反常积分与级数 2(1)

第九章 反常积分

前面讨论的定积分，事实上有两个前提：积分区间是有限的；被积函数是有界的.但实际问题常常要突破这两个前提,要求我们将函数f(x)在区间?a,b?上的定积分

?baf(x)dx从

不同方面予以推广.例如，将区间?a,b?推广到无限区间???,b?,?a,???,???,???，就有无限区间的反常积分，简称无穷积分；将区间?a,b?的有界函数f(x)推广到无界函数，就有无界函数的反常积分，简称瑕积分.将被积函数由一元函数推广到多元函数就有含参变量积分，等等.

第一节 无穷积分的性质与敛散性的判别

一、无穷积分的概念 引例 求曲线y?1和直线x?1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积. 2x解: 在区间?1,???中任取一点b,那么由x轴、 曲线y?1及直线x?1与所围图形的 x2面积是可以用定积分计算的， 即

F(b)??很自然，把极限

b1dx1?1? 2bxlimb???1F(b)?lim(1?)?1

bb?????当作所求曲边梯形的面积，写作

S??11dx 2x由此可得一般的无穷积分的概念.

定义1 设函数f(x)在区间?a,???连续,任取t?a,则称极限

lim?t???taf(x)dx

为函数f(x)在区间?a,???上的反常积分(无穷积分).记作

???af(x)dx,即

?若此极限存在,称无穷积分散. 发散时仍用记号

??af(x)dx=limt????taf(x)dx

?????af(x)dx收敛. 若此极限不存在,则称无穷积分?af(x)dx发

???af(x)dx表示,但它不表示任何数.

类似可定义函数f(x)在???,b?上的无穷积分为

???b??f(x)dx?limt????btf(x)dx

定义函数f(x)在???,???上的无穷积分为

?否则称无穷积分

??f(x)dx??f(x)dx????c??cf(x)dx

其中c为任意常数.当且仅当上式右端的两个无穷积分都收敛时,称无穷积分

?????f(x)dx收敛,

?????f(x)dx发散. 根据积分区间可加性，不难证明，上式的右端与数c无关.

为了方便常取c=0.

设F(x)是f(x)的一个原函数,并记

F(??)?limF(x), F(??)?limF(x)

x???x???则无穷积分可表示为

????abf(x)dx=F(x)??a?F(??)?F(a)

???f(x)dx=F(x)b???F(b)?F(??)

????????f(x)dx=F(x)?F(??)?F(??)

即得到了与牛顿-莱布尼茨公式相似的表达式,所不同的是F(??)与F(??)是一种极限运算,当极限存在时, F(??)与F(??)表示极限值,当极限不存在时F(??)与F(??)只是记号,不表示数值.因此无穷积分的敛散性,取决于极限F(??)与F(??)是否存在. 显然,求无穷积分的基本思路是:先求定积分,再取极限.

例1 计算下列无穷积分

（1）

??????11?x?x2dxedxxedx （2） （3） （4）???1?x2?ex(lnx)2dx ?0?0??解: （1）

1???1?x2dx=arctanx??????=limarctanx?limarctanx

x???x???=

（2）（3）

??(?)?? 22?x0=lim(?e)?e=1 x????????0??e?xdx=?e?xxe?x2??00dx=?12???0e?x21?x2?ed(?x)=22??01?x211lim(?e)+= =

x???222（4）

???e111==dxdlnx??e(lnx)2x(lnx)2lnx????e=lim11?=1

x???lnxlne例2 判别无穷积分解: 当p?1时，有

???a1dx的敛散性（a>0） px???a11?p1dxx=

1?pxp???a1?p,??p?1???a????,p?1

p?1当p?1时，有

?于是，当p?1时，无穷积分

??a??1dx?lnxx??a???

?a1a1?pdx收敛，无穷积分（的值）是； xpp?1当p?1时，无穷积分

???a1dx发散. xp例3 判别无穷积分

???2dx的敛散性

x(lnx)p解：当p?1时，有

???2??dlnxdx1=?x(lnx)p?2(lnx)p(1?p)(lnx)p??1?,p?1?(p?1)(ln2)p?1 ???2p?1???,当p?1时，有

???2dxdlnx=?ln(lnx)p?2x(lnx)lnx??????? 21； p?1(p?1)(ln2)于是，当p?1时，无穷积分收敛，无穷积分（的值）是

当p?1时，无穷积分发散.

在上述三例中,无论是求无穷积分的值还是判别无穷积分的敛散性,都是首先求出被积函数的原函数,然后再取极限.显然用这种方法只有被积函数存在初等函数的原函数才

是可行的.如果被积函数的原函数不易求出或不是初等函数,上述方法不能使用.因此,要进一步讨论判别无穷积分敛散性和求无穷积分值的方法.

二、无穷积分的性质

下面讨论的无穷积分总是假设函数f(x)在区间?a,???有定义，且对于任意

p?R,p?a,函数f(x)在?a,p?上可积.

由无穷积分的定义,无穷积分

???af(x)dx收敛?当p???时,函数

paF(p)??f(x)dx存在极限.于是,无穷积分也有柯西收敛准则:

定理1 (柯西收敛准则) 无穷积分

(a?p)

???af(x)dx收敛的充分必要条件是:对于任给正数

?,存在A?a,当p1，p2?A 时，有

?推论1 若无穷积分

p2p1f(x)dx??.

???af(x)dx收敛，则limp??????pf(x)dx?0

证明：根据定理1，???0,?A?a,?p?A与q?A，有

?令q???,即

qpf(x)dx??. f(x)dx??.

??lim?q???qpf(x)dx??或???p推论2 若无穷积分

???af(x)dx收敛,则无穷积分?af(x)dx也收敛.

证明: 根据定理1，???0,?A?a,?p?A与q?A，有

?从而,有

p2p1f(x)dx??

p2?即无穷积分

p2p1f(x)dx??p1f(x)dx??

