四川省成都石室中学2015届高考模拟(二) 数学(理)试题(word版)

高考提分，学霸之路

ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35 成都石室中学高2015届考前模拟数学试题

1、 已知集合},,4|{2R x x x A ∈≤=},4|

{Z x x x B ∈≤=,则=?B A （ C ） A.)2,0( B.]2,0[

C. }2,1,0{

D. }2,0{ 2、已知z 为复数，()()2311i z i -=+（i 为虚数单位）

，

则z ＝( B) A 、1i + B 、1i -+ C 、1i - D

、1

i --

3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出

k s ,的值依次为（ D ）

（A ）32,63 （B ）64,63

（C ）63,32 （D ）63,64

4．某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是

32， 则正视图中的x 的值是（ C ）

A.2

B.92

C.32

D.3 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若

2244a S a S =，则12015S S 等于（ C ）

（A ）2015 （B ）2015- （C ）1 （D ）1-

6．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“AB =的（A ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

7、已知函数()sin()4f x A x π

ω=-(0,0)A ω>>的部分图象如图所示，EFG ?是边长为2 的

等边三角形，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ A ）

A ．向左平移

12个长度单位 B ．向右平移12个长度单位 C ．向左平移4π个长度单位 D ．向右平移4

π个长度单位 8．定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，当1

(0,]2x ∈时，12()log (1)f x x =-，则

()f x 在区间3(1,)2

内是（ A ） A ．减函数且()0f x < B ．减函数且()0f x >

C ．增函数且()0f x >

D ．增函数且()0f x <

9.如右图，在棱长为1的正方体中，点分别是 棱的中点，是侧面内一点，若平面则线 1111ABCD A B C D -, E F 1,BC CC P 11BCC B 1//A P ,AEF

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ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35 段长度的取值范围是（ C ）

A. B. C. D.

10．已知函数设两曲线有公共点，且在该点处的切线相同，则时，实数的最大值是（ A ） A

．

B ．

C ．

D ． 11、已知()1n x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()()0111n x a a x -=+++

()221a x ++???()1n

n a x ++，则1a 等于 448

12．如图，为测量坡高MN

，选择A 和另一个山坡的坡顶C 为测

量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角

∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知坡

高BC=50米，则坡高MN= 75 米．

13．甲、乙两人约定在10点半到12点会面商谈事情，约定先到者应等候另一个人20分钟，即可离去，求两人能会面的概率

3281

（结果用最简分数表示）． 14、设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（O 为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 5 ． 15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 1、2、3 . ①函数3231y x x =+-的图象关于点(0,1)成中心对称；

②对,x y R ?∈。若0x y +≠，则1x ≠或1y ≠-；

③若实数,x y 满足221x y +=，则

2

y x +； ④若ABC ?为锐角三角形，则sin cos A B <。 ⑤在中，5BC =，G ，O 分别为ABC V 的重心和外心，且

，则ABC V 的形

状是直角三角形；

16. 已知函数22()3cos 2sin cos sin f x x x x x =++． （1）求()f x 的最大值，并求出此时x 的值； （2）写出()f x 的单调区间．

17. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面, ,且, 1A P ()()2212,3ln 2

f x x ax

g x a x b =

+=+()(),y f x y g x ==(0,)a ∈+∞b 2332e 6136e 616e 2372e 1F 2F ()22

2210,0x y a b a b

-=>>P ()

220OP OF PF +?= 1234PF PF = ABC ?P ABCD -PA ⊥ABCD //,AD BC AD CD ⊥2AD CD BC PA ====A B C D

M

P

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35

点在上.

（1）求证:;

（2）若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.

