广东清新县第一中学2012届高考数学冲刺模拟试题(3) 理

2012届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学（理科）（三）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1．在复平面内，复数

1?i3对应的点位于（ ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设集合A?{x|y?2x?x2}，B?{y|y?2x}，则A?B?（ ）

（0，2) A．3．设a?log132] C．(1,2] B．[0，（0，2] D．134,b?log1,c?log3，则a,b,c的大小关系是（ ） 2322A.a?b?c B .c?b?a C .b?a?c D .b?c?a

?2x(x?1)4．若函数f(x)??，则y?f(1?x)的图象可以是（ ）

?log0.5x(x?1) A II O I x O B

y y II x II y －I O C

x O D

x y II 5．在等差数列{an}中，若a4?a6?a8?a10?a12?120，则 a9?1a11的值为（ ） 3

A．14 B．15 C．16 D．17

6．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是（ ）

A．31.6岁 B．32.6岁 C．33.6岁 D．36.6岁

用心 爱心 专心

1

?x?2y?3?0?7．已知变量x,在点(?3,0)处 y满足约束条件?x?3y?3?0，若目标函数z?y?ax仅．

?y?1?0?取到最大值，则实数a的取值范围为（ ）

A．(3, 5)

B．(, ??)

12 C．(?1, 2)

D．(, 1)

138．已知a是实数，函数f?x??2ax2?2x?3?a，如果函数y?f?x?在区间??1,1?上有零点，则a的取值范围是（ ）

A．????,????3?7??3?7?1??, B．或?1,??? C．?1,??? D．(, 1) ????2?2?3?

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13） 9．设???0,10．

1???.若tan??,则cos?? . ?3?2??22e1dx? .（其中e为自然对数的底） x11．为了参加端午节龙舟赛，某龙舟队进行了6次测试，测得最大速度(m/s))的茎叶图如图所示：则6次测试的最大速度的平均数等于 (m/s) ， 方差等于 (结果用分数表示).

x2y212．已知F1(?1,0),F2(1,0)的椭圆2?2?1的两个焦点，若椭圆上一点P满足

ab?????????|PF1|?|PF2|?4，则椭圆的离心率e? .

13．已知命题“?x?R,|x?a|?|x?1|?2”是假命题，则实数a的取值范围是___ . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）已知在?ABC中，AB?AC，以AB为直 径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.若?A?58，则?CDE? .

0用心 爱心 专心 2

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点A(2,?),B(2,?2)，C是曲线

??2cos?上任意一点，则?ABC的面积的最小值等于_______________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 16.（本小题满分12分）

数列?an?是以首项为a，公差为b的等差数列，数列?bn?是以首项为b，公比为a的等比数列，a,b?N，且满足a1?b1?a2?b2?a3. （I）求a的值；

（II）对于某项am存在bn，使am?1?bn成立，求b的值，并推导m与n的关系式； （III）在?an?中对满足（II）的项，求它的前k项的和.

17.（本小题满分13分）

有一过关游戏的规则是:第n关抛掷一颗骰子n次，如果n次抛掷所出现的点数之和大于n，就算过关.

（I）按照游戏规则，最多能过几关? （II）求某人连过3关的概率.

18.（本小题满分13分）

在?ABC中，

（I）设c?a?b，证明?ABC是锐角三角形；

（II）设c?a?b，当n?3?n?N?时，试判断?ABC是何种三角形，请说明理由.

nnn3332

19.（本小题满分14分）

如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点． (I)求证：AB1?面A1BD； (II)求二面角A?A1D?B的正弦值.

20.（本小题满分14分）

用心 爱心 专心 3

P满足|PF1|?|PF2|?4，记动点P的轨迹为E．已知F 1(?3,0)，F2(3,0)，动点

（I）求E的方程；

（II）曲线E的一条切线l，过F1,F2作l的垂线，垂足分别为M，N，求|F|F2N|的1M|?值；

（III）曲线E的一条切线为l，与x轴分别交于A，B两点，求|AB|的最小值，并求此时切线的斜率．

21.（本小题满分14分）

已知函数f?x??loga1?m?x?2?x?3?a?0,a?1?，对定义域内的任意

x都有

f?2?x??f?2?x??0成立．

（I）求实数m的值；

（II）若当x??b,a?时，f?x?的取值范围恰为?1,???，求实数a,b的值．

2012届清新县第一中学高考冲刺模拟试题

数学（理科）（三）

一、选择题 题号 答案 1 D 11 D 3 D 4 C 5 C 6 C 7 B 8 B 8.解答：因为 y?f?x?在??1,1?上有零点，

等价于关于x的方程2ax?2x?3?a?0在??1,1?上有解，

2即2x2?1a?3?2x在??1,1?上有解， 显然2x?1?0，有a?2???2x?3，

2x2?1它表示过动点M2x2,?2x和定点N?1,?3?的直线的斜率.

