No.3

?物理系_2015_09

《大学物理AII》作业 No.3 波的干涉

班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______

一、 判断题：（用“T”表示正确和“F”表示错误）

[ F ] 1．两列简谐平面波在空间相遇时一定会产生干涉现象。 解：只有满足相干条件的两列波相遇才会产生干涉现象。 [ T ] 2．驻波中，相邻的两个波节之间的距离是?2。 解：P79页：相邻的波腹（或波节）之间的距离为?2。 [ F ] 3．当波在媒质界面反射时，一定会有半波损失。

解：当波在媒质界面反射时，是否会有半波损失，关键看入射波是否是由波疏媒质到波密媒质的界面发生反射，如果是则有半波损失，如果不是，则没有。 [ F ] 4．两列相干波叠加后，合成波的频率将增大。

解：波的叠加本质是振动的叠加。两列相干波的叠加，就相当于在相遇区域内各点在进行同频率振动的叠加，同频率振动合成后仍然是该频率的振动。 [ F ] 5．驻波与行波都能传播能量。

解：行波传播能量，但是驻波的能流密度为0，并不传播能量。

二、选择题：

1. 如图所示，S1和S2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面, 发出波长为?的简谐波。P点是两列波相遇区域中的一点，已知S1P?2?，两列波在P点发生相消干涉。若S1S2P?2.2?，的振动方程为y1?Acos(2?t?S1P1?)，则S2的振动方程为 2

S21?) 21(C)y2?Acos(2?t??)

2(A)y2?Acos(2?t?(B)y2?Acos(2?t??)

(D)y2?Acos(2?t?0.1?)

[ D ]

解：S1和S2在P点发生相消干涉，相位差为

????2??1?2??(r2?r1)?(2k?1)?

2??2?(2k?1)???1??(r2?r1)?(2k?1)??12???(2.2??2?) 2? ?2k??令k??1,则?2??19? 101?。因为 y1和y2在P点发生相消干涉，A2?A1?A， 101所以, S2的振动方程为 y2?Acos(2?t??)?Acos(2?t?0.1?) 故选D

10

2．图示为一沿x轴正向传播的平面简谐波的波形曲线。若要在轴上形成驻波，则另一列波与该列波的关系是 [ D ] (A) 振幅相同，传播方向相反。

y 0 1 2 u 3 4 (B) 振幅相同，频率相同，传播方向相同。

(C) 振幅相同，频率相同，传播方向相反。 (D) 振幅相同沿相反方向传播的相干波。

解：根据驻波形成条件可知选D。

3．某时刻的驻波波形曲线如图所示，则a、b两点振动的位相差是 [ D ] (A)? ，且下一时刻b点振幅会增大为A x y1(B)? ，且下一时刻b点振幅不会增大为A A2O1 (C)?，且下一时刻b点振幅会增大为A

4

(D)0 ，且下一时刻b点振幅不会增大为A a?b2c?x解：a 、b为驻波相邻的两个波节之间的点，则据驻波规律知：振动相位相同，位相差为0。 所以选D

?24．在弦线上有一简谐波，其表达式是y1?2.0?10cos[2π(t/0.02?x/20)?π/3](SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在x?0处为一波腹，此弦线上还应有一简谐波，其表达式为： [

] (A) y2?2.0?10cos[2?(t/0.02?x/20)??/3](SI)

(B) y2?2.0?10cos[2?(t/0.02?x/20)?2?/3](SI) (C) y2?2.0?10cos[2?(t/0.02?x/20)?4?/3](SI) (D)y2?2.0?10cos[2?(t/0.02?x/20)??/3]解：据驻波形成条件可设另一简谐波的波动方程为：

?2?2?2?2

(SI)

[ A ]

y2?2.0?10?2cos[2?(由题意，x?0处为波腹，则??tx?)??2] 0.0220??2??1??2??3?0，所以

?2??1 3y2?2.0?10?2cos[2?(tx1?)??] 0.02203 故选A

5. 若在弦上的驻波表达式是y?0.20sin(2?x)cos(20?t)（S I）。则形成该驻波的

两个反向行进的行波为：

11?] y2?0.10cos[2?(10t?x)??]22?3(B)y1?0.10cos[2?(10t?x)?] y2?0.10cos[2?(10t?x)??]4411(C)y1?0.10cos[2?(10t?x)??] y2?0.10cos[2?(10t?x)??]2233(D)y1?0.10cos[2?(10t?x)??] y2?0.10cos[2?(10t?x)??]44?解: 对(C) y?y1?y2?0.20cos(2?x?)cos(20?t)?0.20sin(2?x)cos(20?t)

2[ C ] (A)y1?0.10cos[2?(10t?x)?