???af(x)dx收敛.

推论3 无穷积分读者自证.

???af(x)dx收敛??b?a,无穷积分???????bf(x)dx也收敛.

定理2 若无穷积分

?af(x)dx收敛,则无穷积分?cf(x)dx也收敛,

a其中c是常数,且

?定理3 若无穷积分

??a??cf(x)dx=cf(x)dx与

???a??f(x)dx

g(x)dx都收敛，则无穷积分

?a?a??f(x)?g(x)?dx

a??也收敛，且

??f(x)?g(x)?dx=?a????af(x)dx????ag(x)dx

x???定理4 若函数f(x)与g(x)在区间?a,???上存在连续导数，极限limf(x)g(x)存在，且无穷积分

?a??af?(x)g(x)dx收敛，则无穷积分?x?????af(x)g?(x)dx也收敛，有

??a?或

??f(x)g?(x)dx=limf(x)g(x)—f(a)g(a)??f?(x)g(x)dx

???a?f(x)dg(x)?f(x)g(x)?g(x)df(x). a??a??这是无穷积分的分部积分公式.

定理5 若函数f(x)在区间?a,???上连续，无穷积分

???af(x)dx收敛，且函数

x??(t)在??,??严格增加（或减少），存在连续导数，而?(?)?a,?(??0)???，则

?这是无穷积分的换元公式.

例4 求无穷积分K?解：根据定理4，有

??af(x)dx??f??(t)???(t)dt.

???0??0e?xsinxdx

????K??e?xsinxdx=?e?xd(?cosx)=?e?xcosx0??e?xcosxdx

00?????x???edsinx=1??esinx0??e?xsinxdx??=1?K. 0??????=1???x0有 2K=1 或 K?1， 即 2K??e?xsinxdx?0??1 2例5 求无穷积分

????211sindx 2xx解：设

11?t, 则dt??2dx.根据定理5,有 xx

011=sindx???2x2x??2sintdt??02sintdt??cost2?1

0三、无穷积分敛散性的判别法

????1、非负函数无穷积分收敛的判别法

定理6 （非负函数无穷积分判别法）无穷积分条件是：存在正数M，对一切u?a，有

???af(x)dx，f(x)?0收敛的充分必要

F(u)??f(x)dx?Mau

故F(u)f(x)dx是单调递增函数，

证明：由于f(x)?0,x??a,???，所以函数F(u)?收敛的充要条件是函数F(u)在?a,???上有界，即

?uaF(u)??f(x)dx?M

au定理7 （比较判别法）设定义在?a,???上的正值函数f(x)与g(x)在任何区间

?a,u?(u?a)上都可积，若存在正数c(c>a)及k,当x>c时，有

f(x)?kg(x)， k>0，

?i? 当?a??g(x)dx收敛时，???af(x)dx也收敛；

?ii? 当?a??f(x)dx发散时，?g(x)dx也发散.

a??证明：?i? 若

???ag(x)dx收敛，则?kg(x)dx也收敛.又因kg(x)?0,根据定理6,存在

a??M>0,对一切u>c, 有

?uckg(x)dx?M,由条件当x>c时, f(x)?kg(x),所以当u>c时,有

?所以, 无穷积分

ucf(x)dx???a?uckg(x)dx?M

???cf(x)dx收敛,从而?f(x)dx也收敛.

?ii? 是?i?的逆否命题,所以成立.

例6 判别

?5??5dxx?1?61的收敛性

解：显然，

1x?1615x6，由于

???5dxx61收敛，

因此，

???5dxx?161收敛.

例7 设f(x),g(x)是?a,???上的非负连续函数, 证明: 若

???af2(x)dx和?g2(x)dx收敛,则?a????af(x)g(x)dx收敛.

f2(x)?g2(x)证明： 由于 f(x)g(x)?, 而

2?因此,

??a1??1??f2(x)g2(x)dx=?f2(x)dx??g2(x)dx收敛,

2a2a2???af(x)g(x)dx收敛.

推论4 若f(x)?0,g(x)?0，且则 ?i? 当

??limx???f(x)?L， g(x)??a0?L???时，???af(x)dx与?g(x)dx同时收敛或同时发散.

??a?ii? 当L=0, 且?ag(x)dx收敛时,则???f(x)dx也收敛;

??a?iii?当L=??,且?a证明：?i?由假设

g(x)dx发散时, 则?f(x)dx也发散.

limx???Lf(x)?L>0，对??，总存在c>a,当x?c时，有

2g(x)Lf(x)Lf(x)L?L?， ?L?或??2g(x)2g(x)2即

Lf(x)3L?? ?1? 2g(x)2又因为g(x)>0，故当x?c时，有

L3Lg(x)?f(x)?g(x). 22若

???ag(x)dx收敛,由?1?式,当x?c时,有 0?f(x)?3Lg(x). 2根据比较判别法,无穷积分若

???af(x)dx也收敛.

Lg(x)?f(x), 2???af(x)dx发散,由?1?式, 当x?c时，有0?根据比较判别法,无穷积分

???ag(x)dx也发散.

?ii? 由limx???f(x)f(x)?0,存在c>a, 当x?c时，有 0??1, g(x)g(x)即, 0?f(x)?g(x). 根据比较判别法,若

???ag(x)dx收敛时,

???af(x)dx也收敛.

?iii? limx???f(x)???, 必存在c>a, 当x?c时，有 g(x)f(x)?1 或 f(x)?g(x). g(x)根据比较判别法, 若

???ag(x)dx发散时,

???af(x)dx也发散.

推论5 设f(x)?0，且

x???limxpf(x)?L，

则 ?i? 当0?L???，p>1时，

???af(x)dx收敛；

???ii? 当0?L???， p≤1时, ?a证明：?i? 令x?pf(x)dx发散.

