数学中考知识点系统总结

数学中考知识点系统总结

专题一 数与式

考点1.1、实数的概念及分类

1、 实数的分类

有理数：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数．如：－3，

，0.231，0.737373?，

，

．

，0.1010010001?(两个1之间依次多1

无理数：无限不环循小数叫做无理数如：π，－个0)．

实数：有理数和无理数统称为实数．

有理数

实数 无理数(无限不循环小数)

整数

(有限或无限循环性数) 分数

正无理数 负无理数

正整数 0

负整数 正分数 负分数

有理数

正数

无理数

实数 0

有理数

负数 整数 分数 整数 分数

无理数

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一关键，它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环．二者缺一不可．归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如7,32等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如

π+8等； 3（3）有特定结构的数，如0.1010010001?等； （4）某些三角函数，如sin60o等

注意：判断一个实数的属性(如有理数、无理数)，应遵循：一化简，二辨析，三判断．要注意：“神似”或“形似”都不能作为判断的标准．

3、非负数：正实数与零的统称。（表为：x≥0）

常见的非负数有：

a2(a为一切实数)

│a│

a(a≥0)

1

性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

5、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。即：(1)实数a的相反数是?a．(2)a和b互为相反数?a?b?0．

6、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

(1)一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 即：

?a (a?0)?a??0 (a?0)﹝另有两种写法﹞

??a (a?0)?(2)实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离．

☆(3)几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零，例如：若a?b?c2?0，则a?0，

b?0，c?0．

注意：│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;数a的绝对值只有一个;处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

7、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 即(1)实数a(a≠0)的倒数是

1． a(2)a和b互为倒数?ab?1。

(3)注意0没有倒数． 8、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到末位的最后一位数字为止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

9、科学记数法

把一个数写做?a?10的形式，其中1?a?10，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

（1）确定a：a是只有一位整数数位的数．

（2）确定n：当原数≥1时，n等于原数的整数位数减1；；当原数<1时，n是负整数，它

2

n的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）。

例如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10ˉ5．

（3）.近似值的精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位

（4）按精确度或有效数字取近似值，一定要与科学计数法有机结合起来． 10、实数大小的比较

知识1、数轴

解题时要真正掌握数形结合的思想，右边的总比左边的大。 知识2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （2）求差比较：设a、b是实数，

a?b?0?a?b, a?b?0?a?b, a?b?0?a?b

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，?1?a?b;abaa?1?a?b;?1?a?b; bb（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则a?b?a?b。 （5）平方法：设a、b是两负实数，则a?b?a?b。 11、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律 a?b?b?a

2、加法结合律 (a?b)?c?a?(b?c) 3、乘法交换律 ab?ba 4、乘法结合律 (ab)c?a(bc) 5、乘法对加法的分配律 a(b?c)?ab?ac

6、实数的运算顺序

1． 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 2． （同级运算）从“左”到“右”（如5÷

“大”。

12、有理数的运算： 加法：。

减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。

221×5）;(有括号时)由“小”到“中”到5 3

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。

乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。 考点1.2、实数与二次根式

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个正数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 正数a的平方根记做“?2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a（a?0） 。 a”

a?0

a2?a? ；注意a的双重非负性： -a（a<0） a?0 注意：算术平方根与绝对值

① 联系：都是非负数，a2=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数;a中，a为非负数。 3、算术平方根的估算方法：两端逼近法． 例如：估算6．∵2?6?3∴2?6?3．

226的整数部分是 2 小数部分是6-2 4、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：3?a??3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 二次根式 5、二次根式

式子a(a?0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“

”；被开方数a

必须是非负数。

6、最简二次根式

若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。

化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：

4

7、同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

8、二次根式的性质

（1）(a)2?a(a?0)

a(a?0)

（2）a?a?

?a(a?0)

（3）ab?2a?b(a?0,b?0)

（4）

aa?(a?0,b?0) bb9、根式运算法则：

?加法法则（合并同类二次根式）; ?乘、除法法则; ?分母有理化：A.10.指数

1a;B.

bab;. ?aana·a…a=a

? n个

① a＞0时，

nn(a—幂，乘方运算)

n② a＞0;②a＜0时，a＞0（n是偶数），a＜0（n是奇数） ?零指数：a=1（a≠0） 负整指数：a?p0n=1/a（a≠0,p是正整数）

p

11、二次根式混合运算

二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 考点1.3、代数式与整式

1、代数式

用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

5

????系数单项式??????次数????整式??项????有理式??多项式?次数 代数式??????排列?????????分式???无理式注意：①从外形上判断;②区别：3、7是根式，但不是无理式（是无理数）。 2、单项式

