概率论与数理统计习题解答(第8章)主编徐雅静

第八章 假 设 检 验三、解答题

1. 某种零件的长度服从正态分布，方差? = 1.21，随机抽取6件，记录其长度（毫米）分别为

32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23

在显著性水平? = 0.01下，能否认为这批零件的平均长度为32.50毫米？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度则需要检验的是：

2

X~N(?,?2)，

H0:???0 H1:???0

由于?已知，选取Z2?X??0?n为检验统计量，在显著水平? = 0.01下，H0的拒绝域为：

{|z|?Z?2}?{|z|?Z0.005}

查表得Z0.005?2.575829，现由

n=6,

1n,??1.1, ?0?32.50 x??xi?31.12667ni?1计算得：

z?X??0?n?31.12667-32.51.16?3.05815

z?Z0.005

可知，z落入拒绝域中，故在0.01的显著水平下应拒绝H0，不能认为这批零件的平均长度为32.50毫米。 2. 正常人的脉搏平均每分钟72次，某医生测得10例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：

54，67，68，78，70，66，67，65，69，70

已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平? = 0.05下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？

解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数要检验的是：

X~N(?,?2)，则需

H0:???0 H1:???0

由于方差未知，选取T?X??0sn为检验统计量，在显著水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：

{|t|?t?2(n?1)}?{|t|?t0.05/2(9)}

查表得t0.025(9)?2.26215716，现由

n=10, 计算得

1n1n2， ?xi?x?2?35.1555556x??xi?67.4 , s??ni?1n?1i?1t?X??0sn?67.4?7235.155555610?2.4533576

t?t0.025(9)

可知，t落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。

3. 从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，算得平均值x?11958，样本均方差s?316．设

发热量服从正态分布，在显著性水平? = 0.05下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于12100？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量

X~N(?,?2)，则需要检验的是：

H0:???0 H1:???0

此为右边检验，由于方差未知，应选用t统计量检验，在显著水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为

?x?????0?t?(n?1)?=t?t0.05(24?1)?t?sn??????

?12100计算得到

由表得

?t0.05(23)?1.714?，现有n=24，x?11958，s?316，?t?x??sn00

?-2.20144<1.714

可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H0 ，认为该试验物发热量的平均值不大于12100。 4. 某种电子元件的寿命（以小时记）服从正态分布．现测得16只元件的寿命如下所示：

159 222

280 362

101 168

212 250

224 149

379 260

179 485

264 170

问在显著性水平? = 0.05下，是否可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时？ 解：这是单个正态总体均值比较的问题，该电子元件的寿命 H0 ：?X~N(?,?2)，则需要检验的是：

?225 H1 ：??225

此为左边检验，由于总体服从正态分布且方差未知，故选用t检验，在显著性水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为

?x?????0t??(n?1)??=t??t0.05(16?1)?t?sn??????

查表得?t0.05(15)??1.7531有n=16，x=(159+280+??+170)/16=241.5，s=9746.8，计算得到

2?0?225，

t?x??sn0=0.668518> - 1.7531

可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝H0 ，可以认为元件的平均寿命显著不小于225小时。

5. 设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15分．

(1) 问在显著水平? = 0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ (2) 在显著水平? = 0.05下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为16？ 解: (1):按题意需检验

H0 ：?2

?70 H1 ：??70

此为双边检验，由于方差未知，应选用t检验，在显著水平为? = 0.05下，H0 的拒绝域为

??x????0t??(n?1)? ??=?t?t0.025(36?1)?=?t?2.0301t?2sn?????66.5，s=15，??70计算得到

0现有n=36，x

t?x??sn0?1.4<2.0301

可知，t为落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。

（2）按题意需检验 H0 ：?取检验统计量?22?162 H1 ： ?2?162

?(n?1)s2?20，在显著水平为? = 0.05下，H0 的拒绝域为

??2??21??2(n?1)??2??20.975??2?2(n?1) 即 ?2??2??20.975(35)??2????20.025(35)

?计算得

?(35)?20.569，?220.0252(35)?53.203 (n?1)s2=

由n=36，

x?66.5，s=15，?0?162，而

???2035?15?1516?16=30.76172，由于

20.569<30.76172<53.203 ，则统计量?为落入拒绝域中，不能拒绝H0 ，可以认为这次考试考生的成绩的方差为16。

26. 某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以来服从方差? = 5000 (小时)的正态分布, 现有一批这种电池，从它生产情况来看，寿命的波动性有所变化．现随机的取26只电池，测出其寿命的样本方差S

2

2

22

=

9200(小时)．问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（显著性水平? = 0.05）?

