2019-2020年九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》利用二次函数求最值（新版）北京课改版

2019-2020年九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》利用

二次函数求最值 （新版）北京课改版

二次函数求最值的一般步骤：

（1）找等量：分析题目中的数量关系， （2）列式：列出函数关系式， （3）求最值的方法： ①配方法， ②公式法。 方法归纳：

二次函数求最值的注意事项：

①若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最值，

2

b4ac－b即当x＝－时，y最值＝；

2a4a②若自变量的取值范围是x1≤x≤x2，

2

b4ac－bb当－在x1≤x≤x2内时，有一个最值在x＝－时取得，另一个最值在两端点处取得；

2a4a2a当－不在x1≤x≤x2时，函数的最值在x＝x1和x＝x2时取得。 2a总结：

1. 能根据实际问题的情境建立二次函数模型。 2. 会利用二次函数求实际问题的最值。

b

?x＋2y＝a例题1 在关于x，y的二元一次方程组?中。

?2x－y＝1

（1）若a＝3，求方程组的解；

（2）若S＝a（3x＋y），当a为何值时，S有最值。

解析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到3x＋y，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答。

?x＋2y＝3?x＝1答案：（1）a＝3时，方程组为?，解得?。

?2x－y＝1?y＝1

（2）方程组的两个方程相加得，3x＋y＝a＋1，所以S＝a（3x＋y）＝a（a＋1）＝a＋a，所以，

2

11

当a＝－＝－时，S有最小值。

2×12

点拨：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组，（2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到3x＋y的表达式是解题的关键。

例题2 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y＝－2x＋80x＋750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是多少？

解析：先将二次函数变形，或利用公式求出此抛物线的顶点，再判断顶点是否在15≤x≤22范围内，最后根据二次函数的性质求出最大值。

答案：∵y＝－2x＋80x＋750，∴y＝－2（x－20）＋1550，∵a＝－2＜0，抛物线开口向下，函数有最大值，∴x＝20时，y最大＝1550。∵x＝20在15≤x≤22范围内，∴y的最大值为1550。

点拨：本题考查了二次函数的最值。求二次函数的最值可由图象直接得出，或是用配方法、公式法求出。但要注意自变量的取值范围，特别要注意顶点横坐标是否在题目所给的自变量的取值范围内。

2

2

2

在中考试题中，二次函数的应用问题中往往综合考查一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、不等式（组）、等知识点，这些知识与二次函数关系较为密切，理解它们之间的联系是解决这类问题的关键。

例：某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩。Q＝W＋100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与

x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比。试行中得到了表中的数据。

次数n 2 1 60 速度x 40 指数Q 420 100 （1）用含x和n的式子表示Q； （2）当x＝70，Q＝450时，求n的值； （3）若n＝3，要使Q最大，确定x的值；

（4）设n＝2，x＝40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由。

b4ac－b2

参考公式：抛物线y＝ax＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标是（－，）

2a4a2

?420＝40k1＋2×40k2＋100

解：（1）设W＝k1x＋k2nx，∴Q＝k1x＋k2nx＋100，由表中数据，得?，2

?100＝60k1＋1×60k2＋100

2

2

2

??k1＝－11

10，∴Q＝－x2＋6nx＋100。 解得?

10??k2＝6

12

（2）由题意，得450＝－×70＋6×70n＋100，∴n＝2。

10

12118

（3）当n＝3时，Q＝－x＋18x＋100，由－＜0可知，要使Q最大，x＝－＝

10101

2×（－）

1090。

12

（4）由题意，得420＝－[40（1－m%）]＋6×2（1＋m%）×40（1－m%）＋100，即2（m%）

10

2

1

－m%＝0，解得m%＝，或m%＝0（舍去）。∴m＝50。

2

解析：这道题很复杂，各小题都是根据题目所给数量关系列函数表达式或方程，解题思路较为

清楚，关键是第（1）题，正确求出Q与x、n的关系式，才能保证正确解答后面的问题。

一、选择题

1. 已知二次函数的图象（0≤x≤3）如图所示。关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）

A. 有最小值0，有最大值3 C. 有最小值－1，有最大值3

B. 有最小值－1，有最大值0 D. 有最小值－1，无最大值

2

2. 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y＝ax＋bx＋c（a≠0）。若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）

A. 第8秒

B. 第10秒

C. 第12秒

D. 第15秒

3. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（ ）

A. 600m

2

B. 625m

2

C. 650m

2

D. 675m

2

*4. 在矩形ABCD的各边AB、BC、CD和DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE＝AH＝CF＝CG，如果AB＝60，BC＝40，四边形EFGH的最大面积是（ ）