??111dx收敛， 或g(x)?p，由例2，当p>1时，?paxxg(x)根据推论4,当0?L???时，

???af(x)dx收敛.

1dx发散,再根据推论4, px?ii? 由例2, p≤1时, ?a当0?L???时,

例8 证明

?????a2f(x)dx也发散.

???0e?xdx收敛.

2?x2证明：因为limxex????limx2ex2x????0，根据推论5，

无穷积分

???0e?xdx收敛.

2例9 证明

???dxx1?x21收敛.

证法1：当x>1时，有

0???1x1?x2?1 x2由于，

?1??1dxdx收敛，根据比较判别法，也收敛. 2?12xx1?x证法2： 令f(x)?1x1?x2?x211?1x2 ，x>1，

于是，

x???limx2f(x)?lim11?12xx????1.

根据推论5,

???dxx1?x21收敛.

2、一般函数无穷积分收敛的判别法.

定义2 若无穷积分若无穷积分

???af(x)dx收敛，则称无穷积分???a??af(x)dx绝对收敛.

??a???af(x)dx收敛,而?f(x)dx发散, 则称无穷积分?f(x)dx条件收敛.

定理8 (狄利克雷判别法) 若F(u)?当x???时,单调趋于0,则

证明： 设u??a,???,

?uaf(x)dx在?a,???上有界, g(x)在?a,???上

????af(x)g(x)dx收敛.

x???uaf(x)dx?M,???0,由于, limg?x??0,

故,?G?a,x?G时, g?x???4M. 因为g为单调函数,由积分第二中值定理,对 任意的

u2?u1?G,????u1,u2?, 使得

?于是,

u2u1u2u1f?x?g?x?dx?g?u1??f?x?dx?g?u2??f?x?dx

u1?u2??f?x?g?x?dx?g?u??f?x?dx?g?u???f?x?dx1u112?u2

u2=g?u1?<

?f?x?dx??f?x?dx?g?u??f?x?dx??f?x?dx

a1a2aa?u1??4M2M??4M2M??

因此,由柯西准则,

???af(x)g(x)dx收敛.

定理9 （阿贝尔判别法） 若

???af(x)dx收敛，g(x)在?a,???上单调有界，则

???af(x)g?x?dx收敛.

证明：因g(x)在?a,???上单调有界，故存在A，使

x???limg?x??A

令 g1?x??g?x??A，则g1?x?在?a,???上单调趋于0. 又因

???af(x)dx收敛, 故

F(u)??f(x)dx在?a,???上有界,由狄利克雷判别法,

au?a??af(x)g1?x?dx收敛,

所以,

?例10 讨论

??a??f(x)g(x)dx=???af(x)g1?x?dx+A???f(x)dx 收敛.

?1??cosxsinxdxdx （p>0）的收敛性. 与pp?1xx解：当p>1时，

???1??sinx1sinx1dxdx绝对收敛. 收敛，由于?p， 因此，?ppp1xxxx若0?p?1, 则当u?1时,

?u1sinxdx?cos1?cosu?2

1而p单调趋于0, 因此, 由狄利克雷判别法知, x???1sinxdx收敛.另一方面, xpsinxsin2x1cos2x, x??1,???, ???px2x2xx其中,

???1cos2x1??costdx??dt 满足狄利克雷判别法的条件,是收敛的. 2x22t而,

???11dx发散, 因此, 2x?????1sinxdx发散. pxsinx?1xpdx条件收敛;

??sinxdx绝对收敛. 当1?p???时, ?1xp??cosxdx条件收敛; 类似可证, 当0?p?1时, ?1xp??cosxdx绝对收敛. 当1?p???时, ?p1x总之, 当0?p?1时,

第二节 瑕积分的性质与敛散性的判别

一、瑕积分的概念

本节讨论无界函数的积分，即瑕积分.若函数f(x)在点b的任意领域无界,则称b是函数f(x)的瑕点.例如:?1?a是函数f?x??1的瑕点. ?2? -1和1都是函数x?ag?x??ln1?x2的瑕点.

f?x???,取??0称极限 定义1 设函数f(x)在区间?a,b?上连续,而lim?x?b??lim???0?b??af(x)dx

为函数f(x)在区间?a,b?上的反常积分(瑕积分).记作

?baf(x)dx,即

?若此极限存在,称反常积分散. 发散时仍用记号

类似可定义:

babf(x)dx=lim??0??b??af(x)dx

b?af(x)dx收敛. 若此极限不存在,则称反常积分?f(x)dx发

a?baf(x)dx表示.

b?其中x?a为瑕点,

af(x)dx=lim??0??ba??f(x)dx

c??b?baf(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx=limaccb??0??baf(x)dx+lim??0??c??f(x)dx

其中x?c为瑕点,

当上式右端的两个反常积分都收敛时,称反常积分

例1 求下列瑕积分

?af(x)dx收敛,否则发散.

?1??0111?x2dx ?2??11?x11?x2211dx?? 3?0lnxdx ?1x21解：?1? x?1为被积函数

的瑕点, 有

?111?x20dx=lim??0??1??01??arcsinxdx=lim0 ???0arcsin?1???=arcsin1?=lim???0?2

?2?

x?0是为被积函数

1的瑕点, 则 2x01111dxdx=+??1x2??1x2?0x2dx=lim??0?1?0???11dx+lim2x??0???11dx 2x=lim?????0?1???x????1??0+lim????1??1??1?+?1lim????1?=?? ?=lim????0??0???????x?1??3?x?0是为被积函数lnx的瑕点, 则

lnxdx=lim?xlnx?x?? ??lnxdx=lim???1110?0??0???1??ln????=-1. =lim???01?1xlnxdx的敛散性.

1解：x?1为被积函数的瑕点, 有

xlnx例2 判别瑕积分

2?211dx=limxlnx??0???1?21dx=lim ln?lnx???0?xlnx1??2?ln?ln2??ln?ln?1?????=??. =lim???0即, 瑕积分

?211dx发散. xlnx例3 判别瑕积分

??x?a??的敛散性 （a

abdx解：当??0时，a是被积函数当??1,有 ?0???b?a?,

1?x?a??的瑕点.