解：按题意需检验

H0 ：?取检验统计量为?22?5000 H1 ： ?2?5000

，在显著水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为：

?(n?1)s2?20??2??21??2(n?1)??2????2?2(n?1)即?2???2?20.975(25)??2????20.025(25)?

计算得

2?20.975(25)?13.11972，?220.025(25)?40.64647

?25?9200?46>40.64647落入了H0的

5000由n=26，

?0?5000，s?9200，则??(n?1)s2?20拒绝域，应该拒绝H0，即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。

7. 对7岁儿童作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对7岁儿童的身高有显著影响（显著性水平? = 0.05）？（提示：先做方差齐性检验，再做均值检验.）

性别 男 女

人数(n) 384 377

平均身高(x) 118.64 117.86

标准(S) 4.53 4.86

2 解：设男孩的身高服从X1~N(?1,?12)，女孩身高服从X2~N(?2,?2)。根据题意需对量总体的均

值进行比较，由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即检验?2和?2是否有显著差异，然

12后再检验

?1和?是否有显著差异。

2（1）检验假设

H0 ：

?21??2 H1 ： ?1??2

222由于

?，

1?未知，选取统计量F=

2ss1222，在显著水平? = 0.05下，拒绝域为：

?F?F计算得

1??2，376) (n1?1，n2?1)?F?F?2(n1?1，n2?1)即F?F0.975(383,376)?F?F0.025(383???????F0.975，(383，376)?0.817555F0.025(383,376)?1.223391

拒绝域为

?F?0.817555???F?1.223391?。由观测数据得到

n1=384，n2=377，

x1?118.64，

x?117.86，s1=4.53，s2=4.86，F=ss22122?4.53?4.53未落入拒绝域，不能拒绝H0 ，在0.05?0.8688084.86?4.86的显著水平下，可以认为性别对儿童身高的方差无显著差异。

（2） 根据（1）的结论，可以在 H0：

???1222的条件下检验假设

???12 H1：

???12

选t=

x?x12为检验统计量，在显著水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：

S?11nn?12?t?t计算

?2(n1?n2?2)??t?t0.025(759)?计算得

?t0.025。 (759)?1.963094s?再求出t得

x?x(n?1)s?(n?1)sn?n?21221121222t???11118.64?117.86(384?1)?4.35?4.35?(377?1)?4.86?4.8611??384?377?2384377nn?12=2.290739?t?1.963094

可知，t落入H0的拒绝域中，故在0.05显著水平下应拒绝H0 ，认为性别对儿童身高有显著差异。

8. 某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产品尺寸的方差?2不得超过0.1，为检验该自动车床的工作精度，随机的取25件产品，测得样本方差S2 = 0.1975，x达到所要求的精度（显著性水平? = 0.05）? 解：按题意需检验

H0：?取统计量?2?3.86．问该车床生产的产品是否

2?0.1 H1：?2?0.1

?(n?1)s2?20，在显著性水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：

??2??(n?1)??2???2??20.05(25?1)计算得??20.05(24)?36.41503

由观测数据n=25，s = 0.1975，x22?3.86，?0?0.1，

得?2?(n?1)s2?20(25?1)?s2??47.4>36.41503落入H0的拒绝域中，故在0.05的显著水平下应

0.1拒绝H0 ，认为床生产的产品没有达到所要求的精度。

9. 一台机床大修前曾加工一批零件，共n1=10件，加工尺寸的样本方差为s1工一批零件，共n22?25(mm2).大修后加

2?4(mm2).设加工尺寸服从正态分布，问此机?12件，加工尺寸的样本方差为s2

床大修后，精度有无明显提高（显著性水平? = 0.05）？

解：按题意需检验 H0：

???1222 H1：

???1222

取检验统计量F?SS22122，在显著性水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为：

?F?F(n?1，n?1)???F?F1??1210..95(9，11)?计算得

22F0.95(9，11)??2.2735。

2122由观测数据n1 =10，n2 =12，S?25，S?4，则F?SS?256.25>-2.2735未落在H0的拒绝域中，故4在0.05显著水平下，应接受H0，可认为此机床大修后，精度有明显提高。

