2011上海市七宝中学高三模拟考试数学试题

?启封前·绝密?

2012年上海市高考模拟试卷理科试卷

一、填空题(本大题满分56分)

1.函数y?log0.5x的定义域为 。?0,1?

2.已知集合A?{(x， y)|x?2y?1?0}， B?{(x， y)|x?2ay?a?0}，若A?B??,则a的值是 。-1

a??0?是单位矩阵，则a?b? . ?1 3.若???lnb1?z24.已知z为复数，若，则(1?i)z? ．22 ?1?2i51（1?)(x?1)4的展开式中x2项的系数为 ．10 5.在

x?x?z?1? y z的三元一次方程组?2x?ysin??3z?2有唯一解，则?的取值的集合 6.若关于x，，2??xsin??z?327．已知地球的半径为R，在北纬45?东经30?有一座城市A，在北纬45?西经60?有一座

城市B，则坐飞机从城市A飞到B的最短距离是 ．(飞机的飞行高度忽略不计)8.已知等差数列{an}的各项均不为零，且公差d?0，若

是 ．{???k???， k?Z}

?3R

an是一个与n无关的常数?， a2n则?? ．0.5

9.已知一随机变量?的分布列如下表，则随机变量?的方差D?? .4.75

? P(?) 0 4 8 1 41 41 2C为曲线??2cos?的对称中心， ?)， B(2， )，10．在极坐标系中，点A(2，则三角形ABC开始 面积等于 ． 3

S?111. 若框图所给的程序运行的结果为S?90，那么判断框中应 k?10，填入的关于k的判断条件是 . k?8(或k?8 ) 是 ?112. 若函数y?f(x)存在反函数y?f(x)，且函数

?2结束 1? 2?) y?f(x)?(arcsinx?arccosx)的图像一定过点 .(，32， (?1.2]??2，有下列命题：①若函数13.用符号(x]表示小于x的最大整数，如(?]?31f(x)?(x]?x， x?R，则f(x)的值域为[?1， 0)；②若x?(1， 4)，则方程x?(x]?有

5?11y?tan?f(x)的图像过点(2,3?)，则函数

63?xS?S?kk?k?1否 输出S 2011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 1 页 共 7 页

y?{，， 3 }，三个根；③若数列{an}是等差数列，则数列{(an]}也是等差数列；④若x，2.则所有正确命题的序号是 .①②④ 914. 设f(x)?cosax?bx?2cx(x?R)，a，， b c?R且为常数。若存在一公差大于0的等差数列{xn}(n?N?)，使得{f(xn)}为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a，， b c的值 .(答案不唯一，一组即可)a?k???(k?Z)， b?0， c?0

则(x]?(y]?2的概率为P?53722

二、选择题：(本题满分20分)

??15.若直线l的一个法向量n?(3， 1)，则直线l的一个方向向量d和倾斜角?分别为( )D

????A.d?(1， 3)；??arctan3 B.d?(1， ?3)；??arctan(?3) ????C.d?(1， 3)；????arctan3 D.d?(1， ?3)；????arctan3 16.在△ABC中，“cosA?cosB?cosC?0”是“△ABC为钝角三角形”的( )A

A.充分必要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

17.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积为( )C y 21?2 B. 22C.2?2 D.1?2 A.1?18.已知数据

O’ 45° x x1， x2， x3， ?， xn是上海普通职工n(n?3， n?N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn?1，则这n?1个数据中，下列说法正确的是( )B

A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

三. 解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤：

19.(本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分)

?BAC?900，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC?1，且异面直线A1B与B1C10A1 所成的角等于60，设AA1?a. C1 (1)求a的值； B1 (2)求直线B1C1到平面A1BC的距离。

??A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，

即?A1BC?60， ??????(2分)

?解：(1)?BC//B1C1，

A B C ??A1BC为等边三角形， ??????(4分)

?由AB?AC?1，?BAC?90?BC?又连接A1C，AB?AC，则A1B?A1C

2，

?A1B?2?1?a2?2?a?1。????(6分)

2011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 2 页 共 7 页

(2)易知B1C1//平面A1BC，又D是B1C1上的任意一点，

所以点D到平面A1BC的距离等于点B1到平面A1BC的距离.?(8分) 设其为d，连接B1C，

则由三棱锥B1?A1BC的体积等于三棱锥C?A1B1B的体积，求d，

133，?A1BC的面积S??，???(10分) ?(2)2?242又CA?A1A,CA?AB,?CA?平面A1B1C，

?A1B1B的面积S?所以

1133，即B1C1到平面A1BC的距离等于。?(12分) ?S?AC??S??d?d?3333

20. (本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)

，， B C的对边，且满足4cos2A?cos2(B?C)?7. b c分别为角A在DABC中， a，，22(1)求角A大小；

(2)若b?c?3，求DABC的面积的最大值. 解：(1)?A?B?C??

