2017年暑期初升高衔接

第一讲不等式的解法

一元二次不等式的解法及高次不等式的解法

一：知识梳理

1.因式分解：把一个多项式化成几个整式相乘的形式叫做因式分解

2.分解因式常用的办法：①提公因式法②公式法③分组分解法④十字相乘法⑤添项，拆项等 典型例题

【例1】把下列各式分解因式

①x2?3x+2②x3?1 ③a2?2ab?b2?c2 ④x3?2x2y?xy2?x

【变式训练】

1①2x2?5x?2②a3?b3 ③x2?(a?)xy?y2

a3．一元二次不等式的概念

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的的不等式，称为一元二次不等式．

(2)一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式 或 (其中a≠0)． （3）．二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系

Δ＝b2－4ac y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 一元二次不等式的解法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 【例2】求下列一元二次不等式的解集．

(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.

【变式训练】解下列不等式

1

(1)2x2－x＋6>0；(2)－x2＋3x－5>0；(3)(5－x)(x＋1)≥0.

2

解题步骤

【例3】已知不等式ax2?bx?c?0的解为x?2,或者x??1,求不等式cx2?bx?a?0的解

【变式训练】已知函数f(x)?ax2?bx?c，当?1?x?2时f(x)?0，当x??1或者x?2时f(x)?0求不等

式cx2?bx?a?0的解

3.分式不等式的解法

（1）化分式不等式为标准型：方法：移项，通分，右边化为0，左边化为（2）将分式不等式转化为整式不等式求解如：

f(x)的形式 g(x)f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0?0?g(x)g(x)典型例题

【例3】解不等式 ①

?f(x)g(x)?0f(x)f(x)?ag(x)?a??0 ?g(x)g(x)g(x)?0?x?3x?311x?31?2x?0. ②?0 ③?1④?0⑤? x?7x?7x?7x2x?1

【变式训练】解下列不等式 (1)

解题步骤：

4.高次不等式的解法：

高次不等式：形如(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?0(?0)的不等式叫做高次不等式

解题步骤：①将不等式化为(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?0(?0)形式，并将各因式x的系数化“+”；

②求方程(x?x1)(x?x2)(x?x3)?(x?xn)?0各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）。

③由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点

④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等式是“<0”,则找“线”

2x－12－xx－3x＋12x＋1

≥0；(2)>1. (3)<0；(4)≤1；(5)<0. 3x＋1x＋3x＋22x－31－x

- x1 + x2 - x3 + xn-1 - xn + 典型例题 【例4】解下列高次不等式

x2?3x?2?0. （1）(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0 （2）(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)>0（3）2x?2x?3

【变式训练】

5.一元二次不等式恒成立问题与存在性问题

f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数

若f(x)>0恒成立，则：若f(x)<0恒成立，则 若f(x)>m恒成立，则： 若f(x)

(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围． (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．

【例6】解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a<0.

【变式训练】当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为全体实数.

家庭作业（一）

1.不等式2x－x－1>0的解集是( )

1??1??

A.?－2，1? B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.?－∞，－2?∪(1，＋∞) ????2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7

3.不等式x2＋x－2＜0的解________．

4.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为全体实数，求实数a的取值范围________．

5．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为( ) A．{x|x<－1或x>2} B．{x|x≤－1或x≥2}C．{x|－1

6.若0

???1A.?x?t???

2

?

?

1??

??

??

???1B.?x?x>t???

?????1

或x

?????

??

或x>t?

??

???1D.?x?t

??

? ??

x2－2x－2

7.不等式2<2的解集为( )

x＋x＋1

A．{x|x≠－2} B．全体实数C．? D．{x|x<－2或x>2} 8.不等式－1

9.若关于x的不等式x2－3x＋t＜0的解集为{x|1＜x＜m，x∈R}，则t＋m＝________.

能力提升题组（一）

1.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解为全体实数，则实数m的取值范围是( ) A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)

2.已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是______________． 3.若不等式ax＋bx＋c≥0

4.解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4>0.

