数学必修二点、直线、平面高考题(含详细答案)

1

点、直线、平面

一、选择题

1 ．（2012年高考（浙江文））设l 是直线,a,β是两个不同的平面

（ ）

A ．若l ∥a,l ∥β,则a ∥β

B ．若l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β

C ．若a ⊥β,l ⊥a,则l ⊥β

D ．若a ⊥β, l ∥a,则l ⊥β

2 ．（2012年高考（四川文））下列命题正确的是

（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

3 ．（2012年高考（浙江理））已知矩形

将?ABD 沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻着,在翻着过程中,

（ ）

A ．存在某个位置,使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置,使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置,使得直线A

D 与直线BC 垂直

D ．对任意位置,三直线“AC 与BD”,“AB 与CD”,“AD 与BC”均不垂直 4 ．（2012年高考（四川理））下列命题正确的是

（ ） A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

5 ．（2012年高考（上海春））已知空间三条直线.l m n 、、若l 与m 异面,且l 与n 异面,则 [答] （ ）

A ．m 与n 异面.

B ．m 与n 相交.

C ．m 与n 平行.

D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能.

二、填空题

6．（2012年高考（四川文））如图,在正方体

1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M

与DN 所成的角的大小是____________. 7．（2012年高考（大纲文））已知正方形

1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为1BB ,1CC 的中点,那么异面直线AE 与1D F

N

A 1

2 所成角的余弦值为____.

8．（ 2012年高考（四川理））如图,在正方体

1111ABCD A B C D -中,M 、N 分别是CD 、1CC 的中点,则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________.

9．（2012年高考（大纲理））三棱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAA CAA ∠=∠=?,则异面直线

1AB 与1BC 所成角的余弦值为_____________.

三、解答题

10．（2012年高考（重庆文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)已知直三棱柱

111ABC A B C -中,4AB =,3AC BC ==,D 为AB 的中点.(Ⅰ)求异面直线1CC 和AB 的距离;(Ⅱ)若11AB A C ⊥,求二面角11A CD B --的平面角的余弦值.

11．（2012年高考（浙江文））如图,在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,AD ⊥

.AD=2,BC=4,AA 1=2,E 是DD 1的中点,F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点.

(1)证明:(i)EF ∥A 1D 1;

(ii)BA 1⊥平面B 1C 1EF;

(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值.

12．（2012

年高考（天津文））如图,在四棱锥P A B C -中,底面A B C D 是

矩

3 形

,,1,AD PD BC PC ⊥==,2PD CD ==.

(I)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值;

(II)证明平面PDC ⊥平面ABCD ;

(III)求直线PB 与平面

ABCD 所成角的正弦值.

13．（2012年高考（四川文））如图,在三棱锥P ABC -中,90APB

∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.

(Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小;

(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小.

14．（2012年高考（上海文））如图,在三棱锥P-ABC 中,PA ⊥底面

ABC,D 是 PC 的中点.已知∠BAC=2π,AB=2,AC=23,

PA=2.求:

(1)三棱锥P-ABC 的体积;

(2)异面直线BC 与AD 所成的角的大小(结果用反三

角函数值表示).

P

A B C D

4

15．（2012年高考（陕西文））直三棱柱ABC- A 1B 1C 1中,AB=A A 1 ,CAB ∠=2π

(Ⅰ)证明11B A C B ⊥;

(Ⅱ)已知

求三棱锥11C A AB - 的体积.

16．（2012年高考（山东文））如图,几何体E ABCD -是四棱锥,△ABD 为正三角形,,CB CD EC BD =⊥.

(Ⅰ)求证:BE DE =;

(Ⅱ)若∠120BCD =?,M 为线段AE 的中点,

求证:DM ∥平面BEC .

17．（2012年高考（辽宁文））如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=

,

AB AC ==AA ′=1,点M,N 分别为/A B 和//B C 的中点.

(Ⅰ)证明:MN ∥平面

//A ACC ; (Ⅱ)求三棱锥/A MNC -的体积.

(椎体体积公式V=

13Sh,其中S 为地面面积,h 为高)

5 18．（2012年高考（课标文））如图,三棱柱

111ABC A B C 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA 1,D 是棱AA 1的中点. (I) 证明:平面1BDC ⊥平面1BDC

(Ⅱ)平面1BDC 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.