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如

113?4a2b，这种表示就是错误的，应写成?a2b。一个单项式中，所有字母的指数的和

33叫做这个单项式的次数。如?5abc是6次单项式。

多项式 3、多项式

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

单项式和多项式统称整式。

用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 4、同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同 合并依据：乘法分配律 5、去括号法则

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 6、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

整式的乘法：a?a?a （a）?anmnmnmnm?n32(m,n都是正整数)

(m,n都是正整数)

n (ab)?ab(n都是正整数) (a?b)(a?b)?a?b

22n 6

(a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)2?a2?2ab?b2

整式的除法：am?an?am?n(m,n都是正整数,a?0)

注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。

（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数

相同。

（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要

注意单项式的符号。

（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。

（6）a?1(a?0);a0?p?1(a?0,p为正整数) ap（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得

的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。 考点1.4、整式的乘除 同上 考点1.5、因式分解

1、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

2、因式分解的常用方法

（1）提公因式法：ab?ac?a(b?c) （2）运用公式法：①a?b?(a?b)(a?b)

②a?2ab?b?(a?b) a?2ab?b?(a?b) 扩展：

222222221?1?1?1?22?a???a?2?2 或 a?2??a???2

a?aa?a??同理：

或 1?1?1?1?22x?2??x???2?x???x?2?2x?xx?x??2222；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 公式拓展：⑥

⑨1?2?3?????(n?1)?n?n(n?1) 2⑩1?3?5?????(2n?3)?(2n?1)?n2 ⑾2?4?6?????(2n?2)?2n?n(n?1)

7

（3）分组分解法：ac?ad?bc?bd?a(c?d)?b(c?d)?(a?b)(c?d) （4）十字相乘法：a2?(p?q)a?pq?(a?p)(a?q)

3、因式分解的一般步骤：

（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。

（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式

（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 考点1.6、分式

1、分式的概念

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成式子

A的形式，如果B中含有字母，BA就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有B理式。

2、分式的性质

（1）分式的基本性质：

分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

基本性质：

bbm=（m≠0） aam（2）分式的变号法则：

分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 符号法则：?b?bb?? aa?a3、分式的运算法则

acacacadad??;????; bdbdbdbcbcbaanan()?n(n为整数);技巧：()?p?()p

abbbaba?b??; cccacad?bc?? bdbd4、繁分式：①定义：分子或分母中又含有分式的分式，叫做繁分式．②化简方法（两种）通常把繁分式写成分子除以分母的形式，再利用分式的除法法则进行化简．

专题二 方程与不等式

方程的分类

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???一元一次方程????整式方程?一元二次方程??有理方程??*高次方程方程? ????分式方程???*无理方程?考点2.1 一元一次方程及可以化为一元一次方程的分式方程

一元一次方程的概念 1、方程

含有未知数的等式叫做方程。 2、方程的解

能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。 3、等式的性质

（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

a=b←→a+c=b+c

（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

a=b←→ac=bc (c≠0) 4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方

0x为未知数，a?0）程ax?b?（叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b

是常数项。

注意：解法

一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。验根

说明：对于以x为未知数的最简方程ax?b，若没有给出字母a和b的取值范围，其解有下面三种情况：

①a?0时一元一次方程，有唯一解x?b． a②a?0，b?0时，方程无解．

③a?0，b?0时，方程有无数个解．

分式方程 5、分式方程

分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 6、分式方程的一般方法

解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程

（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

7、分式方程的特殊解法 换元法：

换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特

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殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 注意．方程的增根与遗根

(1)在方程变形时，能产生不适合原方程的根叫做方程的增根．

(2)在方程变形时，由于盲目变形，在方程的两边同除以含有未知数的代数式，从而导致方程遗根．

8、常用的相等关系

1． 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt

C ?相遇问题(同时出发)： A B 相遇处 ←乙 甲→

s甲+s乙=sAB;t甲?t乙

?追及问题（同时出发）：

A 甲→

C 乙→

B （相遇处）

s甲?sAC?s乙;t甲(AB)?t乙(CB)

若甲出发t小时后，乙才出发，上甲，则

(甲)→ A 乙→

B （相遇处）

而后在B处追

s甲?s乙;t甲?t?t乙

?水中航行：v顺?船速?水速;v逆?船速?水速 ?配料问题：溶质=溶液×浓度

溶液=溶质+溶剂 ?．增长率问题：an?a1(1?r)n?1

?．工程问题：基本关系：工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。 ?．几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 注意语言与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、?? 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x与y的差为3，则x-y=3。㈤注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。 列方程（组）解应用题

是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是：

?审题。理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

?设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

?用含未知数的代数式表示相关的量。

?寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

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?解方程及检验。 ?答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列方程是解应用题的关键。 考点2.2 二元一次方程组

