2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考数学（理）试题

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荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟

2018届高三2月联考

理科数学试题

命题学校：宜昌一中

本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．若集合M?xx?1?，N?yy?x,x?1，则

2???A．M?N B．M?N C．M?N?? D．N?M 2．在复平面内，复数

1(其中i是虚数单位）对应的点位于 2?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设??R,则“???12??12”是“sin??1” 的 2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知??(??,)，a?(cos?)cos?，b?(sin?)cos?， 42c?(cos?)sin?，则

A．a?b?c C．b?a?c

B．a?c?b D．c?a?b

5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的

边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立

了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为 （参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）

A．12 B．20 C．24 D．48

?2x?y?2?0,?6．已知实数x,y满足约束条件?x?2y?2?0,若z?x?ay?a?0?的最大值为4，则a?

?x?y?2?0,?页

1第

A．2 B．

3 2 C．3 D．4

7．已知数列{an},{bn},n?N*都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1,b1，且a1?b1?5，a1,b1?N*设

cn?abn(n?N*),则数列?cn?的前10项和等于

A．55

B．70

C．85

D．100

8．若圆O1:x2?y2?5与圆O2:(x?m)2?y2?20相交于A,B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，

则线段AB的长度是 A．3

B．4

C．23

D．8

9．若函数y?f(x?2)的图象与函数y?log3A．32x?2x?2的图象关于直线y?x对称，则f(x)=

C．3

2x

B．32x?1

D．32x?2

10．已知函数f?x??sin?x?3cos?x???0?，若方程f?x???1在?0，??上有且只有四个实数根，则

实数?的取值范围为 A．(137725,] B．(,] 6226C．(2511,] 62D．(1137,] 2611．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，

正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．则该巨响发生在接报中心的( )处．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上） A．西偏北45°方向，距离68010m B．东偏南45°方向，距离68010m C．西偏北45°方向，距离6805m D．东偏南45°方向，距离6805m

12．对n?N*，设xn是关于x的方程nx3?2x?n?0的实数根，an?[(n?1)xn],(n?2,3,???)（符号[x]表

示不超过x的最大整数）．则

a2?a3?????a2018?

2017A．1010 B．1012 C．2018 D．2020

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

?1?2x,x?0?13．已知函数f(x)??1，则f(f(?1))? ．

2??x,x?014．设n?N，则Cn?Cn7?Cn7?????Cn7*1232nn?1? ．

??????,b?2．若平面向量m满足15．已知平面向量a,b的夹角为 120°，且a?1页 2第

????????m?a?m?b?1，则m? ．

16．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新

工件的一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最大值为 ．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．（12分）

如图，已知AD是?ABC中?BAC的角平分线，交BC边于点D.

（1）用正弦定理证明：

ABBD?； ACDC（2）若?BAC?120?,AB?2,AC?1，求AD的长．

18．（12分）

如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE?平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且

?DAB?60?,EA?ED?AB?2EF,EF//AB，M为BC中点．

（1）求证：FM//平面BDE；

（2）求二面角D?BF?C的平面角的正弦值．

19．（12分）

我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：

页 3第

（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元； ②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元； ③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．

利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）

20．（12分）

如图，一张坐标纸上已作出圆E：(x?1)2?y2?8及点P(1,0)，折叠此纸片，使P与圆周上某点P'重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线EP'的交点为M，令点M的轨迹为C.

（1）求轨迹C的方程；

（2）若直线l:y?kx?m与轨迹C交于两个不同的点A,B,且直线l与以EP为直径的圆相切，若OA?OB?[,]，求?ABO的面积的取值范围．

21．（12分）

已知a为正的常数，函数f(x)?|ax?x|?lnx. （1）若a?2，求函数f(x)的单调递增区间； （2）设g(x)?页

22334f(x)，求g(x)在区间[1,e]上的最小值．（e?2.71828为自然对数的底数） x4第

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为??x?2?2cos?(?为参数)，以原点O为极点，x轴的正

?y?2sin?半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??4sin?.

（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）已知曲线C3的极坐标方程为???,(0????,??R),点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A,B均异于原点O，且AB?42，求实数?的值．

23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）

已知函数f?x??x?a?1?a?0?. 2a（1）若不等式f?x??f?x?m??1恒成立，求实数m的最大值； （2）当a?

1，函数g?x??f?x??2x?1有零点，求实数a的取值范围． 2页 5第

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2018届高三2月联考理科数学参考答案

题号 1 答案 D 2 D 3 A 4 D 5 C 6 C 7 C 8 B 9 C 10 B 11 A 12 A 13. 22 14．1n(8?1) 15. 716213 16. 27 . 17.解：（1）在?ABD中，在?ACD中，

ABBD?,（1） ………………2分 sin?ADBsin?BADACCD?,（2） ………………4分

sin?ADCsin?CAD又?sin?ADB?sin?ADC,sin?BAD?sin?DAC?（此题没利用正弦定理且证明过程正确的，给2分）

（2）在?ABC中，BC?2?1?2?2?1?cos120??7

222ABBD? ………………6分 ACDC又?AB?BD?2,?BD?27,DC?7………………8分

ACDC33 法一：在?ABD中，BD?AB?AD?2AB?ADcos?BAD

222(2247)2?22?AD2?2?2?ADcos60?,AD?或 ………………10分 333

在?ACD中，DC?AC,??ADC??DAC?60?,

??ACD??DAC,?AD?CD?AD?4 ………………12分

3法二：

222222故cosB?AB?BC?AC?2?(7)?1?5 ??????10分

2AB?BC2?2?727在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB?BDcos∠ABD

?27?275=4+??2?2????3?327 ??2=49

所以AD?2． ??????12分

318. （1）证明：取CD 中点N，连结MN、FN．因为N，M分别为CD，BC中点，所以MN∥BD． 又BD?平面BDE，且MN?平面BDE，所以MN∥平面BDE，因为EF∥AB，AB=2EF，所以EF∥CD，EF=DN．所以四边形EFND为平行四边形． ??????2分 所以FN∥ED．又ED?平面BDE且FN?平面BDE，

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