19．（2012年高考（江西文））如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,E,F 是线段AB 上的两点,且DE ⊥AB,CF ⊥

,DE=4.现将△ADE,△CFB 分别沿DE,CF 折起,使A,B 两点重合与点G,得到多面体

CDEFG.

(1) 求证:平面DEG ⊥平面CFG;

(2) 求多面体CDEFG 的体积.

20．（2012年高考（湖南文））如图6,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是等腰梯形,AD ∥BC,AC ⊥BD.

(Ⅰ)证明:BD ⊥PC;

(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD 与平面PAC 所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD 的体积.

D

6

21．（2012年高考（湖北文））某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形

的四棱台1111A B C D A B C D -,上不是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -.

(1) 证明:直线11

B D ⊥平面22AC

C A ; (2) 现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知

1121

10,20,30,13A B A B A A A A ====(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?

22．（2012年高考（广东文））(立体几何)如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,

AB ⊥平面PAD ,AB ∥CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是DC 上的点且12DF

AB =,PH 为PAD ?中AD 边上的高.

(Ⅰ)证明:PH ⊥平面ABCD ;

(Ⅱ)若1PH =

,AD =

1FC =,求三棱锥E BCF -的体积; (Ⅲ)证明:EF

⊥平面PAB .

23．（2012年高考（福建文））如图,在长方体

1111A B C D A B C D -中,11,2,AB AD AA M ===为棱1DD 上的一点.

(1)求三棱锥1A MCC -的体积

;

7 (2)当1A M

MC +取得最小值时,求证:1B M ⊥平面MAC .

24．（2012年高考（大纲文））如图,四棱锥P A B C D -中,底面A B C D 为菱形,PA ⊥底面

A B C D

,AC =2PA =,E 是PC 上的一点,2PE EC =.

(Ⅰ)证明:PC

⊥平面BED ; (Ⅱ)设二面角

A P

B

C --为90°,求P

D 与平面PBC 所成角的大小.

25．（2012年高考（北京文））如图1,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D,E 分别是AC,AB 上的中点,

点F 为线段CD 上的一点.将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1F ⊥CD,如图2.

(1)求证:DE ∥平面A 1CB;

(2)求证:A 1F ⊥BE;

(3)线段A 1B 上是否存在点Q,使A 1C ⊥平面DEQ?说明理由.

D A B P

E

8

26．（2012年高考（安徽文））如图,长方体1111D C B A ABCD -中,底面1111D C B A 是正方形,

O 是BD 的中点,E 是棱1AA 上任意一点.

(Ⅰ)证明:BD 1EC ⊥

; (Ⅱ)如果

AB =2,AE =2, 1EC OE ⊥, 求1AA 的长.

27．（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面A B C D ,AC 丄AD ,AB 丄

BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC .

(Ⅰ)证明PC 丄AD ;

(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;

(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为030,求AE 的长.

D C

B A P

9

28．（2012年高考（新课标理））如图,直三棱柱

111ABC A B C -中,112AC BC AA ==,D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1 (1)证明:BC DC ⊥1

(2)求二面角11

C B

D A --的大小.

29．（2012年高考（浙江理））如图,在四棱锥P —ABCD 中,

底面是边长为的菱形,且∠BAD=120°,且PA⊥平面

ABCD,PA=分别为PB,PD 的中点.

(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;

(Ⅱ) 过点A 作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.

10

30．（2012年高考（重庆理））(本小题满分12分(Ⅰ)小问4分(Ⅱ)小问8分)

如图,在直三棱柱111C B A ABC - 中,AB=4,AC=BC=3,D 为AB 的中点

(Ⅰ)求点C 到平面11A ABB 的距离;

(Ⅱ)若1

1AB A C ⊥,求二面角 11A CD C --的平面角的余弦值.

31．（2012年高考（四川理））如图,在三棱锥P ABC -中,90APB

∠=,60PAB ∠=,AB BC CA ==,平面PAB ⊥平面ABC .

(Ⅰ)求直线PC 与平面ABC 所成角的大小;

(Ⅱ)求二面角B AP C --的大小.

32．（2012年高考（上海理））如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA⊥底面ABCD,E 是PC 的中点.已知AB=2, AD=22,PA=2.求:

(1)三角形PCD 的面积;

(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.