1、二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（

2、二元一次方程的解

使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 3、二元一次方程组

两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。一般形式：

?a1x?b1y?c1（a1，b1，c1，a2，b2，c2不全为0） ??a2x?b2y?c24二元一次方程组的解

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法 基本思想：“消元”

代入法或加减法解法：（1）代入法（2）加减法?二元一次方程组??????一元一次方程组． 消元考点2.3一元一次不等式〔组〕 1、不等式

用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。 2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 3、用数轴表示不等式的方法 4、不等式基本性质

?、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

?、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 ?、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 不等式的性质：?a>b←→a+c>b+c

?a>b←→ac>bc(c>0) ?a>b←→ac

?（传递性）a>b,b>c→a>c ?a>b,c>d→a+c>b+d.

5、一元一次不等式

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?、一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

?、一元一次不等式的解法 （在数轴上表示解集）

解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1 即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为ax?b(或ax?b)(a?0)的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．

说明：在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以(或除以)一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下： 6、一元一次不等式组

?、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解 ?、一元一次不等式组的解法 （在数轴上表示解集） （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．

两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表(其中a?b)． 口诀 不等式组 解集 在数轴上表示 ?x?a x?a 小小取小 ??x?b ?x?a x?b 大大取大 ??x?b ?x?aa?x?b 大小取中 ? ?x?b 两背为空

考点2.4 一元二次方程

ababab?x?a不等式组 ??x?b无解 ab 1、一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式

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ax2?bx?c?0(a?0)，

3、一元二次方程的解法 ①、直接开平方法 ②、配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式a2?2ab?b2?(a?b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2?2bx?b2?(x?b)2。 ③、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

?b?b2?4ac2x?(b?4ac?0)

2a④、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

4、一元二次方程根的判别式 根的判别式??b?4ac

2一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)中，b?4ac叫做一元二次方程

22ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac

①?②?③?④??0?方程有两个不相等的实数根． ?0?方程有两个相等的实数根． ?0?方程无实数根． ?0?方程有两个实数根。

22结论：（1）若二次三项式ax?bx?c是完全平方式，则方程ax?bx?c?0的判别式?=0。

2（2）方程ax?bx?c?0有实数根，包括两种情况：①a?0有两个实数根，②a?0，

只有一个实数根。

说明：根的判别式最常见的用法有：

①不解方程判别一元二次方程根的情况。 ②由方程根的情况确定某些字母的值或范围． 6、一元二次方程的应用题

（1）商品利润问题：每件商品利润=售价–进价

涨价时： 商品总利润=每件商品利润×商品件数 降价时： 商品总利润=每件商品利润×商品件数 （2）增长率问题：

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①a(1?x)n?b（其中a是原来数量，n是增长次数，b是n次增长后到达数）②

a?a(1?x)?a(1?x)2?b

（3）矩形内修路问题的常用思路是用平移集中法。

列方程(组)解应用题，千万不要死记硬背例题的类型及其解法，要具体问题具体分析，一般来讲，应按下面的步骤进行：

1．审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出能够表示应用问题的全部含义的等量关系．

2．设未知数：选择一个或几个适当的未知量，用字母表示，并根据题目的数量关系，用含未知数的代数式表示相关的未知量．

3．列方程(组)：根据等量关系列出方程(组)．

4．解方程(组)：其过程可以省略，但要注意技巧和方法。

5．检验：首先检查所列方程(组)是否正确，然后检验所得方程的解是否符合题意． 6．写答：不要忘记单位名称． 7、分式方程的解法

①一般解法：去分母法，即方程两边同乘以最简公分母． ②特殊解法：换元法．

(2)验根：由于在去分母过程中，当未知数的取值范围扩大而有可能产生增根．因此，验根是解分式方程必不可少的步骤，一般把整式方程的根的值代人最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

专题三 函数

考点3.1 位置与坐标 1、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念

点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当a?b时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标

3、不同位置的点的坐标的特征 ﹝1﹞、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限?x?0,y?0

点P(x,y)在第二象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第三象限?x?0,y?0 点P(x,y)在第四象限?x?0,y?0 ﹝2﹞、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上?y?0，x为任意实数

14

点P(x,y)在y轴上?x?0，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） ﹝3﹞、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数 ﹝4﹞、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 ﹝5﹞、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P(x，y)关于x轴的对称点是P1(x，?y)． 点P(x，y)关于y轴的对称点是P2(?x，y)． 点P(x，y)关于原点的对称点是P3(?x，?y)． ﹝6﹞、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点P(x,y)到x轴的距离等于y 点P(x,y)到y轴的距离等于x

