一次函数的应用

一次函数的应用

◆【课前热身】

1.在平面直角坐标系中，函数y??x?1的图象经过（ ）

A．一、二、三象限 B．二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、四象限

2.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A．12分钟

B．15分钟

C．25分钟

D．27分钟

3.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）

y(元)900300O3050(kg)x

A.20kg B.25kg C.28kg D.30kg 4.一次函数y?2x?3的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ◆【考点聚焦】

??一般式y=kx+b(k?0)概念???正比例函数y=kx(k?0)???y?0,y随x的增大而增大? 一次函数?性质?

k?0,y随x的增大而减小???b?图象:经过(0,b),(-,0)的直线k??〖知识点〗

正比例函数及其图象、一次函数及其图象

1

〖大纲要求〗

1．理解正比例函数、一次函数的概念； 2．理解正比例函数、一次函数的性质； 3．会画出它们的图象；

4．会用待定系数法求正比例、一次函数的解析式. ◆【备考兵法】 〖考查重点与常见题型〗

1． 考查正比例函数、一次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中；

2． 综合考查正比例、一次函数的图象，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图象，试题

类型为选择题；

3． 考查用待定系数法求正比例、一次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答

题和选拔性的综合题；

4． 利用函数解决实际问题，并求最值，这是近三年中考应用题的新特点. 一次函数的图象与性质

直线y=kx+b（k≠0）中，k和b决定着直线的位置及增减性，当k>0时，y随x的增大而增大，此时若b>0，则直线y=kx+b经过第一，二，三象限；若b<0，则直线y=kx+b经过第一，三，四象限，当k<0时，y随x的增大而减小，此时当b>0时，直线y=kx+b经过第一，二，四象限；当b<0时，直线y=kx+b经过第二，三，四象限．

一次函数图象的平移与图象和坐标轴围成的三角形的面积

一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、?右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示罢了；直线y=kx+b与x

b，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为： k1bS△=·│－│·│b│．

2k轴交点为（－◆【考点链接】

一次函数y?kx?b的性质

k＞0?直线上升?y随x的增大而 ； k＜0?直线下降?y随x的增大而 . ◆【典例精析】

例1如图，直线y?kx?b与x轴交于点(－4 , 0)，则y> 0时，x的取值范围是（ ）

A.x>－4 B.x>0 C.x<－4 D.x<0

2

【分析】考查一次函数图象 【答案】A

例2（贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.

（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由. 【答案】解：（1）y1?100?x y2?（2）y?(100?x)?(100?1x 211x)即：y??(x?50)2?11250 2 2因为提价前包房费总收入为100×100=10000.

当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000.又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.

【点评】本题是以生活实际为背景的考题．题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间． 建立函数模型解决实际问题

例3（江苏省）某加油站五月份营销一种油品的销售利润y（万元）与销售量x（万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量x为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA.AB.BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案）

【答案】 解法一：（1）根据题意，当销售利润为4万元，销售量为4?(5?4)?4（万升）．

3

答：销售量x为4万升时销售利润为4万元．

4)，从13日到15日利润为5.5?4?1.5（万元）（2）点A的坐标为(4，，

5.5)． 所以销售量为1.5?(5.5?4)?1（万升），所以点B的坐标为(5，设线段AB所对应的函数关系式为y?kx?b，则??4?4k?b，?k?1.5，解得?

5.5?5k?b.b??2.???线段AB所对应的函数关系式为y?1.5x?2(4≤x≤5)．

从15日到31日销售5万升，利润为1?1.5?4?(5.5?4.5)?5.5（万元）．

11)． ?本月销售该油品的利润为5.5?5.5?11（万元），所以点C的坐标为(10，设线段BC所对应的函数关系式为y?mx?n，则??5.5?5m?n，?m?1.1，解得?

?11?10m?n.?n?0.所以线段BC所对应的函数关系式为y?1.1x(5≤x≤10)． （3）线段AB．

解法二：（1）根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y?(5?4)x，即y?x(0≤x≤4)． 当y?4时，x?4．

答：销售量为4万升时，销售利润为4万元．

（2）根据题意，线段AB对应的函数关系式为y?1?4?(5.5?4)?(x?4)， 即y?1.5x?2(4≤x≤5)．

5.5)． 把y?5.5代入y?1.5x?2，得x?5，所以点B的坐标为(5，截止到15日进油时的库存量为6?5?1（万升）． 当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中， 每升油的成本价?1?4?4?4.5． ?4.4（元）