A. 1350

B. 1300

C. 1250

D. 1200

*5. 如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）

A. 当C是AB的中点时S最小

B. 当C是AB的中点时S最大

D. 当C为AB的三等分点时S最大

2

C. 当C为AB的三等分点时S最小

**6. 已知m，n，k为非负实数，且m－k＋1＝2k＋n＝1，则代数式2k－8k＋6的最小值为（ ） A. －2

二、填空题

7. 当m在可取值范围内取不同的值时，代数式27－4m＋2m的最小值是__________。

*8. 某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子。根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结5个橘子。设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种__________棵橘子树，橘子总个数最多。

**9. 已知实数x、y满足x＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为__________。

**10. 设ab≠0，且函数f1（x）＝x＋2ax＋4b与f2（x）＝x＋4ax＋2b有相同的最小值u；函数

2

2

2

2

B. 0 C. 2 D. 2.5

f3（x）＝－x2＋2bx＋4a与f4（x）＝－x2＋4bx＋2a有相同的最大值v；则u＋v的值为__________。

三、解答题

11. 已知二次函数y＝x－2ax＋2a＋3，请你探求一下，当a满足什么条件时，上述函数y的最小值为零。

12. 某商场购进一批单价为4元的日用品。若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系。

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？

**13. 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：

2

温度x/℃ 植物每天高度增长量 … … －4 41 －2 49 0 49 2 41 4 25 4.5 19.75 … … y/mm 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种。

（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由； （2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？

（3）如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？请直接写出结果。

**14. 某蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价p（元/千克）的关系如下表：

上市时间x（月份） 市场售价p（元/千克） 1 10.5 2 3 4 5 6 9 7.5 6 4.5 3 这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图像是抛物线的一段（如图所示）。（1）写出上表中表示的市场售价p（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）

**15. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。当地政府对该特产的销售投资12

收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－（x－60）＋41（万元）。当地政府拟在“十二?五”

100规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。992942

在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q＝－（100－x）＋（100－x）＋160

1005（万元）。

（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ （3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？

一、选择题

1. C 解析：此抛物线开口向上，有最小值－1；在0≤x≤3范围内，该二次函数的最大值是3。 2. B 解析：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴是：x＝10，∴炮弹所在高度最高时的时间是第10秒，故选B。

3. B 解析：设矩形的一边长为x m，则其邻边为（50－x）m，若面积为S，则S＝x（50－x）＝－x＋50x＝－（x－25）＋625。∵－1＜0，∴S有最大值。当x＝25时，最大值为625。 *4. C 解析：设AE＝AH＝CF＝CG＝x，四边形EFGH的面积是S。由题意，BE＝DG＝60－x，BF＝121

DH＝40－x，则S△AHE＝S△CGF＝x，S△DGH＝S△BEF＝（60－x）（40－x），所以四边形EFGH的面积为：S

22＝60×40－x－（60－x）（40－x）＝－2x＋（60＋40）x＝－2（x－25）＋1250（0＜x≤40）；当x＝25时，S最大值＝1250，故选C。

－21222

*5. A 解析：设AC＝x，则CB＝1－x，S＝x＋（1－x）＝2x－2x＋1，所以当x＝－＝时，

2×22S最小。此时，C是AB的中点。故选A。

**6. D 解析：∵m，n，k为非负实数，且m－k＋1＝2k＋n＝1，∴m，n，k最小为0，当n＝0时，

2

2

2

2

2

k最大为，∴0≤k≤，∵2k2－8k＋6＝2（k－2）2－2，k≤2时，代数式2k2－8k＋6的值随x的增

11212

大而减小，∴k＝时，代数式2k－8k＋6的最小值为2×（）－8×＋6＝2.5，故选：D。

222

二、填空题

7. 5 解析：27－4m＋2m＝2（m－1）＋25，当m＝1时，取得最小值为5。

*8. 10 解析：假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x＋100）棵橘子树，∵每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子，∴这时平均每棵树就会少结5x个橘子，则平均每棵树结（600－5x）个橘子。∵果园橘子的总产量为y，∴则y＝（x＋100）（600－5x）＝－5x＋100x＋60000，∴当x2

