期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权定价中的蒙特卡洛模拟方法

期权作为最基础的金融衍生产品之一，为其定价一直是金融工程的重要研究领域，主要使用的定价方法有偏微分方程法、鞅方法和数值方法。而数值方法又包括了二叉树方法、有限差分法和蒙特卡洛模拟方法。

蒙特卡洛方法的理论基础是概率论与数理统计，其实质是通过模拟标的资产价格路径预测期权的平均回报并得到期权价格估计值。蒙特卡洛方法的最大优势是误差收敛率不依赖于问题的维数，从而非常适宜为高维期权定价。

§1. 预备知识

◆两个重要的定理：柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)强大数定律和莱维一林德贝格(Levy-Lindeberg)中心极限定理。

大数定律是概率论中用以说明大量随机现象平均结果稳定性的一系列极限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是随机变量序列同分布的Kolmogorov强大数定律：

设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若

E[?k]????,k?1,2,?则有p(lim??kn??nk?1n1n??)?1

显然，若?1,?2,?,?n是由同一总体中得到的抽样，那么由

1k此大数定律可知样本均值??当n很大时以概率1收敛于

nk?1总体均值?。

1

中心极限定理是研究随机变量之和的极限分布在何种情形下是正态的，并由此应用正态分布的良好性质解决实际问题。

设?1,?2,?为独立同分布的随机变量序列，若

nE[?k]????,D[?k]??2??,k?1,2,?nk则有12?x??k?1k?n????N(0,1)

dn?21其等价形式为limP(n????nk?1???x)??n?exp(???t2)dt,???x??。

◆Black-Scholes期权定价模型 模型的假设条件：

1、标的证券的价格遵循几何布朗运动

dSS

其中，标的资产的价格S是时间t的函数，?为标的资产

dW是维纳过程。?为标的资产的波动率，的瞬时期望收益率，

??dt??dW2、证券允许卖空、证券交易连续和证券高度可分。 3、不考虑交易费用或税收等交易成本。 4、在衍生证券的存续期内不支付红利。 5、市场上不存在无风险的套利机会。 6、无风险利率r为一个固定的常数。

下面，通过构造标的资产与期权的资产组合并根据无套利定价原理建立期权定价模型。首先，为了得到期权的微分形式，先介绍随机微积分中的最重要的伊藤公式。

伊藤Ito公式：设V

?V(S,t)，V是二元可微函数，若随机

2

过程S满足如下的随机微分方程

dSS??(S,t)dt??(S,t)dW

?V?S则有

dV?(?V?t??(S,t)S?V?S?12?(S,t)S22?V?S22)dt??(S,t)SdW

根据伊藤公式，当标的资产的运动规律服从假设条件中的几何布朗运动时，期权的价值VdV?(?V?t?12?V(S,t)的微分形式为

2?S22?V?S2??S?V?S)dt??S??V?S?V?S现在构造无风险资产组合??V经整理后得到

?V?t?12

S，即有d?dW?r?dt，

?S22?V?S22?rS?V?S?rV?0

这个表达式就是表示期权价格变化的Black-Scholes偏微分方程。它同时适合欧式看涨期权、欧式看跌期权、美式看涨期权和美式看跌期权，只是它们的终值条件和边界条件不同，其价值也不相同。

欧式看涨期权的终边值条件分别为

V(S,T)?max?0,ST?K??0????????S?0V(S,T)???S???????S??，

通过求解带有终边值条件的偏微分方程，得出欧式看涨期权的的解析解：

V(S,t)?SN(d1)?Ke?r(T?t)N(d2)2

/2)(T?t)其中，

N(d)?12??d??e?x22dx，

d1?ln(S/K)?(r???T?t，d2?d1??T?t，T为期权的执行日期，K为期权的执行价格。

3

欧式看跌期权的终边值条件分别为

V(S,T)?max?0,K?ST??K????????S?0V(S,T)???0?????????S??，

此外，美式看涨期权的终值条件为V(S,t)?max{0,S?K}，美式看跌期权的终值条件为V(S,t)?max{0,K洛模拟、有限差分法等）求得其近似解。

◆风险中性期权定价模型

如果期权的标的资产价格服从几何布朗运动

dSS?S}。然而，美式

期权的价值没有解析解，我们一般可通过数值方法（蒙特卡

即标的资产的瞬时期望收益率?取为无风险利率r。同理，根据伊藤公式可以得到

dlnS?(r??rdt??dW?22)dt??dW

?2lnST?lnSt?(r??22)(T?t)??(WT?Wt)~N((r?2)(T?t),?(T?t))2

ST?Stexp((r??22)(T?t)??(WT?Wt))

2

对数正态分布的概率密度函数：设??~N(?,?)，??e?，则

的密度函数为

2?1(lnx??)exp(?)??????????x?0???????2P?(x)??2??x2??0??????????????????????????????????????????????????x?0????