2令m?2x,n??2x，消去x，得n?2m，?2?n?2， 2或者y?2x，?2?y?2，

2??a即为抛物线y2?2x一段上的点P?x,y?与定点N?1,?3?之间的斜率，

用心 爱心 专心 4

则由直线绕点N从抛物线的端点A旋转至切点B，可求出斜率的范围， 易求抛物线的下端点坐标A?2,?2?，可得直线NA的斜率为kNA?下求切线NB的斜率，

2??y?2x2由方程?，得ky?2y?2k?6?0，

??y?3?k?x?1??3???2??1，

1-2解之，??4?4k?2k?6??0，结合图象，得k??3?7， 2??3?7?所以a的取值范围为???,?或?1,???. ?2??二、填空题 题号 答案 三、解答题 16.答案：

解（I）：由已知a1?b1?a2?b2?a3，得a?b?a?b?ab?a?2b，

9 10 11 12 13 14 15 3?2 310 101 33，47 31 2(??,?3)?(1,??) 290 a?0??1??a?b?b??由?

a?b?ab?a?2baa???1?a??2?b?b因为a,b?N，所以a?2. 解（II）：由已知am?1?bn，

得a??m?1?b?1?b?an?1?3??m?1?b?b?2n?1?b2n?1?m?1?3， 因为2???n?1?m?1?N，b?N且b?2，

n?1?所以b?3且2?m?1?1，即2n?1?m.

n?1解（III）：在?an?中对满足b?3且2?m的项为

an?a?2n?1?1b?2?3?2n?1?1?3?2n?1?1?n?1,2,?,k?，

用心 爱心 专心

5

????

所以Sk??3?20?1???3?21?1???3?22?1?????3?2k?1?1?

1?2k?31?2?k?3?2k??k?3?.

17．答案：

解（I）：最多能过5关.

解（II）：记过第1、2、3关分别为事件A、B、C. 第1关抛掷骰子一次，仅点数为1才不能过关，故P(A)?56. 第2关抛掷骰子两次，点数和大于4才能过关，故按点数来看，不能过关的情形 有: (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)，共计6种情形， 所以P?A??6?6?66?6?56.

第3关抛掷骰子三次，点数和大于9才能过关，故按点数来看，不能过关的情形有:

(1,1,m)(m??1,2,3,4,5,6?) (1,2,m)(m??1,2,3,4,5,6?) (1,3,m)(m??1,2,3,4,5?) (1,4,m)(m??1,2,3,4?) (1,5,m)(m??1,2,3?) (1,6,m)(m??1,2?) (2,1,m)(m??1,2,3,4,5,6?) (2,2,m)(m??1,2,3,4,5?) (2,3,m)(m??1,2,3,4?) (2,4,m)(m??1,2,3?) (2,5,m)(m??1,2?) (2,6,m)(m??1?),...

用心 爱心 专心 6

共计有

(6?6?5?4?3?2)?(6?5?4?3?2?1)?(5?4?3?2?1)?(4?3?2?1)?(3?2?1)?(2?1)?81种情形，所以P?C??

18．答案：

6?6?6?815?.

6?6?68解（I）：由题设c?a?b，可得c?a,c?b，故C为最大角； 只需要判断a?b?c?0， 因为即

222333?a22?b2c?c3?a2?b2c?a3?b3?a2?c?a??b2?c?b??0，

??????a?b2c?c3?0，a2?b2?c2，

?a2?b2?c2?0， 根据余弦定理，有cosC?2ab故，?ABC是锐角三角形. 解（II）：

n?2因为c?a?b，所以c?an?2,cn?2?bn?2，

nnn因为a?bc所以a?bc??22?n?2?cn?a2?b2cn?2?an?bn?a2cn?2?an?2?b2cn?2?bn?2?0，

222?cn?0，即a2?b2cn?2?cn，所以a?b?c，

????????22?n?2??a2?b2?c2?0， 根据余弦定理，有cosC?2ab故，当n?3?n?N?时，△ABC是锐角三角形.

19．答案： 解法一：

证明（I）：取BC中点O，连结AO．

?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

∵正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

?AO⊥平面BCC1B1．

用心 爱心 专心

7

连结B1O，在正方形BB1C1C中，O，D分别为BC，CC1的中点，

?B1O⊥BD. ?AB1⊥BD．

在正方形ABB1A1中，AB1⊥A1B，

?AB1⊥平面A1BD．

解（II）：

设AB1与A1B交于点G，在平面A1BD中，作GF⊥A1D于F，连结AF， 由(Ⅰ)得AB1⊥平面A1BD，

?AF⊥A1D，

?∠AFG为二面角A?A1D?B的平面角．

在△AA1D中，由等面积法可求得AF?145，又?AG?AB1?2，

25?sin∠AFG?AG210??AF454

510. 4所以二面角A?A1D?B的正弦值为解法二： 证明（I）：

取BC中点O，连结AO．

?△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

?在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1， ?AO?平面BCC1B1．

?????????????取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向

建立空间直角坐标系，

用心 爱心 专心 8

则B(1，0，0)，D(?11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0)， ?????AB(1，2，?3)???BD??(?2，1，0)????1?，，BA1?(?1，2，3)． ?????AB????????????1?BD??2?2?0?0，AB1?BA1??1?4?3?0，

