衡水金卷2018届高三四省第三次大联考数学(理)试题Word版含答案

2018届四省名校高三第三次大联考

理数

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数z满足，则z的虚部为（ ） （1-i)z?i(i为虚数单位）A．-1111 B． C．?i D．i 22222.某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，若该几何体的体积为144cm3，则d?（ ）

A．14cm B．13cm C．12cm D．11cm

23.设集合M?x?R0?x?2,N?x?R2x?x,则（ ）

????A．?x?N,x?M B．?x?M,x?N C．?x0?N,x0?M D．?x0?M,x0?N

4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包量成等差数列，且较大的三份之和的问最小的一份为（ ） A．

1等于较小的两份之和，7510511 B． C. D． 33665.对任意实数x有(a?x)(x?1)5?a0?a1x?a2x2?...?a6x6,若a2?a0?23,则a?（ ） A．2 B．?2 C.

2328 D．-

119y2222的两部分，6.双曲线x?2?1(b?0)的一条渐近线截圆x?y?4y?0为弧长之比是1：b2 1 / 13

则双曲线的离心率等于（ ）

A2． B．3 C.2 D3

7.阅读如图所示的程序，若运行结果为35，则程序中a的取值范围是（ ）

（6，7）A． （6，7] B．（6,7) C.[6,7) D．

8.设3?2,y?1n2,z?5x?1z，则（ ）

A．x?y?z B．y?z?x C.z?x?y D．z?y?x 9.设函数f(x)?2cos(3x??)(0????),f'(x)为f(x)的导函数，若函数

g(x)?f(x)?f'(x)的图像关于远点对称，则cos??（ ）

A.-1133 B．? C. D． 222210.近年来,由于大学生不理智消费导致财务方面的新闻层出不穷，无力偿还校园贷，跳楼自杀也偶有发生，一时间人们对大学生的消费观充满了质疑.为进一步了解大学生的消费情况，对S城某大学的10000名(其中男生6000名,女生4000名)在校本科生.按性别采用分层抽样的方式抽取了1000名学生进行了问卷调查，其中有一项是针对大学生每月的消费金额进行调查统计.通过整理得到如图所示的频率分布直方图.已知在抽取的学生中,月消费金额超过2000元的女生有150人，根据上述数据和频率分布直方图,判断下列说法i正确的是（ ）

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参考数据与参考公式:

P(K2?k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 22.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 n(ad?bc)2K?,其中n?a?b?c?d.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)A．月消费金额超过2000元的女生人数少于男生人数 B．所调查的同学中月消费金额不超过500元的共有4人 C．样本数据的中位数约为1750元

D．在犯错的概率不超过0.1%的情况下认为月消费金额在2000元以上的大学生与性别有关 11. 如图，已知抛物线E:y2?4x的焦点为F,准线l与x轴交于K点，过点K的直线m与抛物线E相交于不同两点A,B,且AF?3,链接BF并延长交准线l于C点，记?ACF与2?ABC的面积分别为S1,S2,则

S1?( ) S2

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A．

4427 B． C. D． 75310ex(e为自然数）12.设函数f(x)?，g(x)?x?1nx,有下列命题： x①f(x)有极小值f(1)?e;

②?x0?(0.??).使得不等式f(x0)?g'(x0)?2'(g(x)为g(x)的导函数）成立， x0③若关于x的方程f(x)?t?0无解，则t的取值范围为?0，e);

④记F(x)?f(x)??g(x)，若F(x)在x?(,2)上有三个不同的极值点，则?的取值范围为

12(e,2e).

其中真命题的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C.3个 D．4个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

x?1,??13.若变量x,y满足约束条件?x?y?0,z?2x?y,则z的最小值为 ．

?3x?2y?5?0.?14.设?an?为等比数列，Sn 为其前n项和，若a6?2a3，则

S6? ． S315.已知直线三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC?A1B1C1各项点都在同一球面上，且

?AB?AC?AA1,?BAC?120,若此球的表面积等于20?，则AB? ．

1416.如图，在?ABC中，已知BD?DC,P为AD上一点，且满足CP?mCA?CB,若

29?ABC的面积为3，?ACB?????????????????3???,则CP的最小值为 ．

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三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知函数f(x)?2cosx(cosx?3sinx). （1）当x?????247??时，求f(x)的值域； 12??（2）在?ABC中，若f(B)??1,BC?3,sinB?3sinA.求?ABC的面积， 18.在如图所示的几何体中，EA?平面ABCD为等腰梯形，AD//(1)证明：AB?CF;

1AC. 2(2)当二面角B?EF?D的余弦值为

10时，求线段CF的长， 10

19. 2018年6月14日,第二十一届世界杯足球赛将在俄罗斯拉开帷幕.某地方体育台组织球迷对德国、西班牙、阿根廷、巴西四支热门球队进行竟猜,每位球迷可从四支球队中选出一支球队,现有三人参与竟猜.

(1)若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的,求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率;

(2)若三人中有一名女球迷,假设女球迷选择德国队的概率为

1,男球迷选择德国队的概率为32，记?为三人中选择德国队的人数,求?的分布列和数学期望. 520. 如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0),过直线l:x?2左侧的动点P作PH?l于

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点H.?HPF的角平分线交x轴于点M,且PH?（1）求曲线?的方程；

2MF.记动点P的轨迹为曲线?，（2）过点F作直线m交曲线?于A,B两点，点C在l上，且BC//x轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由.