2

??1?的解集为x|－3≤x≤2?，求关于??

x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．

第二讲一元二次方程中的根的分布问题

一：设一元二次方程f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)，其中??b2?4ac，如果方程有实根，设为x1,x2，则： 1． 若方程两根同号?????0； 2.若方程两根异号?x1x2?0；

?x1x2?0

???0???0??3.若方程两根为正??x1?x2?0； 4.若方程两根为负??x1?x2?0；

?xx?0?xx?0?12?125.若方程两根异号，且正根的绝对值较大??来源学&科&网Z&X&X&K]?x1?x2?0；

?x1x2?0?x1?x2?0；

xx?0?126.若方程两根异号，且负根的绝对值较大??7.若方程只有一个正根?x1x2?0，或??x1?x2?0；

?x1x2?0?x1?x2?0；

?x1x2?08.若方程只有一个负根?x1x2?0，或????0?9.若方程实根中没有正根??x1?x2?0；

?xx?0?12???0?10．若方程实根中没有负根??x1?x2?0；

?xx?0?12???0?x?x?211．若方程两根都比m大??1?m；

?2??af(m)?0???0?x?x?212．若方程两根都比m小??1?m；

?2??af(m)?013．若方程的一个根小于m且另一个大于m?af(m)?0；14．若方程在区间(m,n)内只有一个实根?f(m)f(n)?0

来源:Zxxk.Com]

典型例题

22【例1】当实数a取何值时，方程x?ax?a?3?0

（1）两根同号？（2）两根异号？

（3）两根为正？（4）两根为负？

（5）两根异号，且正根的绝对值较大？（6）两根异号，且负根的绝对值较大？

（7）只有一个正根？（8）只有一个负根？

（9）实根中没有正根？（10）实根中没有负根？

（11）实根中至多有一个正根？（12）实根中至多有一个负根？

二、结合图形理解一元二次方程的根的分布问题

.Com]

来源学*科*网Z*X*X*K]

典型例题

1.若关于x的二次方程7x?(p?13)x?p?p?2?0的两根?，?，满足0???1???2，

22求实数p 的取值范围。

[ 变式训练1.关于x的方程mx2-2(m?1)x?m-1?0,求m的取值范围 ①方程有两个正根

②方程有两个负根

③一根大于1，一根小于1

④两根都大于1

⑤一正根，一负根

源:Z

例2．若方程7x?(k?13)x?k?k?2?0有两个实根x1,x2,且0?x1?1?x2?2, 求k的取值范围

22第三讲：集合的含义和表示

一 、知识链接

1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合． 2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．

3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集． 4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2. 二、知识点梳理： 1．元素与集合的概念

(1)元素：一般地，我们把研究的对象统称为元素． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．

(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． (4)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． 2．元素与集合的关系

关系 属于 不属于 概念 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 3.常用数集及表示符号 名称 符号 4．列举法表示集合 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． 5．描述法表示集合

(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．

(2)写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

自然数集 N 正整数集 N*或N＋ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 记法 a∈A a?A 读法 a属于集合A a不属于集合A 典例分析

一、集合概念的考察

【探究】集合的实质是什么？集合的概念。 例1 下列每组对象能否构成一个集合：

(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点；

(4)3的近似值的全体．

跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________．

(1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题；(3)比较接近1的正整数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生．

规律方法： 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”

的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．

二、集合与元素的关系的考察 【探究】元素与集合的关系

例2.所给下列关系正确的个数是( ) 1

①－∈R；②2?Q；③0∈N*；④|－3|?N*.

2

A．1 B．2 C．3 D．4

跟踪演练2 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列关系中正确的是( )

A．0∈M,2∈M B．0?M,2∈MC．0∈M,2?M D．0?M,2?M

规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a与集合A，在“a∈A”与“a?A”这两种情况中必有一

种且只有一种成立．

2．符号“∈”和“?”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系． 3．“∈”和“?”具有方向性，左边是元素，右边是集合．

三、集合中元素的特性及应用（集合中元素的特征）

例3 已知集合B含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈B，试求实数a的值

来源学科网][来源学_科_网Z_X_X_K]

跟踪演练3 (2014·苏州高一检测)已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________

当堂检测一：

1．下列能构成集合的是( )

A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼 2．集合A中只含有元素a，则下列各式一定正确的是( ) A．0∈A B．a?A C．a∈A D．a＝A

3．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A(填∈或?)． 1

4．已知①5∈R；②3∈Q；③0∈N；④π∈Q；⑤－3?Z.正确的个数为________． 5．已知1∈{a2，a}，则a＝________.