A B C D P E

11

33．（2012年高考（上海春））如图,正四棱柱

1111ABCD A B C D -的底面边长为1,高为2,M 为线段AB 的中点.求:

(1)三棱锥1C MBC -的体积;

(2)异面直线CD 与1MC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)

34．（2012年高考（陕西理））(1)如图,证明命题“a 是平面π内的一条直线,b 是π

外的一条直线(b 不垂直于π),c 是直

线b 在π上的投影,

若a

b ⊥,则a

c ⊥”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明)

35．（2012年高考（山东理））在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥CD ,60,DAB FC ∠=⊥平面

,,ABCD AE BD CB CD CF ⊥==.

(Ⅰ)求证:BD ⊥平面

AED ; (Ⅱ)求二面角F

BD C --的余弦值.

36．（2012年高考（辽宁理）） 如图,直三棱柱///ABC A B C -,90BAC ∠=,

A B C D A 1B 1C 1

D 1M

12 /,AB AC AA λ==点M,N 分别为/A B 和//B C 的中点. (Ⅰ)证明:MN ∥平面

//A ACC ; (Ⅱ)若二面角/A

MN C --为直二面角,求λ的值.

37．（2012年高考（江西理））在三棱柱

111ABC A B C -中,

已知14AB AC AA BC ====,在1A 在底面ABC 的

投影是线段BC 的中点O 。

(1)证明在侧棱1AA 上存在一点E ,使得OE ⊥平面11BB C C ,并求出AE 的长;

(2)求平面11A B C 与平面11BB C C 夹角的余弦值。

38．（2012年高考（江苏））如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,11

11A B AC =,D E ，分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥，为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ;

(2)直线1//A F

平面ADE

.

13

39．（2012年高考（湖南理）） 如图5,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是CD 的中

点.

(Ⅰ)证明:CD⊥平面PAE;

(Ⅱ)若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥P-ABCD 的体积.

40．（2012年高考（湖北理））如图1,45ACB ∠=,3BC =,过动点

A 作AD BC ⊥,垂足

90BDC ∠=(如图2

D 在线段BC 上且异于点B,连接AB,沿AD 将△ABD 折起,使所示).

(Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;

(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在 棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.

41．（2012年高考（广东理））如图5所示,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD ,点E 在线段PC

上,PC ⊥平面BDE . (Ⅰ)证明:BD ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若1PA =,2AD =,求二面角B PC A --的正切值.

A

B

C D P

E

图5

D

A

B

C

A

C

D

B

图

2

图1

M E

. ·

14 42．（2012年高考（福建理））如图,在长方体

1111ABCD A B C D -中1,AB AD E ==为CD 中点. (Ⅰ)求证:11B E AD ⊥

(Ⅱ)在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ?若存在,求AP 的长;若不存在,说明理由.[ (Ⅲ)若二面角11A B E A --

的大小为30?,求AB 的长.

43．（2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥底面

ABCD

,AC =2,PA E =是PC 上的一点,2PE EC =.

(1)证明:PC ⊥平面BED ;

(2)设二面角A PB C --为90?,求PD 与平面PBC 所成角的大小.

44．（2012年高考（北京理））如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是AC,AB 上的点,

且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2.

(1)求证:A 1C⊥平面BCDE;

(2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;

(3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.

45．（2012

年高考（安徽理））平面图形111ABB AC C 如图4所示,其中11BB C C 是矩形,12,4BC BB ==

,AB AC ==

D

15 1111A B AC ==现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠,使ABC ?与

111A B C ?所在平面都 与平面11BB C C 垂直,再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答 下列问题.. (Ⅰ)证明:1AA BC ⊥; (Ⅱ)求1

AA 的长; (Ⅲ)求二面角1A BC

A --的余弦值.

16 参考答案

一、选择题

1. 【答案】B

【命题意图】本题考查的是平面几何的基本知识,具体为线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质.

【解析】利用排除法可得选项B 是正确的,∵l ∥a,l ⊥β,则a ⊥β.如选项A:l ∥a,l ∥β时, a ⊥β或a ∥β;选项C:若a ⊥β,l ⊥a,l ∥β或l

β?;选项D:若若a ⊥β, l ⊥a,l ∥β或l ⊥β.

2. [答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

3. 【答案】B

【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可知选项B 是正确的.

4. [答案]C

[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D 错;故选项C 正确.

