2019届河北省衡水高三高考押题数学（理）试题（解析版）10(1)

河北省衡水中学高三高考押题理数试题

一、选择题

1．已知集合A?{x?Z|4?x1?0}， B?{x|?2x?4}，则A?B=（ ） x?24A. {x|?1?x?2} B. ??1,0,1,2? C. ??2,?1,0,1,2? D. ?0,1,2? 【答案】B

【解析】由题知A???1,0,1,2,3,4?， B＝则A?B???1{x|?2?x?2}，,0,1,2故本题答案选B．

2．已知i为虚数单位，若复数z?的取值范围为（ ）

A. ??1,1? B. ??1,1? C. ???,?1? D. ?1,??? 【答案】B 【解析】由题z=可知

1?ti在复平面内对应的点在第四象限，则t1?i?1-ti?1-ti??1-i?1-t1+t==-i．又对应复平面的点在第四象限，1+i?1+i??1-i?221?t1?t?0且??0，解得?1?t?1．故本题答案选B． 223．下列函数中，既是偶函数，又在???,0?内单调递增的为（ ） A. y?x4?2x B. y?2x C. y?2x?2?x D. y?log1x?1

2【答案】D

【解析】 A排除； y?2x为偶函数，但在???,0?y?x4?2x为非奇非偶函数，内单调递减， B排除； y?2x?2?x为奇函数， C排除．故本题答案选D．

x2x22?y?1与双曲线C2： ?y2??1，给出下列说法，4．已知双曲线C1： 22其中错误的是（ ）

A. 它们的焦距相等 B. 它们的焦点在同一个圆上 C. 它们的渐近线方程相同 D. 它们的离心率相等 【答案】D

x2【解析】由题知C2:y??1．则两双曲线的焦距相等且2c?23，焦点都22在圆x2?y2?3的圆上，其实为圆与坐标轴交点．渐近线方程都为y??2x，2第 1 页 共 17 页

由于实轴长度不同故离心率e?c不同．故本题答案选D， a5．在等比数列?an?中，“a4， a12是方程x2?3x?1?0的两根”是“a8??1”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A

【解析】由韦达定理知a4?a12??3,a4a12?1，则a4?0,a12?0，则等比数列中a8?a4q4?0，则a8??aa在常数列an?1或an??1中， a4,a12不412??1．是所给方程的两根．则在等比数列?an?中，“a4， a12是方程x2?3x?1?0的两根”是“a8??1”的充分不必要条件．故本题答案选A． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（ ）

A. 1009 B. -1009 C. -1007 D. 1008 【答案】B

【解析】由程序框图则S?0,n?1;S?1,n?2;S?1?2,n?3;S?1?2?3,n?4，

S由规律知输出

S?1?2?3?4?5．故本题答案选?B．

【易错点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构.循环结构中都有一个累计变量和计数变量,累计变量用于输出结果,计算变量用于记录循环次数,累计变量用于输出结果,计数变量和累计变量一般是同步执行的,累加一次计数一次,哪一步终止循环或不能准确地识别表示累计的变量,都会出现错误.计算程序框图的有关的问题要注意判断框中的条件,同时要注意循环结构中的处理框的位置的先后顺序,顺序不一样,输出的结果一般不会相同. 7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

??

1??1?1? B. ?1 C. ? D. ? 631212343【答案】C

1【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的与三棱锥的组合体，其中

4A.

?第 2 页 共 17 页

圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三

1111π1角形，高为1．则几何体的体积V???π?12?1???1?2?1??．故

3432123本题答案选Ｃ．

8．已知函数f?x??Asin??x???(A?0,??0,???)的部分图象如图所示，则函数g?x??Acos??x???图象的一个对称中心可能为（ ）

?5?A. ??,0? B. ?2??1??,0? C. ?6??1???,0? D. ?2??11???,0? ?6?T?6???2??8，即2【答案】C

【解析】由图象最高点与最低点的纵坐标知A?23，又

T=2ππ?π??16，所以??．则f?x??23sin?x???，图象过点?6,0?，则ω8?8?3π3ππ?3π?sin?????0，即???kπ，所以????kπ，又???，则??．故

444?4?πππ3π??πg?x??23sin?x??，令x???kπ，得x??2k，令k??1，可得

48228??4?1?其中一个对称中心为??,0?．故本题答案选C．

?2?9．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF?AB，设AC?a， BC?b，则该图形可以完成的无字证明为（ ）

A.

