2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题五解析几何第一讲直线与圆课时作业理资料

1 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题五 解析几何 第

一讲 直线与圆课时作业 理

1．(2016·惠州调研)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2

＝9的位置关系为( )

A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离 解析：两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1、半径之和为5，而1<17<5，所以两圆相交．

答案：B

2．(2016·高考全国Ⅱ卷)圆x 2＋y 2

－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )

A ．－43

B ．－34

C ． 3

D ．2 解析：先根据圆的方程求出圆心坐标，再根据圆心到直线的距离为1列出方程，解方程求出a 的值．

圆x 2＋y 2

－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12

＝1，解得a ＝－43. 答案：A 3．(2016·青岛模拟)已知A (1,2)，B (3,1)两点到直线l 的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线l 共有( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 解析：当A ，B 两点位于直线l 的同一侧时，一定存在这样的直线l ，且有两条．又|AB |＝ 3－1 2＋ 1－2 2＝5，而点A 到直线l 与点B 到直线l 的距离之和为2＋5－2＝5，所以当A ，B 两点位于直线l 的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．

答案：C

4．(2016·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )

A. 2

B. 3 C ．1 D ．3 解析：由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去

2 圆的半径，即

|1－1＋4|12＋ －1 2－2＝ 2.

答案：A 5．(2016·沈阳模拟)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2

＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( )

A ．x ＋y －2＝0

B ．x －y ＋2＝0

C ．x ＋y －3＝0

D ．x －y ＋3＝0 解析：由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，故选D.

答案：D

6．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B .O 是坐标原点，且有|OA

→＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞)

B ．[2，＋∞)

C ．[2，22)

D ．[3，22)

解析：当|OA →＋OB →|＝33

|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，

|OA →＋OB →|>33

|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．

答案：C

7．(2016·绵阳诊断)已知直线l 1：x ＋(1＋k )y ＝2－k 与l 2：kx ＋2y ＋8＝0平行，则k 的值是________．

解析：由题意得1k ＝1＋k 2≠2－k －8

，由此解得k ＝1. 答案：1 8．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2

＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解析：根据直线与圆的位置关系先求出m 的值，再求|CD |.

由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直

线l 的距离为d ＝

|3m －3|m 2＋1.

3 由|AB |＝23得? ??

??3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6

. 画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6

.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23

＝4. 答案：4

9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上．

(1)求圆C 的方程；

(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值．

解析：(1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，

故可设圆C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1.

则圆C 的半径为32＋ t －1 2＝3.

所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组：

?

???? x －y ＋a ＝0， x －3 2＋ y －1 2＝9. 消去y ，得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0.

由已知可得，Δ＝56－16a －4a 2>0.

由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋1

2.①

由OA ⊥OB ，可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a ，所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.②

由①②得a ＝－1，满足Δ>0，故a ＝－1.

10.如图，已知圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴的正半轴交于两点M ，

N (点M 在点N 的左侧)，且|MN |＝3.

(1)求圆C 的方程；

(2)过点M 任作一直线与圆O ：x 2＋y 2

＝4相交于A ，B 两点，连接AN ，BN ，

求证：k AN ＋k BN 为定值．

解析：(1)因为圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，可设圆心的坐标为(m,2)(m >0)， 则圆C 的半径为m ，又|MN |＝3，所以m 2＝4＋? ????322＝254，解得m

＝52，所以圆C 的方程为? ??

??x －52

4 2＋(y －2)2＝254

. (2)证明：由(1)知M (1,0)，N (4,0)，当直线AB 的斜率为0时，易知k AN ＝k BN ＝0，即k AN ＋k BN ＝0.

当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB ：x ＝1＋ty ，将x ＝1＋ty 代入x 2＋y 2－4＝0，并整理得，(t 2＋1)y 2＋2ty －3＝0.

设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

所以????? y 1＋y 2＝－2t t 2＋1，y 1y 2＝－3t 2＋1，则k AN ＋k BN ＝y 1x 1－4＋y 2x 2－4＝y 1ty 1－3＋y 2ty 2－3

＝2ty 1y 2－3 y 1＋y 2 ty 1－3 ty 2－3 ＝－6t t 2＋1＋6t t 2＋1 ty 1－3 ty 2－3

＝0. 综上可知，k AN ＋k BN 为定值．

11．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆被直线x －3y ＋4＝0截得的弦长为2 3.

(1)求圆O 的方程；

(2)若斜率为2的直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，且点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围．

解析：(1)设x 2＋y 2＝r 2，圆心(0,0)到直线x －3y ＋4＝0的距离d ＝2，又因为截得的弦长为23，所以r ＝ 3 2＋22＝7，圆O 的方程为x 2＋y 2＝7.

(2)设斜率为2的直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，

与圆相交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由?????

x 2＋y 2＝7，y ＝2x ＋b ，得5x 2＋4bx ＋b 2－7＝0， 则????? Δ＝140－4b 2>0，x 1＋x 2＝－4b 5，x 1x 2＝b 2－75.

已知点D (－1,0)在以AB 为直径的圆的内部，所以DA →·DB →<0，即DA →·DB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2

＋1，y 2)＝5x 1x 2＋(2b ＋1)(x 1＋x 2)＋b 2＋1＝2b 2

5－4b 5－6<0，解得－30. 所以直线l 在y 轴上的截距的取值范围为(－3,5)．