国高中联赛题． 故

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