a?b?ab(a?0,b?0) B. a2?b2?2ab(a?0,b?0) 22aba?ba2?b2?ab(a?0,b?0) D. C. ?(a?0,b?0) a?b22【答案】D

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【解析】令AC?a,BC?b，可得圆O的半径r?OC?OB?BC?a?ba?b?b?222a?b，又2，

2则

?a?b?FC2?OC2?OF2?4?a?b??4a2?b2，再根据题图知FO?FC，即?2a?ba2?b2．故本题答案选Ｄ． ?2210．为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ）

A. 720 B. 768 C. 810 D. 816 【答案】B

4【解析】由题知结果有三种情况． ?1?甲、乙、丙三名同学全参加，有C14A4=9623种情况，其中甲、乙相邻的有C14A2A3?48种情况，所以甲、乙、丙三名同

学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻顺序有96?48?48种情况； ?2?甲、

14乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有C3 ?3?4C3A4?288种情况；224甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有C4C3A4?432种情

况．则选派的4名学生不同的朗诵顺序有288?432?48?768种情况，故本题答案选B

11．焦点为F的抛物线C： y2?8x的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当

MAMF取得最大值时，直线MA的方程为（ ）

A. y?x?2或y??x?2 B. y?x?2 C. y?2x?2或y??2x?2 D. y??2x?2 【答案】A

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【解析】

过M作MP与准线垂直，垂足为P，则

MAMF?MAMP?11，?cos?AMPcos?MAF则当

MAMF取得最大值时， ?MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线

相切，可设切线方程为y?k?x?2?与y2?8x联立，消去y得

ky2?8y?16k?0，所以?64?64k2?0，得k??1．则直线方程为y?x?2或y??x?2．故本题答案选A．

点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离，抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化，如果问题中涉及抛物线上的点到焦点或到准线的距离，那么用抛物线定义就能解决问题．本题就是将到焦点的距离MF转化成到准线的距离MP，将比值问题转化成切线问题求解．

12．定义在R上的函数f?x?满足f?x?2??2f?x?，且当x??2,4?时，

?x2?4x,2?x?3,f?x??{x2?2g?x??ax?1，对?x1???2,0?， ?x2???2,1?，使得

,3?x?4,xg?x2??f?x1?，则实数a的取值范围为（ ）

1??1??A. ???,????,??? B.

8??8???1??1??,0???0,? ??4??8?11??C. ?0,8? D. ???,????,???

48??第 5 页 共 17 页

【答案】D

【解析】由题知问题等价于函数f?x?在??2,0?上的值域是函数g?x?在??2,1?上的值域的子集．当x??2,4?时， f?x??{??x?2??4,2?x?32x?,3?x?4x2，由二次函数及对勾

?9?函数的图象及性质，得此时f?x???3,?，由f?x?2??2f?x?，可得

?2?f?x??11f?x?2??f?x?4?，当x???2,0?时， x?4??2,4?．则f?x?在243

?2a?1??39???2,0?的值域为?4,8?．当a?0时， g?x????2a?1,a?1?，则有{a?1?94，解

??8

得a?1，当a?0时， g?x??1，不符合题意；当a?0时， 81a??，解得．综上所述，可得a的取值9

?2a?1?48

a?1?

3

4

g?x???a?1,?2a?1?，则有{

11??范围为 ???,????,???．故本题答案选D．

48??点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分

段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．

二、填空题

13．已知a??1,??， b??2,1?，若向量2a?b与c??8,6?共线，则a在b方向上的投影为_________． 【答案】35 5【解析】由题知2a?b??4,2??1?，又2a?b与c共线，可得24?8?2??1??0，得??1，则a在方向上的投影为

a?b33535．故本题应填． ??55b5x?y?2?0,14．已知实数x， y满足不等式组{x?2y?5?0,且z?2x?y的最大值为a，

y?2?0,?则?acos20xdx=__________． 2【答案】3?

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【解析】

作出可行域，目标函数可变为y?2x?z，令z?0，作出y?2x，由平移可知直线过

π2?4,?π时2z取最大值，则

a?zmax?6．则

xππ3π． 6cosdx?3cosx?3dx?3sinx|?3x|??00?3π．故本题应填??20015．在?ABC中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，

btanB?btanA??2ctanB，且a?8， ?ABC的面积为43，则b?c的值为

__________． 【答案】45

【解析】由正弦定理，原等式可化为sinB?sinBsinAsinB?sinB???2sinC?，cosBcosAcosB进一步化为cosAsinB?sinAcosB??2sinCcosA，则sin?A?B???2sinCcosA，

12π即cosA??．在三角形中A?．由面积公式S23ABC?1bcsinA?43，可知22bc?16，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA??b?c??bc，代入可得

b?c?45．故本题应填45．

点睛：本题主要考查正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角.选择余弦定理和面积时，要以已知角的为主．

16．已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）

A?BCD的外接球， BC?3， AB?23，点E在线段BD上，且BD?3BE，

过点E作圆O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__________.