10. 由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套数学试卷进行测试，成绩如下表:

试卷A 试卷B

78 71

63 44

72 61

89 84

91 74

49 51

68 55

76 60

85 77

55 39

假设学生成绩服从正态分布，试检验两套数学试卷是否有显著差异（显著性水平? = 0.05）．

解：本题中的每一行数据虽然是同一张试卷的成绩，但10个数据的差异是由10个不同学生造成的， 因此表中的每一行都不能看成是一个样本的观察值，

再者，对每一对数据而言，他们是同一个学生做不同试卷的成绩，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此,我们不能用两独立样本均值的t 检验法作检验。

而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两套试卷本身的差异所引起的。所以，构造新的随机变量

Z?X?Y,有

Z~N(?,?2),其中

???1??2,?2??12??22,则

Zi?Xi?Yi,i?1,2,....,n为Z的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。

如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异

Z1,Z2...Zn属于随机误差，随机误差可以认为服

从标准正态分布，且其均值为零。故问题可以转化为检验假设

H0:??0,H1:??0

设Z1,Z2...Zn的样本均值为z,样本方差为

s2，采用单个正态分布均值的t检验，拒绝域为：

t?由n可得

z?0?t?/2(9)?t0.025(9)?2.2622,

s/n?10,z?11,s2?42.667

t?5.325?2.2622，所以拒绝H0，在显著性水平? = 0.05下，可以认为两套数学试卷有显

2)，根据题X~N(?1,?12)，试卷B的成绩服从X~N(?2,?2著差异。

错误解法：设试卷A的成绩服从

意，需要进行两总体的均值比较，但由于两总体方差未知，需要首先进行方差齐性检验，即否有显著差异，然后再检验

（1）检验假设 H0: 由于

?21和

?22是

?和?1222是否有显著差异。

2???1 H1:

???1222

?和?11??22未知，选取统计量F?SSx22y，在显著性水平? = 0.05下，拒绝域为：

?F?F计算得

9) (n1?1，n2?1)?F?F?2(n1?1，n2?1)即F?F0.975(9,9)?F?F0.025(9，???????F0.975，。 (9，9)?0.2483869)?4.025994F0.025(9，拒绝域为

2x?F?0.248386???F?4.025994?。由观测数据得到n1=10，n2=10，x?72.6，y?61.6，

2S?198.0444，Sy?217.8222，F?SS2x2y?198.0444?0.909202，由于0.248386<0.909202<4.025994

217.8222则F未落入H0的拒绝域中，不能拒绝H0 ，在0.05的显著水平下，可以认为两试卷成绩的方差无显著差异。

（2）根据（1）的结论，可以在 H0 ：选统计量

???1222的条件下检验假设

???12 H1 ：

???1

2

t?x?y为检验统计量，在显著性水平? = 0.05下，H0 的拒绝域为：

S?11?t?t计算得

nn?12?2(n1?n2?2)??t?t0.025(18)?，计算得

?t0.025 (18)?2.100922t?(x?y)(n1?1)Sx?(n2?1)Sy22?1.705751?11<2.100922

n?n12?2nn?12可知，t为未落入H0的拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H0 ，认为两套试卷的成绩无显著差异。

四、应用题

1. 某部门对当前市场的价格情况进行调查．以鸡蛋为例，所抽查的全省20个集市上，售价分别为（单位：元/500克）

3.05 3.88

3.31 3.22

3.34 3.28

3.82 3.34

3.30 3.62

3.16 3.28

3.84 3.30

3.10 3.22

3.90 3.54

3.18 3.30

已知往年的平均售价一直稳定在3.25元/500克左右，假设鸡蛋的销售价格服从正态分布，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年（显著水平? = 0.05）？

解法一：设鸡蛋的平均售价为?，若设鸡蛋的销售价

X~N(?,?2)，按题意需检验

H0:??3.25 H0:??3.25

这是右边检验问题,由于方差未知，应选用t检验，在显著水平? = 0.05下，拒绝域为：

??x??0?t?(n?1)???t?t0.05(19)???t?1.729??t??sn/n?