∴4cos2A?cos2(B?C)?2(1?cosA)?cos2A??2cos2A?2cosA?3?7，

22∴2cosA-2cosA+21=0． ???????????????(4分) 21o，Q0

29?bc???????(10分)

4\\cosA=?S?ABC?1bcsinA?1?3?3?3?93，

222221693． ??????(14分) 16

21. (本题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分)

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：

所以DABC的面积的最大值为C(x)?k?0?x?10?，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热3x?5层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)?k， 3x?540??2分 3x?5 而建造费用为C1(x)?6x. ??4分 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

由C(0)?8,∴k?40,∴C(x)?2011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 3 页 共 7 页

f(x)?20C(x)?C1(x)?20?(2)f(x)?40800?6x??6x(0?x?10)??6分

3x?53x?5800?6x(0?x?10)，令t?3x?5， t?[5， 35]，则6x?2t?10, 3x?5800800?2(t?5)??2t?10?70，??8分 所以f(x)?tt(当且仅当t?20,即x?5时，不等式等式成立)??10分

800?70.??13分 故x?5是f(x)的取得最小值，对应的最小值为f(5)?6?5?15?5答：当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元. ??14分

22.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)

x2y2c2??1(a＞b＞0)如图，已知椭圆，，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦?a2b2a2点F1， F2为顶点的三角形的周长为4(2?1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P B和C、 D. 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k2?1； (3)是否存在常数?，使得AB?CD??AB·CD 恒成立？若存在，求?的值；若不存在，请说明理由. 解(1)由题意知，椭圆中，

B F1 O y A P C F2 x c2?，得a?2c， D a2222又2a?2c?4(2?1)，所以可解得a?22，c?2，所以b?a?c?4，

x2y2??1；?2分 所以椭圆的标准方程为84所以椭圆的焦点坐标为(?2，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所

x2y2??1．?4分 以该双曲线的标准方程为

44yy(2)设A(x1， k2?0?6分 y1)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，则k1?0，x0?2x0?222因为点P在双曲线x2?y2?4上，所以x0?y0?4.?8分

y0yy?0?20?1 即k1k2?1.?10分 x0?2x0?2x0?4(3)由于PF1的方程为y?k1(x?2)，将其代入椭圆方程得

因此k1k2?(2k12?1)x2?8k12x?8k12?8?0

8k128k12?8由韦达定理得x1?x2? ， x1x2?22k12?12k1?1∴|AB|?1?k|x1?x2|?1?k

21218k128k12?8k12?1?12分 (2)?4?2?4222k1?12k1?12k1?12k2?1同理可得|CD|?42. 22k2?12011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 4 页 共 7 页

2?11112k12?12k2则??(2?2)，又k1k2?1 |AB||CD|42k1?1k2?12?1221112k1?1k122k12?1k12?232∴, ??(2?)?(2?2)?1|AB||CD|42k1?18k1?1k1?18?1k12

故|AB|?|CD|?

即存在??32|AB|?|CD| 832， 使|AB|?|CD|??|AB|?|CD|恒成立．?16分 8

23. (本题满分18分，其中第1小题4分，第2小题6分，第,3小题8分)

一青蛙从点A0(x0,y0)开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是

y0)坐标以已知条件为准)，Sn表示青蛙从点A0到Ai(xi， yi)(i?N?)，(如图所示，A0(x0，y 点An所经过的路程。

… (1) 若点A0(x0， y0)为抛物线y2?2px(p?0)准线上 一点，点A1，A2均在该抛物线上，并且直线A1A2经 过该抛物线的焦点，证明S2?3p.

(2)若点An(xn， yn)要么落在y?x所表示的曲线上，

A2 A0 A1 O x A4 A3 11 ), 要么落在y?x所表示的曲线上，并且A0(，22试写出limSn（不需证明）；

2n???(3)若点An(xn， yn)要么落在y?21?8x?1所表示的曲线上，要么落在y?21?8x?1所表示的曲

线上，并且A0(0， 4)，求Sn的表达式.

p， y0)，由于青蛙依次向右向上跳动， 2pp y0)，A2(， ?y0)，由抛物线定义知：S2?3p 所以A1(，22(2) 依题意，x2n?1?x2n?1， x2n?x2n?1， y2n?y2n?1?x2n?1(n?N*)

解：(1)设A0(?n?? ?4分

limSn?|A0A1|?|A1A2|?|A2A3|?|A3A4|???|A2n?2A2n?1|?|A2n?1A2n|??