[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.

5. D

二、填空题

6. [答案]90o

[解析]方法一:连接D 1M,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M,

所以,DN ⊥平面A 1MD 1,

又A 1M ?平面A 1MD 1,所以,DN ⊥A 1D 1,故夹角为90o

方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)

故,），（），（2,121,2,01-== 所以,cos<|MA ||DN |111?=?? = 0,故DN ⊥D 1

M,所以夹角为90o [点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决.

7. 【解析】正确的是②④⑤

17 ②四面体ABCD 每个面是全等三角形,面积相等

③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180ο

④连接四面体

ABCD 每组对棱中点构成菱形,线段互垂直平分 ⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

8. [解析]方法一:连接D 1M,易得DN⊥A 1D 1 ,DN⊥D 1M,

所以,DN⊥平面A 1MD 1,

又A 1M ?平面A 1MD 1,所以,DN⊥A 1D 1,故夹角为90o

方法二:以D 为原点,分别以DA, DC, DD 1为x, y, z 轴,建立空间直角坐标系D —xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A 1(2,0,2)

故,），（），（2,121,2,01-=

=MA DN 所以,cos<|MA ||DN |111MA DN MA DN ?=??， = 0,故DN⊥D 1

M,所以夹角为90o 9.

答案6

【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解.用空间向量进行求解即可.

【解析】设该三棱柱的边长为

1,依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-,则22221111||()222cos603AB AB AA AB AB AA AA =+=+?+=+?=

2222211111||()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++?-?-?=而1111()()AB BC AB AA AC AA AB ?=+?+-

1111111111112222AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB

=?+?-?+?+?-?=+-++-=

111111cos ,6||||2AB BC AB BC AB BC ?∴<>=

== 三、解答题

10. 【答案】:(Ⅰ)(Ⅱ)13

【解析】:(Ⅰ)如答(20)图1,因AC=BC, D 为AB

的中点,故CD ⊥AB.

又直三棱柱中,1

CC ⊥ 面ABC ,

故1CD CC ⊥ ,所以异面直线1CC 和AB 的距离为=

18 (Ⅱ):由1CD

,CD ,AB BB ⊥⊥故CD ⊥ 面11A ABB ,从而1CD DA ⊥ ,1CD DB ⊥故11A DB ∠ 为所求的二面角

11A CD B --的平面角. 因1A D 是

1A C 在面11A ABB 上的射影,又已知11C,AB A ⊥ 由三垂线定理的逆定理得11D,AB A ⊥从而11A AB ∠,1A DA ∠都与1B A B ∠互余,因此111A A B A D A ∠=∠,所以1R t A A D ≌11Rt B A A

,因此1111A A A B A D A A

=得21118AA AD A B =?=

从而111A D B D A D ===所以在

11A DB 中,由余弦定理得222111111111cos 23A D DB A B A DB A D DB +-==? 11. 【命题意图】本题主要以四棱锥为载体考查线线平行,线面垂直和线面角的计算,注重与平面几何的综合, 同时考查空间想

象能力和推理论证能力.

(1)(i)因为1111//C B A D ,11C B ? 平面ADD 1 A 1,所以11//C B 平面ADD 1 A 1.

又因为平面11B C EF

平面ADD 1 A 1=EF ,所以11//C B EF .所以11//A D EF .

(ii) 因为1

1111BB A B C D ⊥,所以111BB B C ⊥, 又因为111BB B A ⊥,所以1111B C ABB A ⊥,

在矩形11ABB A 中,F 是AA 的中点,

即111tan tan 2A B F AA B ∠=∠=

.即 111A B F AA B ∠=∠,故11BA B F ⊥.

所以1BA ⊥平面11B C EF .

(2) 设1BA 与1B F 交点为H,连结1C H .

由(1)知11B C EF ,所以1BC H ∠是1BC 与平面11B C EF 所成的角. 在矩形11ABB A 中

,AB =,12AA =,

得BH =,在直角1BHC 中

,1BC =

,BH =得

19 11sin 15BH BC H BC ∠==,所以BC 与平面11B C EF

所成角的正弦值是15.

12. 解:(1)如图,在四棱锥

P ABCD -中,因为底面ABCD 是矩形,所以AD BC =,且//AD BC ,又因为AD PD ⊥,

故PAD ∠或其补角是异面直线PA 与BC 所成的角. 在Rt PDA ?中,tan 2PD PAD AD ∠==,所以异面直线PA 与BC

所成角的正切值为2.

