浙江省2013届高三10月阶段考试数学文试题

2013届高三10月阶段性测试

数学（文）试题

一、选择题（本大题共10 小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是 符合题目要求的） 1．若A为全体正实数的集合，B???2,?1,1,2?，则下列结论正确的是

A．A?B??2,?1? C．A?B?(0,??)

?B．(CRA)?B?(??,0) D．(CRA)?B??2,?1?

?2．函数y?log1x?1的单调递增区间为

2

A．(?1,??)

B．(??,?1)

C．(??,?1)?(?1,0) D．(??,?1)?(?1,??)

3．“x?2k??

?4?k?Z?”是“tanx?1”成立的

B．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件

A．充要条件 C．充分不必要条件

4．函数y?1的定义域为

log0.5(4x?3)B．（

A．（ +∞）

3,1） 43,∞） 4C．（1，+∞） D．（

3,1）∪（1，45．设a?lge,b?(lge)2,c?lge,则

A．a?b?c B．a?c?b C．c?a?b D．c?b?a

6．设

abc?0,二次函数

f(x)?ax2?bx?c的图像可能是

1

7．设函数f(x)?g(x)?x2，曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y?2x?1，则

曲线y?f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为

A．4

B．?1 4C．2 D．?1 28．定义在R上的函数f(x)满足f(x)??

A．?1

x?0?log2(4?x),，则f(3)的值为

?f(x?1)?f(x?2),x?0C．1

D．2

B．?2

9．设定义在区间(?b,b)上的函数f(x)?lg1?axb是奇函数（a,b?R,a??2），则a的1?2x取值范围是

A．1,2

???2?,2? B．?2??C．(1,2) D．(0,2)

10．关于x的方程x?1?x?1?k?0，给出下列四个命题：

?2?22①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k，使得方程恰有4个不同

的实根； ③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k，使得方程恰有8个不同

的实根； 其中假命题的个数是

（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．2lg5?lg4?eln2?log222? ；

212．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?x?2x?m（m为常数），则

f(?1)? ；

2

13．已知集合A?xlog2x?2,B?(??,a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c,??)，

其中c= ； ??14．函数y?x1??1??（ x???1,?????,2? ）的值域是 ； 2x?12??2??1）交于两点（2,5），315．函数y??kx?a?b的图象与y?kx?c?d的图象（k?0且k?（8,3），

则a?c的值等于 ；

32

16．已知函数f(x)?x?2x?ax?1在区间(?1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范

围

是 ；

?17．已知f(x)?log4(44x),x?R，定义[x]表示不超过x的最大整数，则函数21?xy?[f(x)]的

值域是 。

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题满分14分）

设全集是实数集R，A?x2x2?7x?3?0,B?xx2?a?0， （1）当a??4时，求A?B和A?B； （2）若(CRA)?B?B，求实数a的取值范围。

19．（本题满分14分）

2设二次函数f(x)?x?ax?a，方程f(x)?x?0的两根x1和x2满足0?x1?x2?1．

????（1）求实数a的取值范围； （2）试比较f(0)f(1)?f(0)与

1的大小．并说明理由． 16 3

20．（本题满分14分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y?13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙两

12800080地相距100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 21．（本题满分15分）

已知函数f?x???13x?2ax2?3a2x?b, (a,b?R) 3（1）当a?3时, 若f?x?有3个零点, 求b的取值范围；

（2）对任意a?[,1], 当x??a?1,a?m?时恒有?a?f??x??a, 求m的最大值, 并

求此时f?x?的最大值。

45 4

22．（本题满分15分）

已知函数f(x)?2?11?2，（a?R且a?0）。 aax（1）设mn?0，令F(x)?af(x)，试判断函数F(x)在[m,n]上的单调性并证明你的

结论；

f(x)的定义域和值域都是[m,n]，求n?m的最大值； （2）若0?m?n且a?0时，（3）若不等式|a2f(x)|?2x对x?1恒成立，求实数a的取值范围；

5

参考答案

1．D 2．B 3．C 4．A 5．B 6．D 7．A 8．B 9．A

10．A

11．7 12．－3 13．4 14．???,???1,??? 15 ．10 16．[–1，7）

5??2??17．{0,1}

18．解：A中：2x?7x?3?0，得

21?1??x?3，即A??,3?，-----------------1分 2?2?2（1） a??4时，B中x?4?0得?2?x?2，B?(?2,2)，----------------2分

?1??A?B??,2?,--------------------------------------------------------------------4分

?2?A?B???2,3?。--------------------------------------------------------------6分

（2）若(CRA)?B?B，则B?(CRA)，--------------------------------------8分 由题意得CRA?(??,)?(3,??)

1当a?0时，B??，符合B?(CRA)；---------------------------------10分 ?○

2当a?0时，B?(??a,?a)，由B?(CRA)得?a?○

分

综合○1，○2得a???