5所以，线段BC所对应的函数关系为

y?(1.5?5?2)?(5.5?4.4)(x?5)?1.1x(5≤x≤10)．

（3）线段AB．

【点评】本题提供了一个与生活实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型．建立函数关系．为学生解决实际问题留下了思维空间． ◆【迎考精练】 一、选择题

4

1.（黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后

关闭甲，同时打开丙，直到水池中的水排空．水池中的水量v(m)与时间t(h)之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是 （ ） A．乙>甲

B． 丙>甲

C．甲>乙

D．丙>乙

3

2.（贵州黔东南州）如图，在凯里一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（ ）

A.乙比甲先到终点

B.乙测试的速度随时间增加而增大

C.比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇 D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快

3.（重庆江津区）已知一次函数y?2x?3的大致图象为 （ ）

y[来源:学+科+网]

y

yyox

oxoxoxA B C D

4.（湖南益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 如图描述了他上学的情景，下列说法中错误的是（ ） ．．

2000 1000

5

离家的距离(米)

A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为2000米

C．到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米

5.（湖北宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降．若该水库的蓄水量V(万米)与干旱的

时间t(天)的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．干旱开始后，蓄水量每天减少20万米 B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米 C．干旱开始时，蓄水量为200万米 D．干旱第50天时，蓄水量为1 200万米

6.（湖南怀化）小敏家距学校1200米，某天小敏从家里出发骑自行车上学，开始她以每分钟V1米的速度匀速行驶了600米，遇到交通堵塞，耽搁了3分钟，然后以每分钟V2米的速度匀速前进一直到学校(V1?V2)，你认为小敏离家的距离y与时间x之间的函数图象大致是（ ）

3

3

33

3

12001000800600400200OV/万米31020304050t/天

7.(河北)如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）

y y y y 输入x 取相反数 ×2 ＋4

-2 O - 4 4 4 x - 2 O x O - 4 2 x O 2 x D

输出y 7题图

A B C

8.(湖北鄂州)如图，直线AB：y=

1x+1分别与x轴、y轴交于点A.点B,直线CD：y=x+b分别与x轴、y轴交2于点C.点D．直线AB与CD相交于点P，已知S?ABD=4，则点P的坐标是（ ） A.(3，

5) 2B．(8，5) C．(4，3) D．(

15，) 24y A

9.（浙江宁波）如右图，点A.B.C在一次函数y??2x?m的图象上，它们的横坐

B C x ?1 O

6

1 2

标依次为?1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）

A．1

二、填空题

1.(福建宁德)张老师带领x名学生到某动物园参观，已知成人票每张10元，学生票每张5元，设门票的总费用为y元，则y= ．

2.（湖北恩施）我市某出租车公司收费标准如图所示，如果小明只有19元钱，那么 他乘此出租车最远能到达___________公里处．

y 13.6 12 10 9 6 3 0 1000 s（米）

B．3

C．3(m?1)

D．

3(m?2) 2t（分）

10 20 0 1 2 4 6 8 10 x 第3题图

2题

3.（辽宁朝阳）如图是小明从学校到家里行进的路程S（米）与时间t（分）的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有___________（填序号）． 4.（青海）如图4，函数y?x与y?的面积为 ．

4

的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为C，则△ABCx

A O x

3 O t(分)

y(千米) y C B 4题12 72

5题

5.(广东梅州)星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y（千米）与时间t（分钟）的关系如上图所示． 根据图象回答下列问题：

（1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时． 三、解答题

1.（河南省）暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；

7

当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.

(1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；

(2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.

2.（湖南衡阳）在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系．

（1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km；

（2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

S(km) 8· 6· 4· 2· 0 B A 2 t(h) 3.(陕西省)在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．

根据图象信息，解答下列问题：

（1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y与x之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．

4.（黑龙江大兴安岭）邮递员小王从县城出发，骑自行车到A村投递，途中遇到县城中学的学生李明从A村步行返校．小王在A村完成投递工作后，返回县城途中又遇到李明，便用自行车载上李明，一起到达县城，结果小王比预计时间晚到1分钟．二人与县城间的距离s(千米)和小王从县城出发后所用的时间t(分)之间的

8

函数关系如图，假设二人之间交流的时间忽略不计，求：

（1）小王和李明第一次相遇时，距县城多少千米？请直接写出答案． （2）小王从县城出发到返回县城所用的时间． （3）李明从A村到县城共用多长时间？

5.（广西南宁）南宁市狮山公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积xm2的函数关系如图12所示；乙工程队铺设广场砖的造价y乙（元）与铺设面积xm2满足函数关系式：y乙?kx．

（1）根据图12写出甲工程队铺设广场砖的造价y甲（元）与铺设面积xm2的函数关系式； （2）如果狮山公园铺设广场砖的面积为1600m，那么公园应选择哪个工程队施工更合算？

y元 48000 28000 0 500 1000 2s/千米61020306080t/分??????图12

6.（浙江丽水）绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：

类别 进价（元/台） 冰箱 2 320 彩电 1 900 x?m2?