点P(x,y)到原点的距离等于x2?y2

☆．﹝7﹞ (1)若PQ∥x轴，则yP?yQ． ． (2)若PQ∥y轴，则xP?xQ．

☆﹝8﹞．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，当P(x0，y0)是线段AB的中点时

??x1?x?x20??2y ???y0?1?y22*﹝9﹞.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

AB?(x21?x2)2?(y1?y2) ﹝10﹞．坐标平面内的点和有序实数对(x，y)之间建立了一一对应关系． 考点3.2 函数的表示 函数的概念

1．常量与变量： 2．函数：

15

②分式函数自变量的取值范围是使分母不为0的实数．

③二次根式函数自变量的取值范嗣是使被开方数是非负数的实数，若涉及实际问题的函数，除满足上述要求外还要使实际问题有意义．

(2)函数值：对于自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值．

3．函数常用的表示方法：解析法、列表法、图象法．由函数的解析式作函数的图象，一般步骤是：列表、描点、连线．

考点3.3 一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念

一般地，如果y?kx?b（k，b是常数，k?0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数y?kx?b中的b为0时，y?kx（k为常数，k?0）。这时，y叫做x的正比例函数。

☆说明：直线位置与常数的关系 (1)k决定直线抬头还是低头．

①k?0?抬头． ③k?0?低头． (2)b决定直线与y轴交点的位置．

①b>0?直线与y轴交点在x轴的上方． ②b=0?直线过原点．

③b<0?直线与y轴交点在x轴的下方；

2、一次函数的图像 b为直线在y轴上的截距

yABOx图1 ④设两条直线分别为，l1：y?k1x?b1 l2：y?k2x?b2 若l1//l2，则有

l1//l2?k1?k2且b1?b2。 若

考点3.4、反比例函数 1、反比例函数的概念 一般地，函数y?l1?l2?k1?k2??1

k（k是常数，k?0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以x写成y?kx?1的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y?k中，只有一个待定系数，x因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、k的几何意义

16

设P(x，y)是反比例函数y?则

（1）△OPA的面积?k

图象上任一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为A，x

111OA?PA?xy?k． 222（2）矩形OAPB的面积?OA?PA?xy?k。这就是系数k的几何意义．并且无论P怎样移动，△OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。

矩形PCEF面积=4k，平行四边形PDEA面积=2k

考点3.5、 二次函数

二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

BOPAyCDEBOPAFx一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x 的二次函数。 2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于x??b对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征： 2a①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 4、二次函数的解析式 （10~16分） 二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0) （2）顶点式：y?a(x?m)?k(a,m,k是常数，a?0)

2（3）当抛物线y?ax?bx?c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax?bx?c?0有实

2222根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2)，二次函数如果没有交点，则不能这样表示。 y?ax2?bx?c可转化为两根式y?a(x?x1)(x?x2)。注意：抛物线位置由a、b、c决定． (1)a决定抛物线的开口方向 ①a?0?开口向上． ②a?0?开口向下．

(2)c决定抛物线与y轴交点的位置．

①c?0?图象与y轴交点在x轴上方． ②c?0?图象过原点．

③c?0?图象与y轴交点在x轴下方． (3)a、b决定抛物线对称轴的位置(对称轴：x??

b) 2a17

①a、b同号?对称轴在y轴左侧．

③a、b异号?对称轴在y轴右侧．②b?0?对称轴是y轴．

y轴两侧判a、b，左同右异中为0

(4)顶点坐标(?2b4ac?b2，)． 2a4a(5)??b?4ac决定抛物线与x轴的交点情况．、 ①△>0?抛物线与x轴有两个不同交点．

②△=0?抛物线与x轴有唯一的公共点(相切)． ③△<0?抛物线与x轴无公共点． （10）结论：

①二次函数y?ax2?bx?c与x轴只有一个交点?二次函数的顶点在x轴上?Δ=0； ②二次函数y?ax2?bx?c的顶点在y轴上?二次函数的图象关于y轴对称?b?0； ③二次函数y?ax2?bx?c经过原点，则?c?0。 （11）二次函数的解析式：

①一般式：y?ax2?bx?c(a?0)，用于已知三点。

②顶点式：y?a(x?m)2?k(a,m,k是常数，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。 a?0)，（3）交点式：y?a?x?x1??x?x2?，其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标。若已知对称轴和在x轴上的截距，也可用此式。 5、二次函数的最值 （10分）

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当

b4ac?b2x??时，y最值?。

2a4a6、二次函数的性质

二次函数的性质

7、二次函数y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上 a<0时，抛物线开口向下

bb与对称轴有关：对称轴为x=?