19、解法1：（Ⅰ）令g(x)?f(x)?x?x?(a?1)x?a，

21211，从而??a?0； ----1224?1?,???----------------------------------------------------------------------------14分 ?4? 6

???0，?1?a?a?0，??1，??0?则由题意可得??0?a?3?22． ???1?a?1，2??g(1)?0，?a?3?22，或a?3?22，???g(0)?0，故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．----------------------------------------------------------7分 （II）f(0)?f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，令h(a)?2a2．

?当a?0时，h(a)单调增加，?当0?a?3?220?h(a?)h(?32?22)??时，

2(3? 2?2)2(17122)111)?(0f)?2??，即f(0)?f(1617?122解法2：（I）同解法1．

1．---------------------------------------------14分 16（II）?f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?2a2，由（I）知0?a?3?22， 于是 ∴42a?1?122?17?0．又42a?1?0，111?(32a2?1)?(42a?1)(42a?1)?0， 161616112?0，故f(0)f(1)?f(0)?． 即2a?16162a2?2解法3：（I）方程f(x)?x?0?x?(a?1)x?a?0，由韦达定理得

???0，?x?x?0，12?? x1?x2?1?a，x1x2?a，于是0?x1?x2?1??x1x2?0，?(1?x)?(1?x)?0，12???(1?x1)(1?x2)?0?a?0，??0?a?3?22． ??a?1，??a?3?22或a?3?22故所求实数a的取值范围是(0，3?22)．

7

（II）依题意可设g(x)?(x?x1)(x?x2)，则由0?x1?x2?1，得

f(0)f(1)?f(0)?g(0)g(1)?x1x2(1?x1)(1?x2)?[x1(1?x1)][x2(1?x2)]

11?x?1?x1??x2?1?x2?f(0)f(1)?f(0)?，故． ??1????1622????16

20．解：（1）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了要耗油(22100?2.5小时， 4013?403??40?8)?2.5?17.5（升）。-------------------------6分

12800080答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17．5升。

100小时，设耗油量为h(x)升， x131001280015x3?x?8).?x??(0?x?120), 依题意得h(x)?(12800080x1280x4（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

x800x3?803h'(x)???(0?x?120).

640x2640x2令h'(x)?0,得x?80.

当x?(0,80)时，h'(x)?0,h(x)是减函数； 当x?(80,120)时，h'(x)?0,h(x)是增函数。

?当x?80时，h(x)取到极小值h(80)?11.25.

因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值。

答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11．25升。

------------------------------------------------------------------------------14分

21．f??x???x?4ax?3a……（1分）

22（1） a?3, f??x????x?3??x?9?, f?x?极小值?f(3)??36?b, f?x?极大值

?f(9)?b

8

-----------------------------------------------------------------------------------（4分） 由题意: ??b?0 ?0?b?36------------------------------- 6分

?36?b?0??4???（2）a??,1?时,有2a?a?1?2, 由f??x?图示, f??x?在?a?1,a?m?上为减函数

5?f??a?m??f??a?1? 易知f??a?1??2a?1?a必成立；

只须f??a?m???a 得

12m?1? 2am2?4?a??,1? 可得??m?2--------------------------------------------------------11分

5?5?又m?1 ?1?m?2 m最大值为2 ------------------------------------12分 此时x??a?1,a?2?, 有2a?a?1?3a?a?2

?f?x?在?a?1,3a?内单调递增，在?3a,a?2?内单调递减，

?f?x?max?f?3a??b ------------------------------------------------------------15分

22．（本题满分15分） 解：方法一：

（1）证明：任取x1,x2?[m,n],且x1?x2，F(x2)?F(x1)?a[f(x2)?f(x1)]?当a>0时，F(x2)?F(x1)?0，F（x）在[m,n]上单调递增；

当a<0时，F(x2)?F(x1)?0，F（x）在[m,n]上单调递减……………5分 方法二：F(x)=af(x)=2a+1-'1x2?x1

ax2x1111'（x）=,则F 2axax（x）?0，F（x）在[m,n]上单调递增； 当a>0时，F（x）?0，F（x）在[m,n]上单调递减……………………………5分 当a<0时，F（2）由（1）知函数af（x） 在[m,n]上单调递增；因为a>0所以f（x）在[m,n]上单调递

' 9

增，f（x）的定义域、值域都是[m,n],则f（m）=m,f（n）=n,即m,n是方程2?11?2?xaax的两个不等的正根，等价于方程a2x2?(2a2?a)x?1?0有两个不等的正根，等价于

12a2?a1且xx??0a??0 ,则, ??(2a?a)?4a?0且 x1?x2?1222a2a22?n?m?14a2?4a?3? a121613?3(?)2?,a?(,??),?a?时，n?m最

22a33大值是43………………………10分 312,则不等式|af(x?)|x对2xx?1恒成立，即

22（3）af(x)?2a?a?2?2x?2a1?a?x122a?a?2x???x?12?x即不等式2a2?a??2x?x?,对x?1恒成立,

112x?g(x)??2x[1,??)递减。[1,??)令h（x）=,易证h（x）在递增，同理xx?h(x)min?h(1)?3,g(x)max?g(1)??1

???2a2?a?323???a?1…………………………………………………15分 2a?a??12?3??a?0,?a???,0???0,1?。

?2? 10

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