2

2

1

212

b100＝－＝－＝10（棵）时，橘子总个数最多。

2a2×（－5）

**9. 4 解析：原式可变形为x＋y＝－x－2x＋3＝－（x＋1）＋4，所以当x＝－1时x＋y的最大值是4。

**10. 0 解析：∵f1（x）＝x＋2ax＋4b＝（x＋a）＋4b－a≥4b－a，f2（x）＝x＋4ax＋2b＝（x＋2a）＋2b－4a≥2b－4a，已知4b－a＝u＝2b－4a，得－2b＝3a①，∵ab≠0，∴b＜0，又∵f3（x）＝－（x－b）＋4a＋b≤4a＋b，f4（x）＝－（x－2b）＋2a＋4b≤2a＋4b；已知4a＋

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b2＝v＝2a＋4b2，得2a＝3b2②，∵ab≠0，∴a＞0，又b＜0，∴3a－3b＋2＞0，∴②－①得，2（a＋b）＝3（b－a），解得a＋b＝0或3a－3b＋2＝0（舍去）。当a＋b＝0时，由4b－a＝u＝2b－4a2

2

2

2

得2u＝6b－5a；由4a＋b＝v＝2a＋4b得2v＝6a＋5b，∴2（u＋v）＝（6b－5a）＋（6a＋5b）＝（a＋b）[6＋5（b－a）]＝0，∴u＋v＝0。

三、解答题

11. 解：∵二次函数y＝x－2ax＋2a＋3开口向上，∴该二次函数有最小值，y的最小值是4×1×（2a＋3）－（－2a）22

＝2a＋3－a。由题意知2a＋3－a＝0，解得a1＝3，a2＝－1，∴当a4×1＝3或a＝－1时，二次函数y＝x－2ax＋2a＋3的最小值为零。

12. 解：（1）由题意，可设y＝kx＋b，把（5，30000），（6，20000）代入得：?得：?

?k＝－10000?b＝80000

?30000＝5k＋b?20000＝6k＋b2

22

222222

，解

，所以y与x之间的关系式为：y＝－10000x＋80000；

（2）设利润为W，则W＝（x－4）（－10000x＋80000）＝－10000（x－4）（x－8）＝－10000（x－12x＋32）＝－10000[（x－6）－4]＝－10000（x－6）＋40000。所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元。

答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元。

2

2

2

c＝49a＝－1????2**13. 解：（1）选择二次函数，设y＝ax＋bx＋c，得?4a－2b＋c＝49，解得?b＝－2。∴y关于

???4a＋2b＋c＝41?c＝49x的函数关系式是y＝－x2－2x＋49。不选另外一种函数的理由：点（－4，41），（－2，49），（2，

41）不在同一直线上，所以y不是x的一次函数。

（2）由（1），得y＝－x－2x＋49，∴y＝－（x＋1）＋50，∵－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值为50。即当温度为－1℃时，这种植物每天高度增长量最大。

（3）－6＜x＜4。注：可根据表格中的数据确定x的范围。

**14. 解：（1）根据表中数据可知，p与x之间符合一次函数，所以设市场售价p关于上市时间x???k＋b＝10.5?k＝－1.5

?的函数关系式为p＝kx＋b（k≠0）。由题意得 ，解得? ，故市场售价p关于上2k＋b＝9????b＝12

2

2

市时间x的关系式为p＝－1.5x＋12。

4a＋2b＋c＝6a＝??4??2

（2）设图中抛物线解析式为y＝ax＋bx＋c（a≠0），由题意得?16a＋4b＋c＝3， 解得?。

b＝－3

??36a＋6b＋c＝2??

1

c＝11

12

所以抛物线对应的函数关系式为y＝x－3x＋11。

4

1212

（3）设每千克的收益为w元，则由题意知w＝p－y＝－1.5x＋12－（x－3x＋11）＝－x＋

44

1.5x＋1，由二次函数的性质知，当x＝－＝3时有最大收益，最大收益为3.25元。所以，3月份

2a上市出售这种蔬菜每千克收益最大，最大值为3.25元。

y87654321bABCO12345678910x

**15. 解：（1）当x＝60时，P最大且为41，故五年获利最大值是41×5＝205万元。

1（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x＝50时，P值最大，P最大＝－

100（50－60）＋41＝40（万元），所以这两年获利最大为40×2＝80万元。后三年：设每年获利为y，1

设用于当地销售的投资额为x，则用于外地销售的投资额为100－x，所以y＝P＋Q＝[－（x－60）

100

2

2

99294222

＋41]＋[－（100－x）＋（100－x）＋160]＝－x＋60x＋165＝－（x－30）＋1065，表明

1005

x＝30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3＝3195万元，故五年获利最大值为80＋

3195－50×2＝3175万元。

（3）比较规划前后的最大利润可知该方案有极大的实施价值。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wu45.html