6.已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且M＝N.求a，b的值．

四：集合表示的列举法的考察

例4. 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合； (3)由1～20以内的所有质数组成的集合． 跟踪演练4 用列举法表示下列集合： (1)我国现有的所有直辖市； (2)绝对值小于3的整数集合；

24

(3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象交点组成的集合．

33

规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用

列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复．

五：用描述法表示集合

例5 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；

(2)被3除余2的正整数的集合；

(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合． 跟踪演练5 用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；

(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集； (3)集合{－2，－1,0,1,2}．

规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是

文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一．

六：列举法与描述法的综合运用

例6 集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.

跟踪演练6 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k取值范围的集合．

跟踪演练7下面三个集合：A＝{x|y＝x2＋1}；B＝{y|y＝x2＋1}；C＝{(x，y)|y＝x2＋1}． 问：(1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义是什么？ 当堂检测：

1．集合{x∈N*|x－3＜2}用列举法可表示为( )

A．{0,1,2,3,4} B．{1, 2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5} 2．已知集合A＝{x∈N|－3≤x≤3}，则有( )

A．－1∈A B．0∈AC．3∈A D．2∈A 3．用描述法表示方程x＜－x－3的解集为________．

4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集用列举法可表示为________． 5．用适当的方法表示下列集合． (1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；

(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x－2＞6的解的集合；

(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合．

总结

1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则．

(2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合． 2．在用描述法表示集合时应注意：

(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能

被表面的字母形式所迷惑．

家庭作业：

一、基础达标

1．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是( ) A．2 B．3 C．4

D．5

2.(2014·长沙高一检测)若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是 A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形 3．下列关系式中，正确的是( )

A．{2,3}≠{3,2}B．{(a，b)}＝{(b，a)}C．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x＋1}D．{y|y＝x2＋1}＝{x|y＝x＋1} ?x＋y＝2，4.方程组?的解集是( )

?x－2y＝－1A．{x＝1，y＝1} B．{1} C．{(1,1)} D．(1,1)

5.集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是( )

A．2∈A，且2∈BB．(1,2)∈A，且(1,2)∈BC．2∈A，且(3,10)∈BD．(3,10)∈A，且2∈B 6.已知x，y为非零实数，则集合

?xyM＝?m|m＝|x|＋|y|

?

xy?

＋|xy|?为( )

?

A．{0,3} B．{1,3} C．{－1,3} D．{1，－3}

7.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．

C]b

8.设a，b∈R，集合A中有三个元素1，a＋b，a，集合B中含有三个元素0，a，b，且A＝B，则a

＋b＝________. 能力提升题组

9.设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则

1

∈A(a≠1)． 1－a

求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集．

10.已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}： (1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．

第四讲：集合间的基本关系

[知识链接]

1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b. 2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？ 3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？ 知识点梳理 1．Venn图

(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．

(2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． 2．子集的概念

文字语言 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集 3.集合相等与真子集的概念 定义 符号表示 A＝B AB(或BA) 图形表示 符号语言 A?B(或B?A) 图形语言 集合相等 如果A?B且B?A，就说集合A与B相等 真子集 4.空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集． (2)用符号表示为：?. (3)规定：空集是任何集合的子集． 5．子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A. (2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C. 典型例题：

一：有限集子集确定问题

例1：写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集．

如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，称集合A是B的真子集 跟踪演练1 已知集合M满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数

规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：

(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．

2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 二、集合间关系的判定

例2 指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

跟踪演练2 集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合A和B的关系．

三、由集合间的关系求参数范围问题

例3已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B?A.求实数m的取值范围．

跟踪演练3 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，求a的取值范围； (2)若B?A，求a的取值范围．

规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．

2．涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．

当堂检测

1．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( )

A．4 B．7 C．8 D．16

2．设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( )

A．{0}?M B．{0}∈MC．?∈M D．0?M

3．已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的Venn图是( )

4．已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________. 5．已知?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________． 1．对子集、真子集有关概念的理解

(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A?B的常用方法．

(2)不能简单地把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝?时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．

(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B，但x?A. 2．集合子集的个数

求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 易错点梳理：

①以正确区分各种符号的含义

②元素与集合、集合与集合之间的关系

家庭作业：

1．下列命题中，正确的有( )

①空集是任何集合的真子集；②若AB，BC，则AC；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A?B.