?(x1?x0)?(y2?y1)?(x3?x2)?(y4?y3)?(x5?x4)???(x2n?1?x2n)?(y2n?y2n?1)???2(x1?x0)?2(x3?x2)?2(x5?x4)???2(x2n?1?x2n)??

， 1) ?6分 随着n的增大，点An无限接近点(11111横向路程之和无限接近1??，纵向路程之和无限接近1?? ?8分

222211所以 limSn=??1 ?10分

n???22(3)方法一：设点A2k(x2k， y2k)， A2k?1(x2k?1， y2k?1)，由题意，An的坐标满足如下递推关系： 1，，， 2 3 ?)， x2k?1?x2k?2(k?0， 1，，， 2 3 ?) x0?0， y0?22，且y2k?1?y2k(k?0，2011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 5 页 共 7 页

1?8x2k?1?11?8x2k?1其中y2k?1?2∴21?8x2k?1?1， y2k?2?2 ?13分

?21?8x2k?2?11?8x2k?1，即1?8x2k?2?1?8x2k?2，

∴{1?8x2k}是以1?8x0?1为首项，2为公差的等差数列，

4k2?4k∴1?8x2k?1?2k?x2k?，

8n2n?，于是yn?21?8xn?1?2n?2， 所以当n为偶数时，xn?844(k?1)2?4(k?1)又x2k?1?x2k?2?

8n2?4n?31?8xn?1， yn?2?2n?1 ?16分 ∴当n为奇数时，xn?8当n为偶数时，

|A0A1|?|A1A2|?|A2A3|?|A3A4|???|A2k?2A2k?1|?|A2k?1A2k|

?(x1?x0)?(y2?y1)?(x3?x2)?(y4?y3)?(x5?x4)???(x2k?1?x2k?2)?(y2k?y2k?1) ?(x1?x0)?(y2?y0)?(x3?x1)?(y4?y2)?(x5?x3)???(x2k?1?x2k?3)?(y2k?y2k?2)?(x2k?y2k)?(x0?y0) 当n为奇数时，

|A0A1|?|A1A2|?|A2A3|?|A3A4|???|A2k?2A2k?1|?|A2kA2k?1|

?(x1?x0)?(y2?y1)?(x3?x2)?(y4?y3)?(x5?x4)???(y2k?y2k?1)?(x2k?1?x2k) ?(x1?x0)?(y2?y0)?(x3?x1)?(y4?y2)?(x5?x3)???(y2k?1?y2k)?(x2k?1?x2k?1)?(x2k?1?y2k?1)?(x0?y0)

n2nn?2所以，当n为偶数时，Sn?(xn?yn)?(x0?y0)?(??2)?4

84n2?4n?3n?1?2)?4 当n为奇数时，Sn?(xn?yn)?(x0?y0)?(8?n2?4n?3n?1(?2)?4(n为奇数）??8所以，Sn?? ?18分 2?(n?n?2n?2)?4(n为偶数）??84

244668方法二：由题意知A(1， 2)，A(1， 2)，A(3， 2)，A(3， 2)，A(6， 2)，A(6， 2)，? 123456其中A， 22)，A3(3， 24)，A5(6， 26)，A7(10， 28)，? 1(1A2(1， 24)，A4(3， 26)，A6(6， 28)，A8(10， 210)?

观察规律可知：下标为奇数的点的纵坐标为首项为2，公比为4的等比数列。相邻横坐标之差为首项为2，公差为1的等差数列。下标为偶数的点也有此规律。并由数学归纳法可以证明。 ?12分

2n2n?， yn?2n?2 所以，当n为偶数时， xn?84n2?4n?3， yn?2n?1 当n为奇数时，xn?82011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 6 页 共 7 页

n2nn?2当n为偶数时，Sn?(xn?yn)?(x0?y0)?(??2)?4

84n2?4n?3n?1?2)?4 ?16分 当n为奇数时，Sn?(xn?yn)?(x0?y0)?(8?n2?4n?3n?1(?2)?4(n为奇数）??8所以，Sn?? ?18分

2?(n?n?2n?2)?4(n为偶数）??842011年上海高三模拟考试数学答案（理）第 7 页 共 7 页

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