18、（本题满分12分）某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，

这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下者到乙部门工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作． （1）如果用分层抽样的方法从甲部门人选和

乙部门人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是甲部门人选的概率是多少？

（2）若从所有甲部门人选中随机选3人，用X

写出X 的分布列，并求出X 的数学期望．

19、（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足121, a a =且、73a -、8a 成等比数列，数列{}n b 的

前n 项和1n n T a =-（其中a 为正常数）． （1）求{}n

a 的前n 项和n S ；

（2）已知*2a N ∈，1122n n n I

a b a b a b =++???+，求n I

20、（本题满分13分）已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>

，12,F F 是椭圆的两个焦点，P 是椭

圆上任意一点，且12PF F 的周长是8+． （1）求椭圆C 的方程； （2）设圆T ：()2

24

9

x t y -+=

，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．

21、（本题满分14分）已知函数2

()ln()f x x a x

=++

，()ln g x x =． （1）已知()f x 在[),e +∞上是单调函数，求a 的取值范围；

M PD AB PC ⊥M AC D --45 BM PAC

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35 （2）已知,,m n ξ满足0n m ξ>>>，且()()()

'g n g m g n m ξ-=-，试比较ξ与mn 的大小；

（3）已知2a =，是否存在正数k ，使得关于x 的方程()()f x kg x =在[),e +∞上有两个不相

等的实数根？如果存在，求k 满足的条件；如果不存在，说明理由．

16．（1）,Z 8x k k π

π=+∈;（2）5[,],Z 88

k k k π

πππ++∈． 【解析】

试题分析：（1）将原函数利用倍角公式，化为一角一函数，进而求得其最大值及其对应的x 的值;

（2）根据sin y x =的单调性及其运算性质，得到所求函数的单调性．

试题解析：（1）3(1cos 2)1cos 2()sin 222x x f x x +-=++sin 2cos22x x =++)24x π

=++

所以()f x 的最大值为2+,Z 8

x k k ππ=+∈． 5分 （2）由222242k x k πππππ-≤+≤+得388

k x k ππππ-≤≤+； 所以()f x 单调增区间为：3[,],Z 88

k k k ππππ-+∈； 由3222242k x k πππππ+≤+≤+得588

k x k ππππ+≤≤+ 所以()f x 单调减区间为：5[,],Z 88

k k k ππππ++∈。 10分 考点：1．三角公式；2．三角函数的单调性．

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35

17．解：(Ⅰ)如图,设为的中点,连结,

则,所以四边形为平行四边形,

故,又,

所以,故,

又因为平面,所以,

且,所以平面,故有…………………………………5分 (Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线

为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.

则,

设,易得, 设平面的一个法向量为,则, 令

得,即. 又平面的一个法向量为, 由题知,解得, 即,而是平面的一个法向量, 设平面与平面所成的角为,则. 故直线与平面

.…………………………………12分 18解：（1）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是

82205

=，根据茎叶图，甲部门入选10人，乙部门入选10人，所以选中的甲部门人选有2105?=4人，乙部门人选有2105?=4人。用事件A 表示至少有一名甲部门人选被选中，则P(A)=343813114

C C -=，因此至少有一人是甲部门人选的概率是1314

…………6分 (2)依题意，X 的取值分别是0，1，2，3

E BC AE ,//AD EC AD EC =AECD AE BC ⊥AE BE EC ===45ABC ACB ∠=∠= AB AC ⊥PA ⊥ABCD AB PA ⊥PA AC A = AB ⊥PAC AB PC ⊥A ,,AE AD AP ,,x y z A xyz -(0,0,0),(0,0,2)A E B C D P -,2)(01)PM PD λλλ==-≤≤

,22)M λ-AMC 1(,,)x y z =n 110(22)0

AC AM y z λ??=+=???=+-=??n n 2,y =22,1t x z t =-=-12(2,2,)1

t t =--n ACD 2(0,0,1)=n 1212122|

||||cos ,|cos45||||λ?<>===?n n n n n n 12λ=(M BM =- AB =- PAC BM PAC θsin |cos ,|BM AB θ=<>== BM PAC

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35 ()03643101030C C P X C ===， ()12643103110

C C P X C === ()2164310122C C P X C ===， ()3064310136

C C P X C === 因此，X 的分布列如下：

………11分

所以X 的数学期望1311901233010265

EX =?

