2022四年级下册数学奥数练习-排列组合 全国通用(附答案)

第17讲 排列组合

分类计数原理：完成一件工作有n 种方式，用第1种方式完成有m 1种方法，用第2种方式完成有m 2种方法……用第n 种方式完成有m n 种方法，那么，完成这件工作总共有(m 1＋m 2＋…＋m n )种方法，即N ＝m 1＋m 2＋m 3＋…＋m n ，分类计数原理又叫加法原理，

分步计数原理：完成一件工作共需n 个步骤，完成第1个步骤有m1种方法，完成第2个步骤有m 2种方法……完成第n 个步骤有m n 种方法，那么，完成这件工作共有m 1· m 2· m 3·…·m n 种方法，即N ＝m 1· m 2·m 3·…·m n ，分步计数原理又叫乘法原理． 排列公式：m n P ＝n(n —1)(n －2)·…·(n －m ＋1)．

组合公式：m

n

C ＝(1)(1)!m n m m P n n n m P m ?-?????-+= 区分排列组合的关键是有序、无序，即排列是有序，组合是无序，

例1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中火车有2班，汽车有5班，轮船有3班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

思维点拨 乘三类交通工具的任何一种都可从甲地到乙地，即一步完成，符合加法原理：2＋5＋3＝10(种)．

例2 图书室有6本不同的科技书，9本不同的小说书，8本不同的人物传记，从中任取科技书、小说书、人物传记各1本，有多少种不同取法？

思维点拨 从中任取科技书、小说书、人物传记各1本这项工作需要3个步骤完成，即拿1本科技书，还要再拿1本小说书，最后还要拿1本人物传记．

符合乘法原理：6×9×8＝432(种)．

例3 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．

(1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？

(2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？

思维点拨 题(1)只要取1个小球就完成任务，即一个步骤，符合加法原理：5＋4＝9(种)． 题(2)需要分别从两个口袋各取1个小球才完成任务，所以要分两个步骤完成，符合乘法原理：5×4＝20(种)．

例4 从6个人中选出3人排成一排照相，有几种不同的排法？

思维点拨 从6人中选3人排成一排照相，因为位置不同，就是不同的排法，所以是有序的，是排列问题．

例5 从6个人中选出3个代表去参加同一个会议，有几种不同的选法？

思维点拨 从6人中选出3人，选出的3人去参加会议跟顺序无关，是组合问题．

例6 圆上有12个点(任意3个点都不在同一直线上)，以每3个点为顶点画一个三角形，一共可以画多少个三角形？若以每4个点为顶点画一个四边形，可以画多少个？

思维点拨从12个点中选3个点即可组成一个三角形，选出的三点跟顺序无关，因此是组合问题．选4个点组成四边形同理．

●课内练习

1．从A城到B城有三种交通工具：火车、汽车、飞机，坐火车每天有2个班次；坐汽车每天有3个班次；乘飞机每天只有1个班次，那么，从A城到B城共有几种方法可以选择？[来

2．三条平行线上分别有两个点、三个点、四个点(且不在同一直线上的三点一定不共线)，在每一条直线上取一个点，可以画出一个三角形，一共可以画几个三角形？

3．书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

(1)从中任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从中取数学、语文书各1本，有多少种不同的取法？

4.7名同学排成一排照相，共有多少种站法？

5．从7名男生和5名女生中选出5人，共有多少种选法？

6．从2，4，6，8，10 ,12，14，16中任取2数组成一道乘法算式，会有多少个不同的积？

●课外作业

1．从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个？

2．某学生在小学、初中、高中时都分别有两个学校可以选择，那么他共有几种不同的由小学读到高中的方式？

3．有三个袋子，其中一个袋子装有红色小球20个，每个球上标有1至20中的一个号码；一个袋子装有白色小球15个，每个小球上标有1至15中的一个号码；第三个袋子装有8个黄色小球，每个球上标有1至8中的一个号码．

(1)从袋子里任取1个小球，有多少种不同的取法？

(2)从袋子里任取红、白、黄色小球各1个，有多少种不同的取法？

4.9个人坐成一排，问：有多少种不同的坐法？

5．从编号为1～9的队员中选6人组成一个队，问：有多少种选法？

6．从6名学生中选出3人，另外从3名教师中选出2人组成一组一起去参加同一会议，有多少种不同的参会方式？

7．在读书活动中，一名学生要从2本科技书、3本文艺书、2本外语书中任选一本，共有多少种不同的选法？

8．资料室里有8本不同的语文杂志，6本不同的数学杂志，大江从中任取语文、数学杂志各一本，有多少种不同的取法？

9．用自然数1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复的三位数？

10.从10，11，12，13，14这五个数中任取2个数组成一道乘法算式，会出现多少种不同的积？

你知道吗

0是偶数吗?

奇数和偶数的判断标准是：凡是能被2整除的数就是偶数，不能被2整除的就是奇数．所谓整除的意思就是商是整数，而且没有余数．显然0÷2＝0．没有余数，所以0是偶数．而且0具有偶数的性质，所有的数学理论都证明0是偶数．

偶数一般可以表示为2n的形式(行是自然数)．

凡是个位数字是偶数(即0，2，4，6，8)的整数必为偶数.

两个偶数的和、差、积、商仍然是偶数.

第17讲排列组合

●培优教程

例1乘三类交通工具中的任何一种都可以从甲地直接到乙地，一步完成，是分类计算问题．所以有2＋5＋3＝10(种)不同的走法，

例2从三类书中各取一本，要3步才能完成，是分步计算问题，共有6×9×8＝432(种)不同的取法．

例3 (1)有5＋4＝9(种)取法．

(2)从两个口袋中各取1个小球，例如从甲袋中取出1个，乙袋中的每一个球都可与它相对应，即有4种取法．现甲袋中有5个球，所以就有5个4种不同的取法，共有5×4＝20(种)不同的取法，

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