三、填空题：

1. S1,S2为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直

(SI ) (SI )(SI )(SI)

13纸面，两者相距?(?为波长)如图。已知S1的初相位为?。

52(1) 若使射线S2C上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则

M?S1N?S2?CS2的初位相应为：

17?3?或者-。

1010(2) 若使S1S2连线的中垂线M N上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则

S2

的初位相应为：

3?/22?或者

-?/2。

解：(1) 在S2外侧C点，两列波的相位差为：

????2??1??(r2?r1)3?6(??)??2?????2k?1??2?525

317当k?0??2??,若k??1,?2?-?1010??2??

(2) 在S1S2中垂线上任一点，若产生相消干涉，则

?2???2k?1??

?2当k?0??2?3?/2,若k??1??2???/2 ????2??1?(r2?r1)??2?

2. 设入射波的表达式为y1?Acos2?(vt?为固定端，反射波的波函数为y2??x?)。 波在x = 0处发生反射，反射点

x??)或

2?Acos(2?vt?2??y2?Acos(2?vt?2?x???)，形成的驻波表达式为

y?2Acos(2?x/??11?)cos(2?vt??) 22。

11或y?2Acos(2?x/?＋?)cos(2?vt??)22 解：

y1?Acos(2?vt?2?x?),入射波在反射点x = 0处引起的振动为：

y1o?Acos2?vt，由于反射点为固定端，则反射波在x = 0处有半波损失， 所以反射波在反射点引起的振动为：

y2o?Acos?2?vt???

反射波的波函数为：

y2?Acos(2?vt?2?x???)

x合成驻波方程为：y?y1?y2?2Acos(2?

或者：将反射波写为为：y2???2)cos(2?vt??2)

?Acos(2?vt?2?xx????)

合成驻波方程为： y?y1?y2?2Acos(2?

?2?)cos(2?vt??2)

3． 图示一平面简谐机械波在t时刻的波形曲线。若此时A点处媒质质元的振动动能在增大，则 A点处媒质质元的振动势能在 增大 ，B点处媒质质元的振动动能在 增大 ，振动势能在 增大 。(填增大、减小、不变)。

解：A点处媒质质元的振动动能在增大，弹性势能必然也增大；说明A处质元正向平衡位置运动，说明A处质元的前一质元在其右边，那么波必然往x轴负方向传播；可判定B处质元此刻应向着上方即平衡位置运动，那么气振动动能和势能都会增加。

4．两相干波源S1和S2的振动方程为y1?Acos?t和y2?Acos(?t?3个波长，S2距P点

1π)。 S1距P点221个波长。则两波在P点引起的振动的相位差的绝对值是_4π___。 42?(r2?r1)?12?21??0?(??3?)??4? 2?4解：两相干波在P点的相位差为：

????2??1?????4?

5．一简谐波沿Ox轴负方向传播，图中所示为该波t时刻的波形图，欲沿Ox轴形成驻波，且使坐标原点O处出现波节，在另一图上画出另一简谐波t时刻的波形图。

y u A xO

批改该题时注意：不仅波形要正确，波的传播方向也必须要标出来。

解：设向负方向传播的波的波动方程为

x??y1?Acos??t?2???1?

???t时刻x＝0处质点振动状态为 y10?0,v0?0

?由旋转矢量图有 ?t??1??

2

t时刻负方向传播的波引起的各处质点振动位移为

?O?AyA ??2x???y1t＝Acos?2???

?2??x欲形成驻波，向正方向传播的波的波动方程应为

x??y2?Acos??t?2???2?

???uxO

t时刻正方向传播的波引起的各处质点振动位移为

x???（1） y2t?Acos??2???2??1??

?2?????1??x?1??2??而驻波方程为 y?y1?y2?2Aco?s2???sin??t?2?

2??2??????2?? t时刻坐标原点O处出现波节，则 x＝0，y0?0，即有122x3??x3????代入（1）有： y2t?Acos??2????Acos?2???