A．①② B．②③C．②④ D．③④

2．已知集合A?{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( )

A．6 B．5 C．4 D．3

3．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是( )

A．P?Q B．P?QC．P＝Q D．以上都不对

3．设集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P与Q的关系是( )

A．P?Q B．P?QC．P＝Q D．以上都不对

4.已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若AB，则实数a满足( )

A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4 5．(2013·江苏高考)集合{－1,0,1}共有________个子集．

6．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N?M，则实数m 的取值集合为________．7．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．

8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则实数a的取值是( A．1 B．－1 C．0,1 D．－1,0,1 9.已知集合

A＝??????x|x＝k3，k∈Z??，B＝?k

?x|x＝6，k∈Z??

，则( )

A．AB B．BAC．A＝B D．A与B关系不确定

10．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A?B，则实数a的值为________． 11．已有集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B?A，求实数m的集合．

12.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．

13.若集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，且B?A，求实数a的取值范围．

)

第五讲集合的基本运算

一、知识链接：

下列说法中，不正确的有________：

①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}； ②通知班长或团支书到政教处开会时，班长和团支书可以同时参加；

③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}． 知识点梳理：

1．并集和交集的概念及其表示 类别概念 自然语言 由所有属于集合A或者属于集合B并集 的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 由属于集合A且属于集合B的所有交集 元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 2.并集与交集的运算性质 并集的运算性质 A∪B＝B∪A A∪A＝A A∪?＝A A?B?A∪B＝B 3．全集 (1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 4．补集 文字语言 符号语言 图形语言 5.补集的性质 ?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A. 题型一 集合并集的简单运算

对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作?UA ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 交集的运算性质 A∩B＝B∩A A∩A＝A A∩?＝? A?B?A∩B＝A 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( ) A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}

(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q＝( ) A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}

跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是( )

A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3} (2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.

规律方法 解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的

定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

题型二 集合交集的简单运算

例2 (1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于( )

A．{2} B．{4}C．{0,2,4,6,8,16} D．{2,4}

(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于( )

A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4} 5

跟踪演练2 已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|x≤0，或x≥2}，求A∩B，A∪B.

规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．2．当所给集合中有一

个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．

题型三已知集合交集、并集求参数

例3 已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝?，求实数a的取值范围．

跟踪演练3 设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求a的取值范围．

规律方法

1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到．最好是把端点值代入题目验证．

当堂检测

1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )

A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}

2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为

A．{2}B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}

3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( ) A．{1,2} B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}

4．(2013·课标全国Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( ) A．A∩B＝? B．A∪B＝RC．B?A D．A?B

5．(2014·深圳高一检测)设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠?，则实数k的取值范围为________． 题型四 简单的补集运算

例4 (1)(2013·大纲全国)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?UA＝( )

A．{1,2} B．{3,4,5}C．{1,2,3,4,5} D．? (2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则?UA＝________.

跟踪演练4 已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则?UA＝________.

规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：?UU＝?，?U?＝U，A∪(?UA)＝U.

题型五 交、并、补的综合运算

例5 (1)(2013·山东高考)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?UB＝( )

A．{3} B．{4} C．{3,4} D．?

(2)(2013·浙江高考)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(?RS)∪T＝( )

A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}

跟踪演练5 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.

规律方法 1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．

题型六 补集的综合应用

例6 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B??RA，求a的取值范围．

跟踪演练6 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(?RB)＝?，求实数a的取值范围．

当堂检测

1．若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则?MN＝( ) A．? B．{1,3,5}C．{2,4} D．{1,2,3,4,5}

2．(2013·湖北高考)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩?UA＝( ) A．{2} B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}

3．(2014·驻马店高一期终)已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有( ) A．2个 B．4个C．6个 D．8个

4．已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )

A．{－1,2}B．{－1,0} C．{0,1}D．{1,2}

5．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则?UA＝________.