(2)证明:由于底面ABCD 是矩形,故AD CD ⊥,又由于A ⊥,CD PD D ?=,因此AD ⊥平面PDC ,而AD ?平面ABCD ,所以平面PDC ⊥平面ABCD .

(3)在平面PDC 内,过点P 作PE CD ⊥交直线CD 于点E ,连接EB .由于平面PDC ⊥平面ABCD ,由此得PBE ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角.

在PDC ?中

,2,PD CD PC ===可得30PCD ∠=?

在Rt PEC ?中

,sin 30PE

PC =?=由//,AD BC AD ⊥平面PDC ,得BC ⊥平面PDC ,因此BC PC ⊥

在Rt PCB ?中

,PB ==在Rt PEB ?中

,sin 13PE PBE PB ∠=

= 所以直线PB 与平面ABCD

.

13. [解析](1)连接OC. 由已知,ABC PC OCP 与平面为直线∠所成的角

设AB 的中点为D,连接PD 、CD.

因为AB=BC=CA,所以CD ⊥AB.

因为为，所以，PAD PAB APB ??=∠?=∠6090等边三角形,

不妨设PA=2,则OD=1,OP=3, AB=4.

所以CD=23,OC=1312122=+=+CD OD .

在Rt 中，OCP ?tan 1339133===

∠OC OP OPC (2)过D 作DE AP ⊥于E,连接CE.

由已知可得,CD ⊥平面

PAB.

20 据三垂线定理可知,CE ⊥PA,

所以,的平面角——为二面角C AP B CED ∠.

由(1)知,DE=3

在Rt △CDE 中,tan 23

32===∠DE CD CED 故2arctan 的大小为——二面角C AP B

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面角)、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角)、三求(有了二面角的平面角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值).

14. [解](1)3232221=??=?ABC S , 三棱锥P-ABC 的体积为

3343131232=??=?=?PA S V ABC (2)取PB 的中点E,连接DE 、AE,则 ED ∥BC,所以∠ADE(或其补角)是异面直线

BC 与AD 所成的角

在三角形ADE 中,DE=2,AE=2,AD=2,

43222222

22cos ==∠??-+ADE ,所以∠ADE=43arccos . 因此,异面直线BC 与AD 所成的角的大小是43

arccos

15.

16. 证明:(I)设BD 中点为O,连接OC,OE,则由BC CD =知CO BD ⊥,

又已知CE BD ⊥,所以BD ⊥平面OCE.

所以BD OE ⊥,即OE 是BD 的垂直平分线,所以BE DE =. P

A B C

D E

21 (II)取AB 中点N,连接,MN DN ,∵M 是AE 的中点,∴MN ∥BE ,

∵△ABD 是等边三角形,∴DN AB ⊥.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,

所以∠ABC=60°+30°=90°,即BC AB ⊥,所以ND ∥BC,

所以平面MND ∥平面BEC,又DM ?平面MND,故DM ∥平面BEC.

另证:延长BC AD ,相交于点F ,连接EF.因为CB=CD,090=∠ABC .

因为△ABD 为正三角形,所以0090,60=∠=∠ABC BAD

,则030=∠AFB , 所以AF AB 2

1=,又AD AB =, 所以D 是线段AF 的中点,连接DM,

又由点M 是线段AE 的中点知EF DM

//, 而?DM 平面BEC, ?EF 平面BEC,故DM ∥平面BEC.

17. 【答案与解析】

(1) 证明:取

''A B 中点P,连结MP,NP,而M,N 分别是A 'B 与'B 'C 的中点,所以,

MP ∥A 'A ,PN ∥'A 'C ,所以,MP ∥平面'A AC 'C ,PN ∥平面'A AC 'C ,又

MP NP p ?=,因此平面

MPN ∥平面'A AC 'C ,而MN ?平面MPN,所

以,MN ∥平面'A AC 'C

,

【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,难度适中.第一小题可以通过线线平行来证明线面平行,也可通过面面平行来证明;第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键,也可以采用割补发来球体积.

18. 【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算,考查空间想象能力、逻辑推理

能力,是简单题.

【解析】(Ⅰ)由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC,1CC AC

C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ,

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