?2?2????由此方程式可画出t时刻的波形如右上图所示。

四、计算题：

1. 如图，一圆频率为?、振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播，设在 t = 0时刻该波在坐标原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动。M是垂直于x轴的波密媒质反射面。已知OO'?7?/4，PO'??/4 (?为该波波长)；设反射波不衰减，求：

（1）入射波的波动方程； （2）反射波的波动方程； （3）P点的振动方程；

（4）x轴上干涉静止点的位置。 解：(1) 设O点的振动方程为

OyMO?Pxy0?Acos(?t??0),

?2，而

有两种方法可以求O点的初相?0 方法一 ：由初始条件来确定 由题意知

y0?Acos?0?0?cos?0?0??0???0??A?sin?0?0?sin?0?0??0??初相）

方法二 用旋转矢量法来定初相： 根据已知条件，作

?2（求出O点的

旋转矢量图:

由图知：

??0?

2y0?Acos(?t?x?2则O点的振动方程为 入射波的波动方程为

),

7y1?Acos(?t?2??)(x??)

?24?

（2）入射波在反射点O?引起的振动方程为

yo??Acos(?t?2??

这里，写成yo?7?/4??)?Acos(?t??)2??Acos?(t??) 也算正确。

在O?点反射时，因是波密媒质反射面，故有半波损失， 反射波在反射点O?引起的振动方程为

y2o'?Acos?t反射波波动方程为

2???y2?Acos[?t?(x?xo')]?Acos??t?(x?7?)?4????2???Acos(?t?x?)?2

(3) 求P点的振动方程； 方法一：

合成波的波动方程为

2?y?y1?y2?Acos(?t?

2??x??2)?Acos(?t?2??x??2)2?x??2Acoscos?(t?)

?26?OP?将P点坐标

4代入上式，得P点振动方程

????y??2Acos(?t?)?2Acos??t??

22??方法二：

入射波在P点引起的振动为：

y1P?Acos(?t?

2?6?5?????)?Acos(?t?)?Acos(?t?)?4222反射波在P点引起的振动为：

那么P点的合振动方程为：

2?6?7??y2P?Acos(?t????)?Acos(?t?)?Acos(?t?)?4222yP?y1P?y2P?2Acos(?t?)

2(4)

?x轴上干涉静止点的位置。

方法一：该方法数学计算比较繁琐，容易出错。 合成波的波动方程为

y?y1?y2?Acos(?t?

2??x??2)?Acos(?t?2??x??2)2?x??2Acoscos?(t?)

?2干涉静止点即：2Acos2?x??0?cos2?x7?x??2k?1?,?x??,k?3,2,1,0?

44???0?2?x???2k?1??2

753x??,?,?...

444方法二：该方法计算简洁，不易出错。

7y?Acos(?t?2??)(x??)

入射波的波动方程：1?24反射波的波动方程：

x?y2?Acos(?t?2??x??2)

2????2?????????t?x?????t?x???2???2?? （干涉相消的条件）

4??x??2k?1??

?22．一弦上的驻波方程式为y?3.00?10(cos1.6?x)cos550?t（2）求相邻波节之间的距离；

?7?x??2k?1?,?x??,k?3,2,1,0?

44753x??,?,?...

444?(SI)。

（1）若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成,求两列波的振幅及波速；

?3（3）求t?3.00?10s时，位于x?0.625m处质点的振动速度。

?2解：(1) 将y?3.00?10(cos1.6?x)cos550?t与驻波方程

?3.00?10?21.50?10?2(m) 两波的振幅A?2波长??1.25(m)，频率v?275(Hz)

?1波速u????1.25?275?343.8(m?s)

(2) 相邻两波节间的距离?x?(3) 质点的振动速度v?y?2Acos(2?x)cos(2?vt)相比可得：

1??0.625(m) 2?y?3.00?10?2?550?(cos1.6?x)[?sin(550?t)] ?t?3将t?3.0?10,x?0.625，代入上式，得

v??y?3.00?10?2?550?(cos1.6??0.625)[?sin(550??3.00?10?3)]?t ??46.2(m?s?1)

tx?)] (SI) 0.0543. 一列横波在绳索上传播，其表达式为 y1?0.05cos[2?( (1) 现有另一列横波（振幅也是0.05 m）与上述已知横波在绳索上形成驻波．设这一横波在x = 0处与已知横波同位相，写出该波的表达式；

(2) 写出绳索上的驻波表达式；求出各波腹的位置坐标；并写出离原点最近的四个波腹的坐标数值。

解：(1) 由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为x轴

的负方向．又知 x = 0处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为 y2?0.05cos[2?( (2) 驻波表达式 y?y1?y2

∴ y?0.10cos(tx?)] 0.0541?x)cos(40?t) (SI) 2波腹位置由下式求出． πx/2?kπ k = 0，±1，±2，?

∴ x = 2k k = 0，±1，±2，?

离原点最近的四个波腹的坐标是 x = 2 m、-2 m、4 m、-4 m.

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