??x?a??lim???x?a???abdx=

bdx?0a?=lim??0?x?a?1??b

1??a???1????b?a????1???=lim??01????b?a??1?????1??,???????,??1

??1当??1,有 ?0???b?a?

?badx=limx?a??0?ba??dx=limln?x?a?x?a??0b

a??=lim?ln?b?a??ln?????.

??02于是,当??1时,瑕积分当??1时, 瑕积分

2?11?b?a?dx收敛,其瑕积分(的值)是xlnx1??1??;

1?1xlnxdx发散.

二、瑕积分的性质与收敛判别法

瑕积分的性质与收敛判别法与无穷积分的性质与收敛判别法相类似，因此，下面只给出瑕积分的性质与收敛判别法的几个重要结果，并举例加以应用，再不进行重复论证.

定理1 （柯西收敛准则）瑕积分

?baf(x)dx（a为瑕点）收敛的充要条件是：对任给

的正数?,存在正数?,当a?u1?a??,a?u2?a??时，有

?推论1 瑕积分瑕积分

u2u1f(x)dx??.

?baf(x)dx收敛的充要条件是：对任何c??a,b?，

?caf(x)dx收敛.

推论2 若瑕积分

?baf?x?dx收敛，则瑕积分?f(x)dx收敛.

ab定理2 设正值函数f(x)在包含于?a,b?内的任何闭区间上都可积，则瑕积分

?baf(x)dx收敛的充要条件是：存在正数M，对任何u??a,b?，有

?（u>a）上可积，且

buf(x)dx?M.

定理3 （比较原则）设定义在?a,b?上的正值函数f(x)与g(x)在任何区间?u,b?f?x??kg?x?,k?0

则 ?i?当瑕积分

?bag(x)dx收敛时，瑕积分?f(x)dx也收敛；

abb?ii?当瑕积分?af(x)dx收敛时，瑕积分?g(x)dx也收敛.

ab推论3 设f?x??0,g?x??0，且

limx?a?f(x)?L g(x)ba则 ?i? 当

0?L???时，瑕积分?f(x)dx与?g(x)dx同时收敛或同时发散；

abbb?ii? 当L=0, 且瑕积分?ag(x)dx收敛时,则?a?iii?当L=??,且?ag(x)dx发散时, 则?a推论4 设f?x??0,且

bbf(x)dx也收敛;

f(x)dx也发散.

x?alim?xpf(x)?L，

则 ?i? 当0?L???，0?p?1时，

??babf(x)dx收敛； f(x)dx发散.

x

?ii? 当0?L???， p?1时,

a利用x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1+x) ～e-1 (x?0)，可以判别一些非负函数瑕积分的收敛性.

以上判别法都是以a为瑕点的情形给出,读者不难仿此给出以b为瑕点的判别法.

例4 判别瑕积分

?1dxsinx0的敛散性.

解: x?0是为被积函数

1sinx的瑕点, 由

limx?0?x121sinx?limx?0?x=1 sinx根据推论4, 瑕积分

?1dxsinx?0收敛.

例5 判别瑕积分

?20ln?sinx?dx的敛散性.

x34解: x?0是瑕点, 由

x根据洛比达法则,有

ln?sinx?x?ln?sinx?x?14,

limx?0?ln?sinx?x?14?limx?0?1cosx1xsinx4??4xcosx=0 lim5??sinx1x?0?x44根据推论4,这个瑕积分收敛.

第十章 数项级数

无穷级数的理论不仅是研究函数的一个重要工具，而且对微积分学的进一步发展及讨论微分方程的解都是十分重要的.

第一节 数项级数的敛散性

一、级数收敛与发散的概念.

定义1 把一个数列?un?:

u1,u2,u3,?,un,?

的项依次用加号连接起来,得到表达式:

u1?u2?u3???un?? （1）

简写为即

?un?1?n,

?un?1?n=u1?u2?u3???un??

称为无穷数项级数,简称级数,其中u1,u2,u3,?,un,?称为级数(1)的项,un为级数的第n项或通项.

定义2 设级数(1)前n项的和是Sn,即

Sn?u1?u2?......?un或Sn??un，n?1?称Sn为级数(1)的n项部分和.当n趋于无限大时,可构造出另一个无穷数列?Sn?,即

S1, S2 ,S3 ,?, Sn ,?, （2）

定义3 若级数(1)的部分和数列（2）收敛,并设

limSn?S,

n??则称级数(1)收敛.其和为S,记作

?un?1?n?S,即

n?un?1?n?limn??k?1?uk?limSn?S.

n??若部分和数列（2）发散，则称级数（1）发散.此时级数（1）没有和.

定义4 若级数

?un?1?n收敛，其和是S，而s-sn表为rn即

?nrn?S?Sn??uk??uk?un?1?un?2??，

k?1k?1称为收敛级数

?un?1?n的n项余和，简称余和.显然，有limrn?lim(S?Sn)?0.其中

n??n??a?0,r是公比.

例1 讨论几何级数

?arn?1?n?1?a?ar???arn??

的敛散性.其中a?0,r是公比.

解：1）当r?1时，已知几何级数的前n项和sn是

sn=?ark?1nn?1?a?ar???arn?1a?1?rn?=， 1?r这时，有

?i? 当r?1时，因为limrn?0，所以

n??limSn?limn??n???aarn???1?r?1?r?? ??=

limn??aaan?r=. lim1?r1?r1?rn??因此，当r?1时，几何级数收敛，其和是

a,即 1?r?arn?1?n?1?a 1?r?ii? 当r?1时，因为limrn??，所以

n??limSn?limn??n??a?arn??，

1?r因此，当r?1时，几何级数发散. 2)当r?1时,也分两种情形讨论:

?i?若r=1, 级数的前n项和是

sn=a?a???a?na,

因为a为非零常数,所以limSn?n??limna??,因此,当r=1时, 几何级数发散.

n???ii?若r=-1, 几何级数变成为

a?a?a?a?a?a??,

其前n项和是

sn=???1?a?k?1k?1n?1???1??n?12?a,a????0,?nn为奇数 nn为偶数 因此,当r=-1时, 几何级数也发散.