?????AB????，????AB????1⊥BD1⊥BA1， ?AB1⊥平面A1BD．

解(II)设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)

???AD??(?11，，?3)，????AA1?(0，2，0)． ?????n⊥???AD?，n⊥AA1，

????n????AD??0，??x?y?3z?0，??y?0，?????AA ???n?1?0，?2y?0， ?????

?x??3z．令z?1得n?(?3，0，1)为平面A1AD的一个法向量，

由(I)知AB????1⊥平面A1BD，?AB1为平面A1BD的法向量， cos?n????，ABn?????AB1?31??n?????AB??3??612?224，

?二面角A?A101D?B的正弦值为4.

20．答案：

解（I）：?F1F2?23又?PF1?PF2?4?23，

?P点轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆，2a?4,2c?23，

故椭圆方程为x2?y24?1. 解（II）：○1当切线斜率不存在时，切线为x??2，此时FM1?F2N?1 ○

2当切线斜率存在时，设切线方程为y?kx?b，则 用心 爱心 专心 9

?x2??y2?1 ?4?(1?4k2)x2?8kbx?4b2?4?0， ?y?kx?b???(8kb)2?4(1?4k2)(4b2?4)?0，即b2?4k2?1 F1M??3k?bk?12，F2N?3k?bk?12

F1M?F2N?b2?3k2k?12?4k2?1?3k2k?12?1，

故FM?F2N?1； 1解（III）：由（II）知，A(?b,0),B(0,b) kb24k2?1122 AB??b??4k?1??4k2?5 222kkk ?212?4k?5?3 2k当且仅当

1222?4k，即时取等号，故的最小值为3，此时斜率为. ?k??ABk22221.解答:

解（I）：由f?x??loga1?m?x?2?及f?2?x??f?2?x??0可得：

x?3loga1?m??2?x??2?1?m??2?x??2??loga?0

?2?x??3?2?x??3解之得：m??1．

当m?1时，函数f?x?无意义，所以，只有m??1． 解（II）：m??1时，f?x??logax?1 ，其定义域为???,1???3,???. x?3所以，?b,a?????,1?或?b,a???3,???． ①若?b,a???3,???，则3?b?a．

为研究x??b,a?时f?x?的值域，可考虑f?x??loga用心 爱心 专心

x?1在?3,???上的单调性． x?310

下证f?x?在?3,???上单调递减． 任取x1,x2??3,???，且x1?x2，则

x1?1x2?12?x2?x1????0

????x1?3x2?3x1?3x2?3又a?1，所以，logax1?1x?1，即f?x1??f?x2?． ?loga2x1?3x2?3所以，当?b,a???3,???，f?x?在?3,???上单调递减.

由题：x??b,a?时，f?x?的取值范围恰为?1,???，所以，必有b?3且f?a??1，解之得：a?2?3（因为a?3，所以舍去a?2?3）

②若?b,a?????,1?，则b?a?1． 又由于a?0,a?1，所以，0?a?1．

此时，同上可证f?x?在???,1?上单调递增（证明过程略）．

所以，f?x?在?b,a?上的取值范围应为?f?b?,f?a??，而f?a?为常数，故f?x?的取值范围不可能恰为?1,???．

所以，在这种情况下，a,b无解．

综上，符合题意的实数a,b的值为a?2?3，b?3.

用心 爱心 专心 11

下证f?x?在?3,???上单调递减． 任取x1,x2??3,???，且x1?x2，则

x1?1x2?12?x2?x1????0

????x1?3x2?3x1?3x2?3又a?1，所以，logax1?1x?1，即f?x1??f?x2?． ?loga2x1?3x2?3所以，当?b,a???3,???，f?x?在?3,???上单调递减.

由题：x??b,a?时，f?x?的取值范围恰为?1,???，所以，必有b?3且f?a??1，解之得：a?2?3（因为a?3，所以舍去a?2?3）

②若?b,a?????,1?，则b?a?1． 又由于a?0,a?1，所以，0?a?1．

此时，同上可证f?x?在???,1?上单调递增（证明过程略）．

所以，f?x?在?b,a?上的取值范围应为?f?b?,f?a??，而f?a?为常数，故f?x?的取值范围不可能恰为?1,???．

所以，在这种情况下，a,b无解．

综上，符合题意的实数a,b的值为a?2?3，b?3.

用心 爱心 专心 11

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