2a（0，c） c表示抛物线与y轴的交点坐标：

8、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。

因此一元二次方程中的??b?4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当?>0时，图像与x轴有两个交点； 当?=0时，图像与x轴有一个交点；

2 18

当?<0时，图像与x轴没有交点。 补充：

1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） y 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为

0 x 1 B

2、函数平移规律 加左减右、加上减下

考点3.6、 二次函数的应用题

考点3.7、 用函数观念看方程与不等式 方程思想 数学思想 函数思想 转化思想 数形结合 分类讨论

y ＝0 一元一次方程 kx﹢b ＝0 直线与x轴交点 ? kx ? b k ≠ 0 y＞0 kx﹢b ＞0 x轴上方部分 一次函数y y＜0 一元一次不等式 kx﹢b ＜0 x轴下方部分

二元一次方程组??x1?x2?2??y1?y2?2 A ?a1x?b1y?c1 解是坐标 坐标是解

?a2x?b2y?c2解是横坐标 横坐标是解

专题四 空间图形与证明

考点4.1 点 线 面 相交线 平行线和视图 直线、射线和线段 3、直线的概念 5、线段的概念

注意：

7、直线的性质

（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。 8、线段的性质

（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。 9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

19

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

角

10、角的相关概念 11、角的表示 12、角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。 1°=60’=3600” 13、角的性质

（2）角的大小可以度量，可以比较 15、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 相交线

16、相交线中的角 对顶角相等。 17、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直

线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 平行线

18、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。 19、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 20、平行线的判定

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内。垂直于同一条直线的两直线平行。 21、平行线的性质

命题、定理、证明 22、命题的概念

20

对某一事情作出判断的语句，叫做命题。 理解：命题的定义包括两层含义： （1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断。 命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题 假命题（错误的命题） 公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。 定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。 证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。 证明的一般步骤 （1）根据题意，画出图形。 （2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。 （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。 视图 24、视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 考点4.2、三角形及全等 三角形知识结构

?????内角和定理及推论???概念?一般三角形性质?三边关系定理及边???角之间的关系??三角形?全等三角形?全等应用角平分线线段中垂线???不等边三角形??按边分? ??等腰三角形等边三角形???一般等腰三角形???分类??直角三角形???按角分??斜三角形钝角三角形???锐角三角形???????

1、三角形的概念

2、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线

21

（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示 5、三角形的分类

三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形

三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形

等边三角形 三角形按角的关系分类如下：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 （2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。 ③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

8、三角形的面积 三角形的面积=

1×底×高 2全等三角形

1、全等三角形的概念

能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2、全等三角形的表示和性质

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角

22

边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

4、全等变换

只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 考点4.3 等腰三角形 1、等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的性质定理及推论：

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。 （2）等腰三角形的其他性质：

①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°

②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则

b

180???A 22、等腰三角形的判定

等腰三角形的判定定理及推论：

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形

推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 等腰三角形的性质与判定 中线 角

等腰三角形性质 等腰三角形判定 1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角； 2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边（平2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交分这个边的对角），那么这个三角形是等腰点与底边两端点距离相等。 三角形 1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边； 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的23

平分线 2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点的距离相等。 对边（平分对边），那么这个三角形是等腰三角形； 2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形。 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边（平分这条边的对角），那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。 等角对等边 两边相等的三角形是等腰三角形 高线 角 边 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边； 2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。 等边对等角 底的一半<腰长<周长的一半 4、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 （2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 注意：重要辅助线

?中点配中点构成中位线;?加倍中线;?添加辅助平行线

证明方法

?直接证法：综合法、分析法

?间接证法—反证法：①反设②归谬③结论 ?证线段相等、角相等常通过证三角形全等 ?证线段倍分关系：加倍法、折半法 ?证线段和差关系：延结法、截余法 ?证面积关系：将面积表示出来 考点4.4 直角三角形

1、有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。

直角三角形可用Rt△表示，如直角三角形ABC写作Rt△ABC。

直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 2、性质

性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 性质2:在直角三角形中，两个锐角互余

24

性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。

性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。

（４）AB?CD=AC?BC(可用面积来证明） (5)直角三角形的外接圆的半径R=1/2BC,

(6)直角三角形的内切圆的半径r=1/2(AB+AC-BC)(公式一)； r=AB*AC/(AB+BC+CA)(公式二)

性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°。 3、判定方法：

判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。

判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。

判定3： 勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。 判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。