+?+?+?= ………………12分

19、解：（1）设{}n a 的公差是d ，则 ()()()()222873117163a a a d d d =-∴++=+- 1d ∴=或329

d = …………………4分 当d=1时,()()11111122

n S n n n n n =?+-?=+ 当329d =时,()213355112295858

n S n n n n n =?+-?=+ ……………6分 （2）2n a N a n ∈∴=

当1n =时，11b a =-

当2n ≥时，()111n n n n b T T a

a --=-=- ()()()1111111*n n

b a a a b a a n N --=-=-∴=-∈ …………8分 当1a =时，00n n b I =?= ……………9分 当1a ≠时

()()()()211121311n n I a a a a

a na a -=?-+-+-+???+- ()()()()()21 121111n n n aI a a a a n a a na a -∴=-+-+???+--+-

()()()()()111111n n n a I a a a a

a na a -∴-=-+-+???+--- ()11n n a na

a =---

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35 11n n

n a I na a -∴=-- …………………11分 ()()()()0110,11,1n n n a I a na a a ?=?∴=?--∈?+∞?-?

…………………12分 20解：（1）由e =a=4b ，c = 因为12PF F 的周长是8+228a c +=+所以a=4,b=1,所求椭圆方程为2

2116

x y += …………………………4分 （2）椭圆的上顶点为M(0,1)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为1y kx =+， 由直线1y kx =+与T 23=， 即()

22941850t k tk -++= 121222185,9494

t k k k k t t ∴+=-=--，…………6分 由1221116

y k x x y =+???+=??得()2211116320k x k x ++= 12132116E k x k ∴=-+ 同理 222

32116F k x k =-+ ………8分 ()()121211E F E F E F EF E F E F E F

k x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--===--- 122126116283k k t k k t

+==-- ……………11分 当1

-为增函数,故EF 的斜率的范围为6,1825?? ???

……………13分

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35 21.解：（1）()()2ln f x x a x =++ ()()

2221222'x x a f x x a x x x a --∴=-=++ ()f x 在[),e +∞上单调

20220x a x x a +>?∴?--≥?或20220

x a x x a +>??--≤? 212a e a x x >-??∴?≤-??或212

a e a x x >-???≥-?? 当x e ≥时，

221122x x e e -≥- 2

12

e a e e ∴-<≤- ………………………4分 （2） ()()()'g n g m g n m ξ-=- 1ln ln n m n m

ξ-∴=- 设()()12ln 1h x x x x x =-+>，则()()222

121'10x h x x x x -=--=-< ()()10h x h ∴<= ， ∴当1x >时，12ln x x x <-

令x = ln ln n m ∴-<

? ln ln n m n m -<- 1

ξ∴< 即ξ> …………………9分 （3）假设方程()()f x kg x =存在满足条件的二个实数根12,x x ，且21x x e >≥，则

()()()()11111122222222ln 2ln ln 2ln 22ln ln 2ln 2ln x k x x x x x x x x k x x x ?++=++???=??++++=??

即()()12121222ln 2ln 2ln ln x x x x x x ++

++=

高考提分，学霸之路 ee49b9d86037ee06eff9aef8941ea76e58fa4a35

()()11221

2

12

2

2

ln 2ln ln 2ln ln ln x x x x x x x x ++

-++-=

1122122222ln 1ln 1ln ln x x x x x x ????++++ ? ?????=?111

2

22

22ln 1ln ln 22ln 1x x x x x x ??++ ???=

??

++ ???

21x x e >≥ 111222

22ln 122

122ln 1x x x x x x ??++

??

?∴>?>??

++ ???

而

1

2

ln 1ln x x < ∴111

2

22

22ln 1ln ln 22ln 1x x x x x x ??++

???>

??++ ???

∴方程不存在满足条件的二根。 …………………14分

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