9

(1) 按国家政策，农民购买“家电下乡”产品可享受售价13%的政府补贴.农民田大伯到该商场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的政府补贴？

(2)为满足农民需求,商场决定用不超过85 000元采购冰箱、彩电共40台, 且冰箱的数量不少于彩电数 量的5.

6①请你帮助该商场设计相应的进货方案；

②哪种进货方案商场获得利润最大（利润=售价?进价），最大利润是多少？

7.（新疆乌鲁木齐市）星期天8：00-8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气．之后，一位工作人员以每车20立方米的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．

（1）8：00-8：30，燃气公司向储气罐注入了多少立方米的天然气？

（2）当x≥0.5时，求储气罐中的储气量y（立方米）与时间x（小时）的函数解析式； （3）请你判断，正在排队等候的第18辆车能否在当天10：30之前加完气？请说明理由．

8.（湖北宜昌）

10 000 8 000 y(立方米) 售价（元/台） 2 420 1 980 2 000 0 0.5 10.5 x(小时)

10

【实际背景】

预警方案确定: 设W?．如果当月W<6，则下个月要采取措施防止“猪贱伤农”． ．．．当月的５00克玉米价格　当月的５00克猪肉价格【数据收集】

今年2月～5月玉米、猪肉价格统计表

月 份 玉米价格(元/500克) 猪肉价格(元/500克) 【问题解决】

(1)若今年3月的猪肉价格比上月下降的百分数与5月的猪肉价格比上月下降的百分数相等，求3月的猪肉价格m；

(2)若今年6月及以后月份，玉米价格增长的规律不变，而每月的猪肉价格按照5月的猪肉价格比上月下降的百分数继续下降，请你预测7月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”；

(3)若今年6月及以后月份，每月玉米价格增长率是当月猪肉价格增长率的2倍，而每月的猪肉价格增长率都为a，则到7月时只用5.5元就可以买到500克猪肉和500克玉米．请你预测8月时是否要采取措施防止“猪贱伤农”．

9.(河北省)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm×30 cm，B型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型

11

2 0.7 7.5 3 0.8 4 0.9 6.25 5 1 6 m

板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）

A型板材块数 B型板材块数 裁法一 1 2 裁法二 2 裁法三 0 m n[来源:学#科#网Z#X#X#K] 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张， 且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；

（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？

10.(山东潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：

方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；

方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．

（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；

（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．

11.（黑龙江牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留1小时后按原路以另一速度匀速返回，直到

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

12

两车相遇．乙车的速度为每小时60千米．下图是两车之间的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．

（1）请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度； （2）求从甲车返回到与乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围．

（3）求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．

[来源:Z

12.（黑龙江牡丹江）某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：

型号 成本（元/台） 售价（元/台） （1）冰箱厂有哪几种生产方案？

（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣

机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？

（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．

13.（辽宁锦州）某商场购进一批单价为50元的商品，规定销售时单价不低于进价，每件的利润不超过40%.其中销售量y(件)与所售单价x(元)的关系可以近似的看作如图所表示的一次函数.

A型 2200 2800 B型 2600 3000 13

(1)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

(2)设该公司获得的总利润(总利润=总销售额-总成本)为w元，求w与x之间的函数关系式.当销售单价为何值时，所获利润最大？最大利润是多少？

14.（甘肃白银）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长换算的对应数值：［注：“鞋码”是表示鞋子大小的一种号码］

鞋长（cm） 鞋码（号） 16 22 19 28 21 32 24 38 400300y （件）o6070x （元）（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，试判断点（x，y）在你学过的哪种函数的图象上？ （2）求x、y之间的函数关系式；

（3）如果某人穿44号“鞋码”的鞋，那么他的鞋长是多少？

15.(湖北鄂州)某土产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售。按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，

解答以下问题

(1)设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式． (2)如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种?并写出每种安排方案. (3)若要使此次销售获利最大，应采用(2)中哪种安排方案?并求出最大利润的值.

土特产种类 每辆汽车运载量（吨） 每吨土特产获利（百元） 甲 8 12 乙 6 16 丙 5 10 [来源:学#科#网]

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ww13.html