判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。

判定7：在证明直角三角形全等的时候 可以利用HL 两个三角形的斜边长对应相等 以及一个直角边对应相等 可判断两直角三角形全等。 注意：

?、等腰直角三角形中，两腰为1的话，斜边为根号2。

?、有一个角为30°角的直角三角形中，短直角边为1的话，长直角边为根号3，斜边为2。

?、面积

①.底高法 S=ah/2

③.两边夹一角 S=a*b*sinC再除以2 ⑤.内切圆半径 S=(1/2)*r*C 4、角平分线

角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

【注意】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。

25

222

定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 5、 垂直平分线

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）

垂直平分线的性质

1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。

2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。

3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。

垂直平分线的逆定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。

垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

巧计方法：点到线段两端距离相等。 可以通过全等三角形证明。 考点4.5 尺规作图

1．基本作图

定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图 (1)作一条线段等于已知线段． (2)作一个角等于已知角． (3)平分已知角．

(4)经过一点作已知直线的垂线． (5)作线段的垂直平分线．

2.作图公法

以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公法，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

·通过两个已知点可作一直线。 ·已知圆心和半径可作一个圆。

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。 ·若两已知圆相交，可求其交点。 考点4.6 四边形与平行四边形

四边形的相关概念

26

1、四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。 3、对角线

在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。 4、四边形的不稳定性

5、四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。 四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n?2)?180°； 多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。 6、多边形的对角线条数的计算公式

设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为

n(n?3)。 2平行四边形 1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。 （2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 （5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积 S平行四边形=底边长×高=ah 注意：

性质 ① ② ③ ④ 判定 ① ② ③ ④

对边平行 对边相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 一组对边分别平行且相等的四边形 两组对角分别相等的四边形 27

⑤ 对角线互相平分的四边形 考点4.7、矩形 菱形 正方形 1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形 3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形 4、矩形的面积 S矩形=长×宽=ab 菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。 先证它是菱形，再证有一个角是直角。 4、正方形的面积

28

b2设正方形边长为a，对角线长为b S正方形=a?

222注意：?特殊平行四边形的性质和判定 名称 矩形 菱形 对边平行 ① 四条边都相等 ② 对角相等 ③ 对角线互相垂直平分，且平分一组对角 正方形 对边平行且四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 ① 对边平行且相等 ① ② 四个角都是直角 ② 性质 ③ 对角线互相平分且相等 ③ ④ 直角三角线斜边上的中线④ 等于斜边一半 ①有三个角为直角的四边形 ①四条边都相等的四边形 ①有一个角为直角的菱形 ②有一个角为直角的平行四②一组邻边相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 判定 边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ③对角线相等的平行四边形 ?中点四边形 顺次连接四边形四边中点构成的四边形叫中点四边形。 任意四边形的中点四边形是平行四边形， 矩形的中点四边形是菱形 菱形的中点四边形是矩形 正方形的中点四边形是正方形 等腰梯形的中点四边形是菱形

分类表：

1．一般性质（角） ?内角和：360°

?顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。 推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。 ?外角和：360° 2．特殊四边形

?研究它们的一般方法:

定义→性质→判定

?平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定 ?判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形

29

边 角 对角线

面积对称性 轴中对心称对称 ┗→菱形──↑

?对角线的纽带作用：

相等且互相平分 相等 互相平分 矩形

垂直

正方形

四边形 平行四边形 相等且互相垂直 相等 菱形 垂直 互相垂直平分 互相垂直平分且相等 3．对称图形

?轴对称（定义及性质）;?中心对称（定义及性质） 4．有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理 ③平行线间的距离处处相等。（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：任意等分线段。 考点4.8、梯形 1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 一般地，梯形的分类如下： 一般梯形

梯形 直角梯形 特殊梯形

等腰梯形 2、梯形的判定

（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。 （2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。 3、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。 （3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。 4、等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。 5、梯形的面积

（1）如图，S梯形ABCD?1(CD?AB)?DE 230

（2）梯形中有关图形的面积： ①S?ABD?S?BAC； ②S?AOD?S?BOC； ③S?ADC?S?BCD

6、梯形中位线定理 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

考点4.9、圆的相关概念和计算 知识结构

?圆的定义圆的概念?确定圆的条件：不在同一直线上的三点共圆??圆的性质旋转不变性：四关系定理圆内接四边形的性质?圆周角定理?圆?切线的判定?圆的切线和作法直线和圆的位置关系?切线的性质?圆与圆的位置关系：圆与圆的五种位置关系及判定方法 ??园与正多边形的关系：圆的有关计算?扇形、弓形的弧长和面积? 圆柱、圆锥的侧面展开图???考点一圆的相关概念 1、圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

2、圆的几何表示

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义

（1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。（如途中的CD）

直径等于半径的2倍。

（3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示） 考点三、垂径定理及其推论

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

A垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦

O直径 平分弦 知二推三

ECBD 31

平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 考点四、圆的对称性

1、圆的轴对称性

圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性

圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

E考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理 1、圆心角 FO顶点在圆心的角叫做圆心角。

D2、弦心距

AC从圆心到弦的距离叫做弦心距。 B3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 考点六、圆周角定理及其推论 1、圆周角