综上所述，当r?1时，几何级数收敛，其和是例2 证明级数

a，当r?1时，几何级数发散. 1?r1111??????? ?????nn?11?22?3nn?1n?1收敛，并求其和.

证明：因为对任何n，有

?11??1????，

n?n?1??nn?1?所以，sn=

1111?????

?n?1?nn?n?1?1?22?3=?1?=1?从而有

??1??11?1??11??1???????????????

2??23??n?1n??nn?1?1， n?11??limSn?lim?1???1. n??n?1?n???故级数收敛, 其和是1.

例3 证明级数

?nrn?1?n?1?1?2r?3r2???nrn?1??， r?1

收敛，并求其和.

证明：因为

Sn=?krk?1?1?2r?3r2???nrn?1， （3）

k?1?对（3）式两边同乘以r，得

rSn=

?krk?1?k?r?2r2?3r3???nrn （4）

由（3）式两边分别减去（4）式两边，得

Sn- rSn=1?r?r2?r3???rn?1?nrn

1?rn?nrn， （5） =

1?r由（5）式得

1?rnnrn. Sn=?2(1?r)1?rn又因r?1时, limnr?0,所以有

n??limSn?limn??n???1?rnnrn???? 2??1?r?1?r?2=

lim?1?r??limn??n??1?rnnrn1, ?21?r?1?r?故级数收敛, 其和是

1?1?r?2.

二、收敛级数的性质

定理1 （柯西收敛准则） 级数

?un?1?n收敛????0,?N?N?,?n?N,?p?N?,有

un?1?un?2???un?p??.

根据定理1的必要性,若级数

?un?1?n收敛,则???0,?N?N?,?n?N,取p=1,有

un?1??,于是,有

推论1 若级数

?un?1?n收敛，则limun?0.

n??推论1的等价命题是，若limun?0，则级数

n???un?1?n发散.

例如,级数

123nn??????? =?101201301100n?1100n?1n?1因为, limun?limn???n1?0, =

n??100n?1100所以级数

n发散. ?n?1n?1100?注: limun?0仅是级数

n???un?1?n收敛的必要条件而不是充分条件,即limun?0,级数

n???un?1?n也可能发散.

??推论2 若去掉、添加或改变级数

?un?1n的有限项,则不改变级数

?un?1n的敛散性.

例如,去掉发散级数

1的前面100项,而级数 ?n?1n?1111??????? ?100?n101102100?nn?1仍是发散的.

定理2 若级数

??un?1?n收敛,其和是S,则级数

?cun?1?n?cu1?cu2???cun??也收

敛,其和是cS,其中c是常数(c?0).

证明：设级数

?un?1?n与

?cun?1?n的n项部分和分别是sn与?n，有

?n=cu1?cu2?cu3???cun?c?u1?u2???un??csn.

已知limSn?S,有

n??lim?n?limcsn?cs,

n??n??即级数

?cun?1?n收敛,其和是cS.

定理2的结果可改写为

?cun?1?n=cS=c

?un?1?n,

即收敛级数(无限个数的和)满足数(非零)的分配律.

定理3 若级数

?un?1?n收敛,其和是S,则不改变级 数每项的位置,按原来的顺序将某

些项结合在一起,构成的新的级数

(u1???un1)?(un1?1???un2)???(unk?1???unk)?? (3)

也收敛,其和也是S.

证明: 设级数

?un?1?n的n项部分和是sn,新级数 (3)的k项部分和是?k,有

?k=(u1???un)?(un?1???un)???(un???un)

112k?1k=u1?u2?u3???unk?snk

即新级数 (3)的部分和数列??k?是级数

?un?1?n的部分和数列?sn?的子数列.已知

limSn?S,则lim?k?S.于是, 新级数 (3)收敛, 其和也是S.

n??k??定理3说明:收敛级数(无限个数的和)满足结合律.

注:一个级数的项经过结合之后构成的新级数收敛,去掉括号之后的级数(即原级数)不一定收敛.例如,级数

?1?1???1?1?????1?1???

收敛于0,但去掉括号之后的级数

1?1?1?1???1?1??

却是发散的.

定理4 若级数

???un?1n与

?vn?1n都收敛.其和分别是A和B, 则级数

?(un?1?n?vn)?(u1?v1)?(u2?v2)??+(un?vn)??.

也收敛.其和是A?B.

证明: 设级数

?u,?vnn?1n?1??n与

?(un?1?n?vn)的n项部分和分别是An，Bn，Cn，有

Cn=?(uk?vk)?(u1?v1)?(u2?v2)???(un?vn)

k?1?

=(u1?u2?u3???un)??v1?v2???vn??An?Bn. 已知limAn?A与limBn?B,有

n??n??limCn?limAn?limBn=A?B

n??n??n??即级数

?(un?1?n?vn)收敛，其和是A?B.

例4 判定级数

?nlnn?1?n的敛散性. n?1n?n??1?nln=limln??ln??1?? limn?1n???n?1??n?n??n?n解: 因为limun=

n??limn??=lne所以级数

?1??1?0

?nlnn?1?n发散. n?1例5 讨论级数

?sin2?的敛散性.

n?1?n解:因为

nsin?=1?0?1?0?1?0?? ?2n?1n?的极限不存在.故此极限发散. 2?而当n??时,通项un?sin例6 利用柯西收敛准则证明调和级数

1111?1??????? ?23nn?1n发散.

