高二年级数学椭圆的第二定义

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高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精

讲

一. 本周教学内容：

椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系

［知识点］

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

e?c(0?e?1)的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 a椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。

x2y2 注意：①对2?2?1(a?b?0)对应于右焦点F2(c，0)的准线称为右准线，

aba2a2方程是x?，对应于左焦点F1(?c，0)的准线为左准线x??

cc

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：

椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

x2y2 对于椭圆??2?1(a?b?0)，设P(x，y)为椭圆上一点，由第二定义：

abc? 左焦半径a2ax0?c 右焦半径r左ca2∴r左?ex0?·?a?ex0

acr右a2?x0c?c?r右?a?ex0 a

3. 椭圆参数方程

问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕

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O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：设点M的坐标是(x，y)，?是以Ox为始边，??为终边的正角，取?为 参数。

那么x?ON?|OA|cos?

y?NM?|OB|sin??x?acos?∴??y?bsin?(1)

这就是椭圆参数方程：?为参数时，?称为“离心角” 说明：<1> 对上述方程（1）消参即

?x?cos??x2y2?a?2?2?1普通方程 ?yab??sin???b <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

4. 补充

名称 直线 方程 参数几何意义 ?x?x0?tcos?P0(x0，y0)定点，?倾斜角,t?P0P，(t为参数) ??y?y0?tsin?P（x，y）动点 ?x?a?rcos?(?为参数) ??y?b?rsin?(?为参数) ?y?bsin??A（a，b）圆心，r半径， ?P（x，y）动点，旋转角 a长半轴长，b短半轴长 圆 椭圆 ?x?acos??离心角(不是OM与Ox的夹角) 一般地，?、?取[0，2?]

5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离

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x2y2 2?2?1aby?kx?b

?x2y2?1?? ①相离??a2b2?y?kx?b?无解

②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。 （2）相切

?x2y2?1?? ①相切??a2b2有一解

?y?kx?b? ②过椭圆上一点P0(x0，y0)的椭圆的切线方程为xx0yy0?2?1 a2b?x2y2?1?? (3)相交??a2b2有两解

?y?kx?b?

①弦长公式： |AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2

(x1?x2)2?4x1x2

2 ?1?k 优质.参考.资料

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?1?k2|x1?x2| ?1?k2·? |a| ②(中点：斜率)?作差法 例

1.

x2y2已知A(?2，3)，F是椭圆??1的右焦点，点M在椭圆上移动，当

1612|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。

分析：结合图形，用椭圆的第二定义可得|MA|?2|MF|?|MA|?|MP|?|AA'| 这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。 解：设直线l是椭圆的右准线，MP⊥l，垂足为P，则|MF|1?e，|MP|? |MP|e|MF|，由已知方程得a?4，b?23，∴c?2，e?11，由此得|MP|?|MF|? 2e2|MF|，从而得

|MA|?2|MF|?|MA|?|MP|?|AA'|，即当点M、A、P三点共线且M是AP内分点

时，等号成立，此时|MA|?2|MF|取得最小值，点M的坐标为(23，3)

x2y2??1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角 例2. 椭圆94时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）

分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。

解：法一 在椭圆中，a?3，b?2，c?5，依焦半径公式知|PF1|?3?5x， 3 优质.参考.资料

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|PF2|?3?5x，由余弦定理知∠F1PF2为钝角?|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2? 3(3?5252933 x)?(3?x)?(25)2?x2?，应填??x?33555 法二 设P(x，y)，则当∠F1PF2?90°时，点P的轨迹方程为x2?y2?5，

由此可得点P的横坐标x?±3，点P在x轴上时，∠F1PF2?0；点P在y轴上 533?x? 55时，∠F1PF2为钝角，由此可得点P横坐标的取值范围是? 小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。

x2y2??1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条 例3. 过椭圆164弦所在的直线方程。

分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。

解：法一 设所求直线方程为y?1?k(x?2)，代入椭圆方程并整理，得

(4k2?1)x2?(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0，又设直线与椭圆的交点为

8(2k2?k)A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1、x2是方程的两个根，于是x1?x2?， 24k?1x1?x24(2k2?k)1又M为AB的中点，∴??2，解之得k??，故所求直线方

224k2?1程为x?2y?4?0

法二 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，M(2，1)为AB的中点，

2222 ∴x1?x2?4，y1?y2?2，又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y22222?16，两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0

∴y1?y2x?x21??1??

x1?x24(y1?y2)2 优质.参考.资料

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