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 2、圆周角定理

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

C DCC BAOOBOB

AA

考点七、点和圆的位置关系

A设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有： drOd

Bdd=r?点P在⊙O上；

Cd>r?点P在⊙O外。 考点八、过三点的圆 1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。 2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。 3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外

32

心。

4、圆内接四边形性质 圆内接四边形对角互补。 考点九、反证法

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。 考点十、直线与圆的位置关系

直线和圆有三种位置关系，具体如下：

（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线， （3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么： 直线l与⊙O相交?dr；

rdd=rrd

考点十一、切线的判定和性质 1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。 考点十三、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆

与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 2、三角形的内心

三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。 考点十四、圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。 2、圆心距

d两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

3、圆和圆位置关系的性质与判定 rR设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

图1两圆外离?d>R+r 两圆外切?d=R+r

dR图2r33 两圆相交?R-rr） 两圆内含?dr）

dRdR图3r图4rdrR

图5考点十七、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性

正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

2、正多边形的中心对称性

边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 考点十八、弧长和扇形面积

(1)定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3．圆周长、弧长：c?2?R 扇形弧长：l?n?r 180n24．圆、扇形、弓形的面积： 扇形的面积公式：S扇形?n?r1?lr 3602OB弓形面积公式：S弓形?S扇形?S? 5、圆柱

hrl2πr1、圆柱的母线长等于圆柱的高，

2、圆柱的侧面展开图是一个矩形 长等于底面圆周长，宽等于母线长。 3、S圆柱侧?2?rl

4、S圆柱表?2S底?S侧?2?r?2?rl?2?r(r?l)

2

6．圆锥

1、圆锥的侧面展开图是一个扇形，

n2πrhl圆锥的母线长等于扇形的半径， 底面圆的周长等于扇形的弧长。 2、r?h?l 3、

222rn?l?2?r 18034

24、S圆锥侧??rl

5、S圆锥表?S底?S侧??r??rl??r(r?l)

考点4.10 与圆有关的位置关系

直线和圆的位置关系 1. 直线和圆的位置关系 三种位置及判定与性质： d>R 直线与圆相离 d=R 直线与圆相切 d

2. 圆换圆的位置关系 五种位置关系及判定与性质：(重点：相切) d>R+r 外离 d=R+r 外切 3.R-r

经过半径的外端并且垂直于这条半径的d

直线是圆的切线。

2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。 注意;

一、一组计算公式 1.圆周长公式 2.圆面积公式 3.扇形面积公式 4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算 二、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆 2.平分已知弧

三、重要辅助线 1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角 4.切点圆心莫忘连 6.两圆相交公共弦

专题五 图形变换

考点5.1 轴对称与中心对称

轴对称

35

1、定义

把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。

2、性质

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。

（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

3、判定

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4、轴对称图形

把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 中心对称 1、定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

4、中心对称图形

把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 考点五、坐标系中对称点的特征 1、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）

2、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）

3、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y） 定义 轴对称 中心对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与性它能够与另一个图形重合，那么就说这另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点质 两个图形关于这条直线对称，这条直线对称，这个点叫做对称中心 叫做对称轴

36

①关于某条直线对称的两个图形全等②判对应点连线被对称轴垂直平分 ①关于中心对称的两个图形全等 定 ③如果它们的对应线段或其延长线相②对称点连线都经过对称中心且被对称中心平分 交，那么交点在对称轴上 如果两个图形的对应点连线被同一条直判如果两个图形的对应点连线都经过某一点且被这一线垂直平分，那么这两个图形关于这条定 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 直线对称 轴对称图形 中心对称图形 考点5.2 平移与旋转

平移 1、定义

把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。

2、性质

（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动 （2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

旋转 1、定义

把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

2、性质

（1）对应点到旋转中心的距离相等。

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。 考点5.3 投影与相似

视图

当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。

主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。

左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 画法规律：长对正，高平齐，宽相等 比例线段

1、比例线段的相关概念

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即a，c的比例中项。

2、比例的性质 （1）基本性质

①a：b=c：d?ad=bc ②a：b=b：c?b?ac

2ab?或a：b=b：c，那么线段b叫做线段bc 37

（2）更比性质（交换比例的内项或外项）

ab?（交换内项） cdacdc?? ?（交换外项）

babddb?（同时交换内项和外项） ca （3）反比性质（交换比的前项、后项）：

acbd??? bdac（4）合比性质：

aca?bc?d??? bdbd（5）等比性质： 3、黄金分割

把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5?1AB?0.618AB 2平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：