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【答案】?2?,4??

【解析】

令BCD的中心为O1，球O的半

2?3，则32径为R，连接O1D,OD,O1E,OE，易求得O1D?3sin60?AO1?AD2?DO12?3，在RtOO1D中，由勾股定理得R2?3??3?R?，解?3得R?2，由BDB，E知O1EBC,DE?2DB?2，所以3O1E?DE2?DO12?1，所以OE?O1E2?OO12?2．当截面与OE垂直时，

截面的面积最小，此时截面圆的半径r?R2?OE2?2，此时截面面积为

2π．当截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π．故本

题应填?2?,4??．

点睛：解决球与其他几何体的内切，外接问题的关系在于仔细观察，分析几何体的结构特征，搞清相关元素的位置关系和数量关系，选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多地包含球和其他几何体的各种元素，尽可能的体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．

三、解答题

17．已知?1?x???1?x???1?x??列?an?的前n项和Sn. （1）求数列?an?的通项公式； （2）数列?bn?满足bn?2an23??1?x?的展开式中x的系数恰好是数

n?2an?12??an?1?1?，记数列?bn?的前n项和为Tn，求证：

Tn?1.

【答案】（1）an?n;（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）由二项展开式可知各项中x的系数，求和后可得Sn，

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利用Sn与an间的关系可得数列?an?的通项公式；（2）由an的通项公式可求

2n得bn的通项公式bn?n，对bn进行裂项，用裂项法可求得Tn，n?12?12?1????利用放缩法可证明不等式．

试题解析：（1）?1?x???1?x???1?x??111C1?C2?C3?1211?Cn? C2?C2?C3?23??1?x?的展开式中x的系数为

21?Cn? Cn?1?n121n?n，即22Sn?121n?n，所以当n?2时， an?Sn?Sn?1?n； 22当n?1时， a1?1也适合上式，所以数列?an?的通项公式为an?n. （2）证明：

2nbn?n? n?12?12?1????11?，所以nn?12?12?1111111Tn?1?????n?n?1 ?1?n?1，所以Tn?1.

337?21?221?118．如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为垂心.

的

（1）求证：平面（2）若

平面； ，求二面角

251 . 17的余弦值.

【答案】（1）见解析；（2）cos??【解析】试题分析：（1）延长OG交AC于点M，由重心性质及中位线性质可得OM//BC，再结合圆的性质得OM?AC，由已知PA?OM，可证OM? 平面PAC，进一步可得平面OPG?　平面PAC；（2）以点C为原点， CB，

CA， AP方向分别为x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．

试题解析：（1）如图，延长OG交AC于点M.因为G为?AOC的重心，所以M为AC的中点.

因为O为AB的中点，所以OM//BC.因为AB是圆O的直径，所以BC?AC，所以OM?AC. 因为PA?平面ABC， OM?平面ABC，所以PA?OM.又PA?平面PAC，

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AC?平面PAC,PA?AC= A，所以OM? 平面PAC.即OG?平面PAC，

又OG?平面OPG，所以平面OPG ?平面PAC.

（2）以点C为原点， CB， CA， AP方向分别为x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系C?xyz，则C?0,0,?0， A?0,1,0?， B?3,0,0，

??31???3?1?， O??,0,00,,0?，则OM????2,2,0??， P?0,1,2?， M???22???????31?OPG即为平面OPM，设平面OPM的一个法向量为OP????2,2,2??.平面

??3x?0,2令z?1，得n??0,?n??x,y,z?，则{4,1?.过点C31n?OP??x?y?2z?0,22n?OM??作CH?AB于点H，由PA?平面ABC，易得CH?PA，又PA?AB?A，所以CH?平面PAB，即CH为平面PAO的一个法向量.

在Rt?ABC中，由AB?2AC，得?ABC?30?，则?HCB?60?，

13. CH?CB?22所以

xH?CcHo?s3H?C，B 4yH?CHsin?HCB?34.所以

?33?CH???4,4,0??.

??设二面角A?OP?G的大小为???s，则coCH?CH?n? n第 10 页 共 17 页

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