证明: 因为

?un?1?un?2???un?p?于是令p=n,有

111????, n?1n?2n?p111???? n?1n?22n11111?????? =n2n2n2n2n21由于上式对任何自然数n都成立,因此只要取??,对任何自然数N,存在自然数n?N及自

2un?1?un?2???un?p?然数p=n,有

un?1?un?2???un?p?1111????. ???n?1n?2n?p2所以不满足柯西收敛准则的条件,故调和级数发散.

第二节 同号级数

定义1 一个级数

?un?1?n,若un?0(n?1,2,?),则称级数

??un?1?n为正项级数; 若

un?0(n?1,2,?),则称级数?un为负项级数. 正项级数与负项级数统称为同号级数.

n?1这一节我们讨论同号级数的敛散性.将负项级数的每一项乘以-1, 负项级数就变成了正

项级数,根据定理2, 负项级数与正项级数有相同的敛散性,因此,对同号级数的敛散性,只要讨论正项级数的敛散性就可以了.

对于正项级数

?un?1?n,它的部分和数列?Sn?是一个非负的单调递增数列.根据数列的单

调有界原理,可直接得到下面的定理.

定理1 正项级数

?un?1?n收敛?它的部分和数列?Sn?有上界.

例1 证明正项级数

11111??????? =?2!3!n!n!n?1收敛.

证明：因为,当n?2时,有

?1111???n?1 n!1?2???n1?2?2???22所以,对任何n,有

Sn=?1111111=1??????1??2???n?1

2!3!n!222n?1k!?1n12=?2?n?1?2. 121?21?因此部分和数列?Sn?有上界,从而级数

?1收敛. ?n!n?1?定理2 (比较判别法) 设

?un?1n与

?vn?1?n是两个正项级数，且?N?N?,?n?N有

un?kvn，k是正常数.

1) 若级数

?vn?1??n收敛，则级数

?un?1??n也收敛.

2) 若级数

?un?1?n发散，则级数

?vn?1n也发散.

证明1）设 级数有

?un?1n与

?vn?1?n的部分和数列分别是?An?与?Bn?，由条件un?kvn，

An=u1?u2?u3???un?kv1?kv2???kvn=kBn（1）

因级数

?vn?1?n收敛，由定理1知数列?Bn?有上界，由不等式（1）知?An?也必有上界，再根

?据定理1知级数

?un?1n也收敛.

?2) 若级数

?un?1?n发散，则数列?An?无上界. 由不等式（1）知?Bn?也无上界,则级数

?vn?1n也发散.

例2 证明级数

?n?1?1n?1?12?13???1n??

发散.

证明：因为对任何自然数n,有

1n??1. n?11又因为调和级数?发散,所以级数?也发散.

nn?1nn?1例3 证明级数证明：由于

an收敛，其中an取1,2,3，?，9中的某一个. ?nn?110?an9?,n=1,2,3,?,9 10n10n?a9又因为级数?n?1,所以由定理2知级数?nn收敛.

n?110n?110?推论 (比较判别法的极限形式)有两个正项级数

?un?1?n与

?vn?1?n（vn?0)，且

lim?un?k(0?k???).

n??vnn1) 若级数

?vn?1?收敛，且(0?k???)，则级数

?un?1??n也收敛；

2) 若级数

?vn?1?n发散，且(0?k???)，则级数

?un?1n也发散.

例4 讨论p—级数

1的敛散性. ?pn?1n解：分两种情况考虑： 1）当p?1时，有

11?， npn?11因为级数?发散，根据定理2，级数?p发散.

n?1nn?1n?2)当p?1时,级数

1,具体证明如下: ?pn?1n1xp?1?首先,作辅助函数f?x??得

,此函数在区间?n,n?1?上连续可导,由拉格朗日中值定理,

1?n?1?或

p?1?1np?1?1?p?n??n?p,0??n?1,n=1,2,?,

1n又因

p?1?1?n?1?1p?1??p?1?1?n??n?p. (2)

?n?1?根据(2)式与(3)式,有

p?1?1?n??n?p (3)

1?n?1?p?1?n??n?p其次,我们证明级数

?1=?p?1???1?1. (4) ?p?1p?1??n?1???n??p?1??n?1??1?1收敛,因为此级数的前n项和是 ?p?1p?1??n?1???nSn=

????1??1?1111??1???????? ??p?1?????p?1p?1p?1p?1p?1?p?1??1?1????1?1??1?2???n?1????n??1?=?p?1??1????, p?1??n?1??1又因p?1,p?1?0,所以有

limSn?n??1p?1limn????11. 1????p?1??n?1??p?1于是,级数

??p?1??n?1??1?1收敛得证. ?p?1p?1??n?1???n最后,根据定理2及不等式(4),知p?1时, p—级数

例5 判别下列正项级数的敛散性. 1)

?nn?1?1p收敛.

?n?1??1?1?, 2) ?, 3) ?ln?1??

?n?n?1n?n!n?1nn2?11???解:1)因为

1nn?1?2??1nn?0?2??1n32.

已知广义调和级数

?n?1?1n32收敛,根据定理2,级数

?n?1?1nn?1?2?收敛.

2)取vn?1,有 n!limn???11n?n!?=0, lim1n??nn!?11已知级数?收敛,所以,级数?也收敛.

n!n?n!n?1n?13) 取vn?1,有 n

limn???1?ln?1??n1n?????ln?1???1 lim1?n?n??n?1?1?已知级数?发散,根据定理2的推论,级数?ln?1??也发散.

?n?n?1nn?1??定理3 柯西判别法（根式判别法）对正项级数

?un?1nn,若?N?N?,n?N,有

1)nun?p <1, (p是常数)，则级数

??un?1?收敛;

2) nun?1,则级数?un发散.

n?1证明：1)因为当n?N时，有

nun?p，或un?pn，

?n又已知几何级数

?p?0?p?1?收敛，于是级数?unn?1n?1?收敛.