21. 设函数f(x)?(x?1)1nx?a(x?1)(a?R). （1）当a?1时，求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)?0对任意x??1,??)恒成立，求实数a的取值范围；

（0，）（3）当??时，试比较1n(tan?)与tan(??2?12?4)的大小，并说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中.曲线C的极坐标方程为??6sin?.点P的极坐标为(2,点，极轴为x轴正半轴.建立平面直角坐标系， (1)求曲线C的直角坐标方程和点P的直角坐标;

(2)过点P的直线l与曲线C相交于A,B两点.若PA?2PB,,求AB的值. 23. 选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)?2x?a?2x?1,g(x)?（1）当a?3时，解不等式f(x)?6;

（2）若对任意x1??1,?.都存在x2?R，使得g(x1)?f(x2)成立，求实数a的取值范围，

2

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?4).以极点为坐标原

6x?5. 2x?1?5???2018届四省名校高三第三次大联考理数参考答案

一、选择题

1-5:BCBAB 6-10:CACDD 11、12：CC 二、填空题

13. ?3 14.3 15. 2 16.43 三、解答题

17，解：(1)f(x)?2??3sin2x?1(cos2x?1)??22?

??2sin(2x??6)?1.

x?????24,7??12??.

?2x??6?????4,4??3??. 当2x???6?2，即x??6时，f(x)取得最大值3；

当2x??4?6?3.即x?7?12时，f(x)取得最小值1?3，故f(x)的值域为?1-3，3?.

（2）设?ABC中A.B.C所对的边分别为a,b,c.

?f(B)??1,?sin(2B??6)??1. 0?B??,即

??6?2B??6?2??6.

?2B??6?32?,得B?23?. 又?BC?3.即a?3,sinB?3sinA,即b?3a,?b?3. 由正弦定理得

asinA?bsinB.解得sinA?12. 0?A??3.?A??6.?C??

6.?S?ABC?12absinC?12?3?3?1332?4. 18.解：（1）由题知EA?平面ABCD,

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BA?平面ABCD,

?BA?AE.

过点A.作AH?BC于H点，在Rt?ABH中，?ABH?60?,BH?12,得AB?1. 在?ABC中，

AC2?AB2?BC2?2AB?BCcos60??3. ?AB2?AC2?BC2,

?AB?AC,且AC?EA?A.

?AB?平面ACFE.

又?CF?平面ACFE,?AB?CF.

(2) 以A为坐标原点，AB.AC.AE分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AE?a(a?0),

则B(1.0.0).E(0.0.a).F(0.32.a).D(?12.32.0). ????????????BE?(?1.0.a).BF?(?1.313?12.a).DE?(2,?2,a).DF?(2.0.a).

设n?(x,y,z)为平面BEF的一个法向量，

??????x?az?则??n?BE0.?????n?BF??x?32y?az?0. 令x?a.得n?(a.0.1).

同理可求得平面DEF的一个法向量m?(2a.0.?1).

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m?n?cosm.n??mn2a2?1a2?1?4a2?1?10. 10化简得4a4?5a2?1?0， 解得a?1或a?1， 21舍去，?a?1. 2?二面角B?EF?D为锐二面角，经验证a?作FM?AC于M点，则M为AC中点，

?CF?FM2?CM2?7. 219.解: (1)设恰好有两支球队被人选择为事件A.由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支,有4种不同选择.

22每种选择可能性相等.故恰好有两支球队被人选择有C3A4种不同选择， 2C32A49?. 所以P(A)?34163(2)由题知??0.1.2.3.且P(??0)?2326?()?. 35251322338111P(??1)??()2??C2?????.

35355252525123224841P(??2)??C2????()2???.

35535257515124P(??3)??()2?.

3575??的分布列为

? P 0 6 251 2 3 4 7511 254 15?E(?)?0?6114417?1??2??3??. 252515751520.解：（1）设P(x,y).由题可知MF?PF.

所以

PFPH?MFPH?2. 2 9 / 13

即

(x?1)2?y22x2x?2?2.化简整理得2?y2?1. 即曲线?的方程为x22?y2?1. (2)法一：由椭圆对称性知，直线AC经过x轴上一定点，记为点N, 当直线m的斜率不存在时，A(1.22),B(1.?22).C(2.?22).得N(32.0).

下证明直线AC恒过点N(32.0). 当直线m的斜率存在时， 设直线m的方程为y?k(x?1).

?y?k(x?1).由??x2?2 ?2?y?1.得(1?2k2)x2?4k2x?2(k2?1)?0.??0恒成立， 记A(x1.y1).B(x2.y2).则C(2.y2).

?x4k22(k2?1)1?x2?1?2k2?x1x2?1?2k2. 由x1?2得x1?32?0. ?直线AN.CN的斜率分别为kk(x1?1)AN?y1.ky2x3?22xCN?1?1?322?3?2k(x2?1).2?k1)(2x1?3)AN?kCN?2k(x1?1)?(x2?2x.

1?3(x?1)(2x

1?1)?(x21?3)?3(x1?x2)?2x1x2?4

?11?2k2??12k2?4(k2?1)?4(1?2k2)???0. ?kAN?kCN?0.即kAN?kCN.即A.N.C三点共线，

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