（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 相似三角形

1、相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。

2、相似三角形的基本定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

38

用数学语言表述如下：

∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系：

（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； （2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC （3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。 3、三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似

（2）直角三角形相似的判定方法 ①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 4、相似三角形的性质

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 （3）相似三角形周长的比等于相似比

（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。 5、相似多边形

（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）

（2）相似多边形的性质

①相似多边形的对应角相等，对应边成比例

②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比

③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方

涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分

割等。

注意：①定理中“对应”二字的含义; ②平行→相似（比例线段）→平行。 二、相似三角形性质

1．对应线段?;2．对应周长?;3．对应面积?。 三、相关作图

39

①作第四比例项;②作比例中项。 四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。?

amcmm?,?(为中间比) bndnnamcm' ??,?',n?n

bndnamcm'mm'''??,?'(m?m,n?n或?') bndnnn3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

考点5.3 解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余

可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 °

∠A=30° 可表示如下： ?BC=

1AB 2 ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD= D为AB的中点 4、勾股定理

直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a?b?c 6、常用关系式

由三角形面积公式可得： AB?CD=AC?BC

直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c有关系a?b?c，那么这个三角形是直角三角形。 锐角三角函数的概念

1、如图，在△ABC中，∠C=90°

2222221AB=BD=AD 2 40

2、锐角三角函数的概念

锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围

0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0， 3、一些特殊角的三角函数值 α 30° 45° 60° sinα 122232cosα 3222tanα 33 1 3 12

4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) （2）平方关系

sin2A?cos2A?1

（3）倒数关系 tanA?tan(90°—A)=1 （4）弦切关系 tanA=

sinA

cosA

5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时， 解直角三角形

1、解直角三角形的概念

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c

（1）三边之间的关系：a?b?c（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：

222sinA?ababbaba,cosA?,tanA?,cotA?;sinB?,cosB?,tanB?,cotB? ccbaccab对实际问题的处理

1． 俯、仰角： 2．方位角、象限角： 3．坡度：

北 仰角 俯角 西 南 东

α i l

i=h/l=tgα

h

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3． 在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。 有关公式

111absinC=bcsinA=acsinB 22211（2）Rt△面积公式：S??ab?ch

22（1）S??（3）直角三角形外接圆的半径R?2，内切圆半径r?结论：直角三角形斜边上的高h?ca?b?c 2ab c4．应用解直角三角形的知识，可以解决： (1)测量物体高度． (2)有关航行问题．

(3)计算坝体或边路的坡度等问题．

专题六 统计与概率

平均数

1、平均数的概念

（1）平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,?,xn,那么，x?做这n个数的平均数，

2、平均数的计算方法 （1）定义法

当所给数据x1,x2,?,xn,比较分散时，一般选用定义公式：x?（2）加权平均数法：

当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：x?1(x1?x2???xn)叫n1(x1?x2???xn) nx1f1?x2f2??xkfk，其中

nf1?f2??fk?n。

统计学中的几个基本概念 1、总体

所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体

总体中每一个考察对象叫做个体。 3、样本

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量

样本中个体的数目叫做样本容量。 众数、中位数 1、众数

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在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 2、中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 方差

1、方差的概念

在一组数据x1,x2,?,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“s”表示，即

21s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n2、方差的计算 （1）基本公式：

1s2?[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2]

n（2）简化计算公式（Ⅰ）： （4）新数据法：

原数据x1,x2,?,xn,的方差与新数据x'1?x1?a，x'2?x2?a，?，x'n?xn?a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2,?,x'n,的方差就等于原数据的方差。

3、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

s2?1[(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2] n频率分布 1、频率分布的意义

在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这 2．有关概念

(1)分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5—12组．

(2)频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和等于数据总数n． (3)频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l． (4)频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表． (5)频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，． ③所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1．

④样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另IJ占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布．

3 研究样本的频率分布的一般步骤是：

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①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点 ④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。 各种统计图的特点

1．条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目． 2．折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况．

3．扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比． 1、必然事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放生的事件，称为随机事件。 随机事件发生的可能性

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

概率的意义与表示方法 1、概率的意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

n会稳定在某个常数p附近，那m么这个常数p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A，B，C，?，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率

（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0 1概率的值

不可能发生 必然发生

事件发生的可能性越来越大

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

m n列表法求概率 （10分） 1、列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所

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有可能的结果，通常采用列表法。 树状图法求概率 （10分） 1、树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 利用频率估计概率（8分） 1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

初中数学常用的10种解题方法

数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。

下面介绍的解题方法，都是初中数学中最常用的， 1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接

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