2)当nun?1,时,有

un?1,

即un不趋近于0?n???,于是级数

?un?1?n发散.

?推论 （柯西判别法的极限形式）: 有正项级数

?un?1n,若

limnun?l,

n??则1) l?1时,级数

?un?1??n收敛;

2) l?1时,级数

?un?1n发散.

证明：1）取正数k，使0?l?k?1，由已知条件，对正数?0?k?l?0，存在

自然数N，当n?N时，有

nun?l??0?k?l，或?k?l?nun?l?k?l，

于是，当n?N时，有

nun?k?1，

根据定理4，级数

?un?1?n收敛.

2）当l?1时, 存在自然数N，当n?N时，有

nun?1或un?1,

根据定理4，级数

?un?1?n发散.

例6 判别下列正项级数的敛散性. 1）

??lnn?n?1?nn?xn2n, 2）?n （x?0）, 3) ?lnn

n?13n?1n?解：1）因为

limun?limnn??n??nn?lnn?n?limn??n?0?1， lnnn所以级数

??lnn?n?1?nn收敛.

2)因为对任给x?0,有

limnun?limn??n??nxnx??0?1

nnnlimn??xn所以级数?n对所有正实数x都收敛.

n?1n?3) limun?nn??limn??n2n22???2?1. limlnnlnn033n??3n2n级数?lnn发散.

n?13?定理4 达朗贝尔判别法(比值判别法)有正项级数

?un?1?n(un?0),

?un?11) 若?N?N?,?n?N有?q(常数)<1,则级数?un收敛;

unn?1?un?12) 若?N?N?,?n?N有?1, 则级数?un发散.

unn?1证明：1）不妨设?n?N?，有

un?1?q或un?1?unq. unn=1, u2?u1q, n=2, u3?u2q?u1q2, n=3, u4?u3q?u1q3,

?, ?

n=k, uk?1?ukq?u1qk,

?, ?

已知几何级数

?uq?0?q?1?收敛,则级数?uk1k?1n?1??n收敛.

2)已知?N?N?,?n?N,有

un?1?1或un?1?un, un即正数数列?un?从项以后单调增加, un不趋近于0?n???,则级数

??un?1?n发散.

推论 (达朗贝尔判别法的极限形式) 有正项级数

?un?1n(un?0)，且

limn??un?1?l. un1) 若l?1则级数

?un?1?n收敛；

?2) 若l?1则级数

?un发散.

n?1证明:1)?q:l?q?1.由数列极限定义,

??0?q?l?0,?N?N?,?n?N,有

un?1u?l?q?l或un?1?qnu?1.

n?根据比值判别法,级数

?un收敛.

n?12)已知l?1根据数列极限的保号性,

?N?N?,?n?N,有

un?1u?1. n?根据比值判别法,级数

?un发散.

n?1例7 判别下列正项级数的敛散性. ?1）

?nn?2??n!?5n?， 2) n?11n?1?1nn, 3) ?n?1n5, 4) ?nxnn?1解：1）

limun?1n??u?nlimn?1n1n?11n??2n2n?1?lim??1, n??2n2?所以,级数

?nn?12n?1收敛.

n!n2)

limun?1n??u?lim(n?1)!n???n?1?n?1nnn?lim??n?? n???n?1?=

lim1?1n????1?ne?1， ?1?n??所以,级数

??n!n?1nn收敛. 13)

limun?15n?5nn??u?limn???n?5nn5?lim5(n)51??5n??n?1?1, x?0)

(5n所以,级数?5发散.

n?1n?4)

limn??un?1?n?1?xnn?1?lim?x?x, limn?1unnnxn??n??根据比值判别法的推论,当0?x?1时,级数收敛,当x?1时,级数发散.

定理5 积分判别法：如果f?x?在?N,???上非负且单调减少，其中N是某个自然数，

n?N，那么级数?f?n?和积分?n?N???Nf?x?dx同时敛散.

证明: 因为f?x?在?N,???上单调减少,所以

?n?1N?1f?x?dx??k?N?1?f?k???f?x?dx.

Nnn由于f?k??0,f?x??0,故级数上式当n??时可变成

?f?k?和积分?k?1??Nf?x?dx或者收敛或者取值??.因此,

????N?1f?x?dx???k?N?1?f?k??????Nf?x?dx.

由此可见,级数

n?N?f?n?收敛??Nf?x?dx收敛.

例8 讨论

?nlnn?2?1qn的敛散性，其中q?0.

解：取f?x??1,它在?2,???上非负且单调减少,由于 qxlnx????dlnx??dtdx?2xlnqx??2lnqx??ln2tq ?t?lnx?,

可见,上述积分当q?1时收敛;当q?1时发散.根据积分判别法, 级数

1也在?qn?2nlnn?q?1时收敛;在q?1时发散.

第三节 一般项级数

本节讨论一般项级数,即变号级数,也就是级数

?un?1?n既有无穷多个正项,又有无穷多个

负项.

一、交错级数及其收敛判别法

定义1 级数

????1?n?1n?1un?u1-u2+u3-u4+?+??1?un+?，un?0，

n?1称为交错级数.

判别交错级数的收敛性有下面的判别法:

定理1 (莱布尼茨判别法)有交错级数

???1?n?1n???n?1un,?un?0?,若

1）?n?N?,有un?un?1; 2）limun?0.

则交错级数

???1?n?1n?1?n?1un,?un?0?收敛，且rn?S?Sn?un?1，其中S,Sn与rn分别是交

错级数

???1?n?1?un的和，n项部分和与余和.

n?1???1un的前n项和数列,下面我们分别考察?Sn?的两?n?1?证明:用?Sn?表示交错级数

个子列?S2n?与?S2n?1?的极限.