含参问题小专题

1.(2014·淮北高一检测)设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝?，则实数t的取值范围是

A．t＜－3 B．t≤－3 C．t＞3 D．t≥3

2.已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

3.设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1＜x≤4}，C＝{x|－3＜x＜2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝________，b＝________.

4.已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2

5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．

6.(2014·温州高一检测)已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．若B??RA，求实数m的取值

范围．

7.已知集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|x＜－1，或x＞16}，分别根据下列条件求实数a的取值范围．(1)A∩B＝?；(2)A?(A∩B)．

家庭作业：

1. 【2014课标Ⅰ，理1】已知集合A?x|x2?2x?3?0,B??x|?2?x?2?，则A?B?（ ） A．[?2,?1] B． [?1,2) C.．[?1,1] D．[1,2)

2.【2016高考新课标1理数】设集合A?xx?4x?3?0,x2x?3?0,则A?B?（） （A）??3,??（B）??3,?（C）?1,?（D）????2?????3?2???3?2??3??2??3?,3? 2??3.【2016高考新课标3理数】设集合S??x|(x?2)(x?3)?0?,T??x|x?0?，则S?T?（ ） (A) [2，3] (B)（-?，2]U[3,+?） (C)[3,+?） (D)（0，2]U[3,+?） 4.【2016年高考四川理数】设集合A?{x|?2?x?2}，Z为整数集，则A?Z中元素的个数是（）

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

5.【2015高考重庆，理1】已知集合A=?1,2,3?,B=?2,3?，则（ ）

A、A=B B、A?B=? C、A?B D、B?A

26.【2014年.浙江卷.理1】设全集U??x?N|x?2?，集合A?x?N|x?5，则CUA?（）

??A. ? B. {2} C. {5} D. {2,5}

27.【2015高考浙江，理1】已知集合P?{xx?2x?0}，Q?{x1?x?2}，则(eRP)?Q?（ ）

A.[0,1) B. (0,2] C. (1,2) D. [1,2]

8.【2016年高考北京理数】已知集合A?{x||x|?2}，B?{?1,0,1,2,3}，则A?B?（） A.{0,1}B.{0,1,2} C.{?1,0,1} D.{?1,0,1,2}

9.（山东省文登市2013-2014学年高一上学期期末统考数学试题）已知集合A?xx?2?0,x?N??B??xx?2,x?Z?，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )

（ ）

A．5

B．4

C．3

D．2

10.（黑龙江省大庆铁人中学）非空集X??xa?1?x?3a?5?,Y??x1?x?16?，使得X?(X?Y)成立的

所有a的集合是 （ ）

A．?a3?a?7? B．?a0?a?7? C．?a3?a?7? D．?aa?7?

11.（吉林省白山市第一中学2013-2014）N表示自然数集，集合A??1,3,5,7,9?B??0,3,6,9,12?，则A?CNB?

（ ）

A．?3,5,7?

B．?1,5,7?

C．?1,3,9?

D．?1,2,3?

12.（北京市东城区2013-2014学年高一第一学期期末教学统一检测数学试题）符号“eUA”可表示为

A．?xx?U且x?A?B．?xx?U且x?A?C．?xx?U?D．?xx?A?

13．（浙江省丽水市2013-2014学年度高一上学期普通高中教学质量监控数学试题）如图，阴影部分表示的集合是U

A B A．A?(eUB)

B．(eUA)?B

C．eU(A?B)

D．eU(A?B)

（第13题）

14.（辽宁省五校2013~2014学年度高一上学期期末联考数学试题）已知集合A?{1,2},B?{1,2,3}，集合

C?{t|t?x?y,x?A,y?B}，则集合C中的元素个数是

（ ）

A．4

B．5

C．6

D．7

能力提升题组

1.（广东省广州市执信中学）设全集为U?R，集合A??x|(x?3)(6?x)?0?，B??x|-2?x?14?.

(1)求如图阴影部分表示的集合；

(2)已知C??x|x?2a且x?a?1?，若C?B，求实数a的取值范围.

（

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