由样本观测值计算得到

1n1n2x??xi?3.40,sn?(xi?x)2?0.0724?ni?1n?1i?1 t?x??03.40?3.25??2.476?1.729sn/n0.2690120

?2.476落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应拒绝H0，可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高

由于t于往年。

解法二：这是单个正态总体均值比较的问题，若设鸡蛋的销售价

则需要检验的是： X~N(?,?2)，

H0:???0 H1:???0

这是左边检验问题，由于方差未知，选取T?X??0sn为检验统计量，在显著水平? = 0.05下，拒绝域为：

{t??t?(n?1)}?{t??t0.05(19)}

查表得?t0.05(19)?-1.72913，现由

n=20, 计算得

1n1n22， ??x??xi?3.399, s?x?x?0.072409?ini?1n?1i?1t?X??0sn?3.399?3.25 ?2.4763020.07240920t??t0.05(19)

可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下不能拒绝H0，可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。

注意：本题方法二没有方法一好，想一想为什么？

2. 有若干人参加一个减肥锻炼，在一年后测量了他们的身体脂肪含量，结果如下表所示：

男生组：

13.3

19

20

8

18

22

20

31

21

12

16

12

24

女生组：

22 26 16 12 21.7 23.2 21 28 30 23

假设身体脂肪含量服从正态分布，试比较男生和女生的身体脂肪含量有无显著差异（显著水平? = 0.05）．

22?,?,?,?1212 解：依题意，男女生的脂肪含量是分别来自正态总体N(?1,?1)和N(?2,?2)，

22均未知，故首先要验证方差齐性，对两组数据做假设检验

H0: ?1??2, H1: ?1??2 .

S1?F0.025(12,9)?3.87 拒绝域为：F?2S122222S1F??F1?0.025(12,9)?0.2907 或2S2由样本观测值计算得

2n1?13,n2?10,S12?36.390,S22?28.299

S36.390F?12??1.2928.299S2

0.2907?F?1.29?3.87

故不能拒绝H0，可以认为两总体方差相等。 接下来进行两独立正态总体的均值比较： 若设男生脂肪含量

2X~N(?1,?2)，女生脂肪含量X~N(?2,?2)，则需要检验的是：

H0:?1??2 H1:?1??2

选T?X?Y11Sw?n1n2为检验统计量，在显著水平? = 0.05下，H0的拒绝域为：

{|t|?t?2(n1?n2?2)}?{|t|?t0.025(21)}

)?2.07961查表得t0.025(21，现由n1 = 13，n2 = 10， 1x?n1211，x?18.1769y??in2i?1n1?yi?1n2i?22.29，

1n11n2222，， ????s?x?x?36.3903s?y?y?28.2988?i?i2n1?1i?1n2?1i?12(n1?1)s12?(n2?1)s2(13?1)?36.3903?(10?1)?28.2988sw???5.73781

n1?n2?213?10?2计算得到

t?swx?y11?n1n2?18.1769?22.295.73781?11?1310 ?1.70423?2.07961可知，t未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H0，可以认为男生和女生的身体脂肪含量无显著差异。

3. 装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高．劳动效率可以用平均装配时间反映．现从不同的装配方法中各抽取12件产品，记录下各自的装配时间（单位：分钟）如下表所示：

甲法： 乙法：

31 26

34 24

29 28

32 29

35 30

38 29

34 32

30 26

29 31

32 29

31 32

26 28

假设装配时间服从正态分布，问两种方法的装配时间有无显著不同（显著水平? = 0.05）？ 解：这是两独立正态总体的均值比较问题，设甲法的装配时间

X~N(?1,?2)，乙法的装配时间

X~N(?2,?2)， 由于?1,?2,?1,?222222均未知，故首先要验证方差齐性，需要检验假设

H0: ?1??2, H1: ?1??2 .

2S1S1F??F1?0.025(11,11)?0.2793 F??F(11,11)?3.58拒绝域为：或0.02522S2S122由样本观测值计算得：12n?n2?12, S12?10.205,S22?6.061

S10.205F?12??1.68

6.061S20.2793?F?1.68?3.58

故不能拒绝H0，可以认为这两种方法的装配时间的方差相等。 第二步，进行均值检验，需检验假设H0:?1??2,H1:?1??2

取检验统计量

22X?Y(n1?1)S1?(n2?1)S22t?, 其中 Sw?.n1?n2?211Sw?n1n2

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