法治学科渗透优质课教学设计重点讲义资料

《函数模型的应用实例》教学设计

盘县第六中学 董大品 一、教学目标 1、知识与技能目标：

(1）、能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；

(2）、会利用建立的函数模型解决实际问题；

(3）、在例题分析和讲解过程中，给同学们渗透法治教育. 2、过程与方法目标：

(1)、通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；

(2)、在讲到车速和人口问题时，可以向同学们拓广《中华人民共和国道路交通安全法》和《中华人民共和国人口与计划生育法》.

3、情感、态度与价值观目标：

(1)、让学生体验“解决问题”的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的自信心；

(2)、培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；

(3)、经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点. 二、教材分析

本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例4为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题. 三、学情分析

学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节《几类不同增长的函数模型》的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 四、教学过程

（一）交流成果 提出课题

学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.

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【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题. （二）分析探究 解决实例

【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.

（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象.

【教学活动1】先让同学们观察图像，然后回答问题。在解决问题之前，老师会问：这辆汽车在哪个时间段速度最快，最快速度是多少？这个问题同学们应该都会。接着，老师又问：小汽车在高速路上行驶，最快速度不能超过多少？可能有同学会回答120 km/h。老师又会问：如果超过了120 km/h会怎么样？同学们可能会回答“要被罚款、要被扣分、可能引起交通事故等等”.此时，老师就可以对《中华人民共

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和国道路交通安全法》进行简单说明.接着请同学起来回答第一问，然后老师讲评.

第（1）题分析过程：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设臵动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积＝长×宽＝速率×时间＝路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.

【设计意图】这个问题可以让老师在教学中渗透法治教育，同事让同学们掌握从“局部到整体”、“特殊到一般”的思想来分析问题.

【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s与t的函数关系式.

由于“汽车里程表读数s＝2010＋汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程＝速率×时间，分析v与t的图象，得v是

t的分段函数，从而s是t的分段函数.

求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设臵多媒体动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点.

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然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论： （1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.

(2)据v与t的关系图，有

这个函数的图象如图2所示.

【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数

模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯.

【例2】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：

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(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;

设问：描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种函数模型需要几个因素?

y0和

r

设问：根据表中数据如何确定函数模型?

先求1951-1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定y0的值,从而确定人口增长模型. 得到马尔萨斯人口增长模型： y?55196e0.0221t,t?N设问：对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价?

作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上. 由图可以看出,所得模型1950-1959年的实际人口数据基本吻合. (2)如果按数据表的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿?

该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况，而对于受到人为影响的人口增长情况，如计划生育。如果不实行计划生育，我国将面临难以承受的压力，计划生育政策，利国利民.

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设问：依据表中增长趋势，你们算一算我国2050年的人口数是多少？

通过计算,2050年我国人口将达到52.3亿.实际上我国人口并没有这么多,因为我国实行了计划生育.老师会问:我国实行计划生育有什么好处?同学们会回答:“可以控制人口数量、可以提高人口素质、可以提高人民生活水平、有利于资源的优化配臵、有利于劳动就业等等”.此时,老师就可以对《中华人民共和国人口与计划生育法》进行简单说明。 利用函数模型既能解决现实问题，也可预测未来走向. 说明：本题体现数学建模的思想，检验模型，更体现模型的实际应用价值。

【设计意图】本题涉及人口问题，老师可以对《中华人民共和国人口与计划生育法》进行简单拓广.同时让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力. 从而初步体验解应用题的规律和方法. （三）反思过程 发现规律

【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：

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【设计意图】 学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.

（四）反馈调控 方法迁移

【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价

P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，且点(t，P)落在图

中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量

Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：

第t天 4 10 16 22

Q(万36 30 24 18

股)

（1）写出这支股票每股的日交易均价P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；

（2）根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；

（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？

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【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答. 【解析】 (1) 当

时,设

,由图象得

，解得

同样的方法可求得当

，即； 时，

.

综上可得， (2)设

. 所以：

,由题意知：

，即

，解得

（3）设第t天的日交易额为f(t)万元，则

即

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当 当

时，时，

所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.

【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.

（五）归纳小结 深化认识

引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.

（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ （2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？

【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程. （六）布臵作业 巩固提高 作业:

（1）教材107页1、2、4

（2）社会实践题：找到身边的函数应用模型实例两例 . （3）抽时间去了解我国的法律法规

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【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.同时要求同学们去了解一下我国的法律法规.

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