首先,讨论子列?S2n?,当n?2时,有

S2n=(u1?u2)+(u3?u4)+?+(u2n?3?u2n?2)+(u2n?1?u2n)

S2n?2=(u1?u2)+(u3?u4)+?+(u2n?3?u2n?2)

于是,有

S2n-S2n?2=u2n?1?u2n.

由un?un?1知?Sn?的子数列?S2n?单调递增.

另一方面,

S2n=u1-u2+u3-u4+?+u2n?1?u2n

=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-?-(u2n?2?u2n?1)?u2n.

因为右端括号里的每一项都非负,所以

S2n?u1,

因此子列?S2n?有界,根据单调有界原理, 子列?S2n?数列.设

limS2n?S. (1)

n??其次,由S2n?1=S2n+u2n?1及limu2n?1?0,得

n??limS2n?1=limS2n+limu2n?1?S. (2)

n??n??n??(1)、(2)两式表明,数列?Sn?的偶次项与奇次项不仅都收敛,而且极限相同,所以数列

?Sn?也收敛,其极限是S,即

limSn?S.

n??故级数

n?1???1un收敛. ?n?1?例1 讨论级数解：因为

n?1???1?n?1?1的敛散性.

?2n?1?!11?,n?1,2,3,?,

?2n?1?!?2n?1?!且

limn??1?0

?2n?1?!根据定理1,交错级数

n?1???1?n?1?1收敛.

?2n?1?!例2 讨论级数解:因为

n???1?n?1?n的敛散性. n33n?n?1,n?1,2,3,?,

所以

3nn?1nn?1??或, n?1n?1nn?13333又因

limn???nnn?0??,根据定理1,交错级数收敛. ?1?n3n3n?1二、绝对收敛与条件收敛

定义2 若级数

?un?1?n收敛，则称级数

?un?1?n绝对收敛；若级数

?un?1?n收敛，而级数

?un?1?n却发散，则称级数

?un?1??n条件收敛.

定理2 若级数

?un?1n收敛，则级数

?un?1?n也收敛.

证明：已知级数

?un?1?n收敛，根据级数的柯西收敛准则，???0,?N?N?，

?n?N,?p?N?，有

un?1+un?2+?+un?p??.

从而,有

un?1?un?2???un?p?un?1+un?2+?+un?p??,

即级数

?un?1?n收敛.

??注:这个定理的逆命题不真,即若级数

?un?1n收敛,但级数

?un?1n不一定收敛.例如,虽然

??11n1级数???1?收敛,但级数???1?=?却发散.

nnn?1nn?1n?1?n例3 讨论下列变号级数的绝对收敛性：

?1）

?n?1??1??n?n?1?22n； 2）

?n?1?sinn4； 3）??1?

?n2nn?1?n?解:1)

?n?1??1?n?n?1?22n=?111111?2?3?4?5?6?? 222222?n?N?，有

??1?n?n?1?22n??=

1。 n2n?n?1?2已知正项级数

??1?1收敛，根据定理2，级数??n2nn?1n?12收敛，且绝对收敛.

2)

?n?1?sinn22224=2+1+2-2-2-?

122321n252??n?N?，有

sinn?4?1.

n2n2?1已知正项级数?n收敛，根据定理2，级数?n?1n?12?sinnn2?4收敛,且绝对收敛.

3) ?n?N?,有

?1n??1n?1,且

limn??1n1n?0.根据莱布尼茨判别法,(交错)级数

?n?1??1?n收敛.而正项级数

n???1?n?1n1n=

?n?1?=

?n?1?1n12(p级数, p?1?1)发散,从而2级数

?n?1???1?n条件收敛.

n判别级数

?un?1?n的绝对收敛可归结为判别正项级数

?un?1?n的收敛,判别变号级数

?un?1?n的条件收敛,有下面两个判别法.这两个判别法要用到一个引理,通常称为阿贝尔变换.

引理 （阿贝尔变换）设ak与bk(k=1，2，?,n)是两组数，Bm??b（m?1,2,?n）.

kn?1?若a1?a2???an?0,且?M?0,m?1,2,?,n,有Bm?M,则

a1b1?a2b2???anbn??abk?1n??nkk?a1M.

定理3 (狄利克雷判别法) 若数列?an?单调减少,liman?0且级数列?Bn?有界,即?M?0,?n?N?, 有

?bn?1?n的部分和数

Bn?b1?b2???bn?M,

则级数

?abn?1?nn收敛.

证明：?n,p?N?，有

bn?1?bn?2???bn?p?Bn?p?Bn?Bn?p?Bn?2M.

根据引理,有

an?1bn?1?an?2bn?2???an?pbn?p?an?1?2M.

已知liman?0,即???0,?N?N??n?N,有

n??an??或an??

于是, ???0,?N?N?,?n?N,?p?N?,有

an?1bn?1?an?2bn?2???an?pbn?p?an?1?2M?2M?.

根据柯西收敛准则,级数

?abn?1?nn收敛.

不难看到，判别交错级数

n?1???1un,?un?n?1??0?收敛的莱布尼茨判别法只是狄利克雷判

?别法的特殊情况.事实上,若数列?un?单调减少,且limun?0,而级数

n?????1?n?1n?1的部分和

数列?Bn?有界,即

n是奇数 ?1,?Bn?? Bn?1

?0,n是偶数 ?根据狄利克雷判别法，交错级数

???1?n?1?n?1un,?un?0?收敛.

定理4 （阿贝尔判别法） 若数列?an?是单调有界，而级数收敛.

?bn?1?n收敛.则级数

?abn?1?nn证明：若数列?an?单调减少有下界,则数列?an?收敛,设liman?0.从而数列?an?a?n??是单调减少的,且lim(an?a)?0.已知级数

n???bn?1?n收敛,则它的部分和数列必有界.根据狄

利克雷判别法,级数

?(an?1?n?a)bn收敛.已知级数?abn收敛.再根据前面定理,级数

n?1?

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