极值点偏移问题专题(五) - 对数平均不等式(本质回归)
更新时间:2024-01-10 15:26:01 阅读量: 教育文库 文档下载
极值点偏移(5)——对数平均不等式(本质回归)
笔者曾在王挽澜先生的著作《建立不等式的方法》中看到这样一个不等式链:
2ab?ab??e?a?a?b?b?1b?ab1ab?a?b?b?aa?b, ?a?ab??e?1?b??bb?a2?a?lnaln不曾想,其中一部分竟可用来解极值点偏移问题. 对数平均不等式:对于正数a,b,且a?b,定义有ab?a?b为a,b的对数平均值,且
lna?lnba?ba?b?,即几何平均数<对数平均数<算术平均数,简记为
lna?lnb2G?a,b??L?a,b??A?a,b?.
先给出对数平均不等式的多种证法. 证法1(对称化构造) 设
R?a?b?0lna?lnb,则
kln?akl?nb?,
k?1得xabklna?a?klnb?b,构造函数f?x??klnx?x,则f?a??f?b?.由f??x??f??k??0,且f?x?在?0,k?上
平均不等式即ab?k?,在?k,???上,x?k为f?x?的极大值点.对数
a?b?a?b?2k,等价于?,这是两个常规的极值点偏移问题,2ab?k2?留给读者尝试.
证法2(比值代换) 令t?a?1,则bab?b?t?1?b?t?1?a?ba?b??bt??
lna?lnb2lnt2?t?2?t?1?t?1t?11???lnt?t?,构造函数可证. lnt2t?1t证法3(主元法) 不妨设a?b,
ab?a?babab?lna?lnb???lna?lnb???0.
lna?lnbbabaab,a??b,???,则 ?ba记f?a??lna?lnb?11bf??a??????a2ab2aa?a?b2aab?2?0,得f?a?在?b,???上
,有
f?a??f?b??0,左边得证,右边同理可证.
证法4(积分形式的柯西不等式) 不妨设a?b,则由
??lnalnbedxx?2????e?lnalnbx2dx???alnalnb12dx得?b?a??2?12a?b2??lna?lnb?,?2a?ba?b?;
lna?lnb2?a1??a1?由??dx????2dx?bx???bx?2?a?b2?11?2ab?得,. lna?lnb??a?b1dx???????blna?lnb?ba?1?a?b2?上点?作切线,由曲边梯形面积,大于直,?x?2a?b??证法5(几何图示法) 过f?x??角梯形面积,可得?a?b??a1a?ba?b1?; ??dx?lna?lnb,即
a?bbxlna?lnb22如上右图,由直角梯形面积大于曲边梯形面积,可得
?ab1dx?lna?b?x?1??1??a?a?bba?b?. ?,即ab?lna?lnb2???????由对数平均不等式的证法1、2即可看出,它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系,下面就用对数平均不等式再解前面举过的例题.
再解例1:f?x1??f?x2?即x1e?x1?x2e?x2,lnx1?x1?lnx2?x2,则数x1,x2的对数平均数为1),于是x1x2?1?2x1?x2?1(正
lnx1?lnx2x1?x2,得x1x2?1,且x1?x2?2. 22xx再解例2:f?x???x?2?e?a?x?1??0即?2?x?e?a?x?1??0;由
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