根据上述公式，得到标的资产S的密度函数如下

T 4

2?x?2(ln?(r?)(T?t))?St21?exp(?)?????????????x?0P(x)??22?(T?t)?2?T?t?x??0??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????x?0

在风险中性概率测度下，欧式看涨期权定价为：

V(S,t)?exp(?r(T?t))E[max{0,ST?K}]Q

2E[max{0,ST?K}]?Q???K1(lnT?texp(?xSxS?(r?2??2?22??T?t?)(T?t))2)(T?t))2)dx????KKx?2?T?t(lnexp(??(r?2?222??T?t?)dx

接下来，求解以上风险中性期望。首先，对上式的右边第一个广义积分分别作变量替换

lny?xS?(r??2?2T?t)(T?t)和u?(lnxSy??T?t，可以得到

2???K1?(r??2?2?T?t??lnKS?(r?exp(?222??T?t?2)(T?t)))dxlnSK?(r?)(T?t)2T?t?2?Ser(T?t)?1?22)(T?t)2?e?u2du?Ser(T?t)????12?e?u22du?Ser(T?t)N(d1)?T?t

再对等式的右边的第二个无穷积分，令

lnx?lnS?(r?u??22)(T?t)?T?t，可求得

(lnxS?(r?2?2???KKx???lnK?lnS?(r?2?T?texp(?22?(T?t))(T?t))2)dx?2?K?1?22)(T?t)2?e?u2lnS?lnK?(r?2)(T?t)2du?K????T?t12?e?u22du?KN(d2)?T?t

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将以上的计算结果代入期望等式中，得到欧式看涨期权的价格公式为：

V(S,t)?e?r(T?t)E[max{0,ST?K}]?SN(d1)?Ke2Q?r(T?t)N(d2)

lnSK?(r?其中，

d1??)(T?t)2T?t?，d2?d1??T?t。

可以看出，对于欧式看涨期权的风险中性定价方法的结果与基于资产复制的偏微分方程定价方法的结果是一致的。基于风险中性的期权定价原理在于：任何资产在风险中性概率测度下，对于持有者来说都是风险偏好中性的，便可用风险中性概率求取期权的期望回报再将其进行无风险折现便是初始时刻的期权价值。蒙特卡洛模拟方法就是一种基于风险中性原理的期权数值定价方法。

§2. 蒙特卡洛模拟方法及其效率

假设所求量?是随机变量?的数学期望E[?]，那么近似确定?的蒙特卡洛方法是对?进行n次重复抽样，产生独立同分布的随机变量序列?1,?2,?,?n，并计算样本均值

?n?1nk??nk?1。那么根据Kolmogorov强大数定律有

p(lim?n??)?1。因此，当n充分大时，可用?n作为所求n??量?的估计值。

由中心极限定理可得到估计的误差。设随机变量?的方

6

差D[?]??2??，对于标准正态分布的上?22分位数Z?2，有

p(?n???Z???n)?12??Z??Z?2exp(?2t22)dt?1??这表明，置信水平1??对应的渐近置信区间是

?n?Z?2??n。实际上，由此可确定蒙特卡洛方法的概率

2化误差边界，其误差为Z?

??n，误差收敛速度是O(n?12)。

不难看出，蒙特卡洛方法的误差是由?和

n决定的。

在对同一个?进行抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定?，将n增大100倍；要么固定n将?减小10倍。若两个随机变量?1,?2的数学期望E[?1]?E[?2]??，

?1??2，那么无论从?1或?2中抽样均可得到?的蒙特卡洛估

计值。比较其误差，设获得?i的一个抽样所需的机时为ti，

?1?2Tn??那么在时间T内生成的抽样数i，则ti，若使nn12需使?1t1??2t2。因而，若要提高蒙特卡罗方法的效率，不能单纯考虑增加模拟的次数n或是减小方差?，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差?与机时t的乘积尽量的小。

2

2

§3. 蒙特卡洛模拟方法为期权定价的实现步骤

期权定价的蒙特卡洛方法的理论依据是风险中性定价原理：在风险中性测度下，期权价格能够表示为其到期回报的贴现的期望值，即P?E[exp(?rT)f(S1,S2,?,ST)]

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Q，其中

的E表示风险中性期望，r为无风险利率，T为期权的到期执行时刻，f(S1,S2,?,ST)是关于标的资产价格路径的预期收益。

由此可知，计算期权价格即就是计算一个期望值，蒙特卡洛方法便是用于估计期望值，因此可以得到期权定价的蒙特卡洛方法。一般地，期权定价的蒙特卡洛模拟方法包含以下几步（以欧式看涨期权为例）:

(l)在风险中性测度下模拟标的资产的价格路径 将时间区间[0,T]分成n个子区间0?t的资产价格过程的离散形式是

S(ti?1)?S(ti)ejj(r?120Q?t1?t2???tn?T，标

?2)(ti?1?ti)??ti?1?tizi，zi~N(0,1)

(2)计算在这条路径下期权的到期回报，并根据无风险利率求得回报的贴现

C?exp(?rT)max?0,ST?K?

jj(3)重复前两步，得到大量期权回报贴现值的抽样样本 (4)求样本均值，得到期权价格的蒙特卡洛模拟值

CMC?1mmmexp(?rT)?max?0,ST?K?jjj?1exp(?rT)?C?j?1m

另外，我们还可以得到蒙特卡洛模拟值与真值的概率化误差边界，这也是蒙特卡洛方法为期权定价的优势之一。 由于

Cmean?C?exp(?rT)max?0,ST?K?jj，m条路径的收益均值为

var?C，m条路径的方差为Cmji?11m??(Cm?1i?11mj2?Cmean)，则可

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得95%的置信区间为[C

mean?1.96Cvarm,C?1.96meanCvarm]。

例1：假设无红利的股票A，初始价格为￥6，价格过程服从几何布朗运动，年预期收益率为10%，收益率的波动率为每年25%，时间步长为0.01年（1年为100时间步），给定数据，S0?6,??0.1,??0.25，以及d＝100，用蒙特卡洛方

法模拟资产的价格路径如下：

SA(t??t)?S(t)e6.256.26.156.16.05(0.1?120.25)0.01?0.2520.01?i

Monte Carlo Price Path SimulationPrice65.955.95.855.85.7501020304050Period60708090100

（1）

Monte Carlo Price Path Simulation6.66.46.26Price5.85.65.45.201020304050Period60708090100

（2）

图（1）蒙特卡洛方法模拟股票A价格路径，图（2）蒙特卡洛方法模拟股票B价格路径。

若无红利的股票B、C、D，其价格均为￥6，股票B的期望收益率为0.1，波动率为0.6；股票C的期望收益率为0.5，波动率为0.25；股票D的期望收益率为0.5，波动率为0.6，分别用蒙特卡洛方法模拟该三种股票在一年内的价格路径如下：

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SB(t??t)?S(t)eSC(t??t)?S(t)e(0.1?120.6)0.01?0.620.01?i

(0.5?120.25)0.01?0.2520.01?iSD(t??t)?S(t)e6.1(0.5?120.6)0.01?0.620.01?iMonte Carlo Price Path Simulation6.056Price5.955.95.8501020304050Period60708090100

（3）

Monte Carlo Price Path Simulation76.86.66.4Price6.265.85.65.401020304050Period60708090100

（4）

图（3）蒙特卡洛方法模拟股票C价格路径，图（4）蒙特卡洛方法模拟股票D价格路径。

从图中可以看出，股票C和股票D的价格上升速度较快，而股票B和股票D的价格波动比较大。这是与股票C和股票D价格的期望收益率较高，股票B和股票D价格的波动率较高相对应的。

欧式看涨期权S0?6,K?2,r?0.1,??0.25,T?1，通过

Black-Scholes公式计算得的精确值为C?4.1903，蒙特卡洛模拟的价格为C?4.1787，其蒙特卡洛模拟图如下：

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European Call Option Price Estimation5.4Monte Carlo5.254.8Estimation4.64.44.243.800.511.52log(N)2.533.54

（5）

上述同样的条件，路径由100逐渐增加到1000000条，对应地分别得到的期权价值的模拟值和置信区间，结果如下表所示：

各种路径下蒙特卡洛方法模拟的95%置信区间

N 100 500 1000 2000 5000 10000 50000 100000 1000000 模拟值 4.3146 4.2262 4.2213 4.1633 4.1695 4.1787 4.1960 4.1886 4.1914 置信区间 [4.0112,4.6180] [4.0962,4.3563] [4.1287,4.3139] [4.0984,4.2281] [4.1280,4.2111] [4.1490,4.2083] [4.1826,4.2094] [4.1791,4.1980] [4.1884,4.1944] §4. 蒙特卡洛模拟方法为我国权证定价

权证是一种合同，权证投资者在约定时间内有权按约定价格向发行人购入或者出售合同规定的标的证券。权证发行人可以是标的证券的发行人或其之外的第三方。权证主要具有价格发现和风险管理的功能，它是一种有效的风险管理和资源配置工具。

现选取我国认股权证中的五粮YGC1、马钢CWB1、伊利CWB1为例，以2006年的价格作为样本区间模拟认股权

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证的价值，并将这些权证的蒙特卡洛模拟价值和由wind数据库给出的理论值进行比较。本例采用一年期短期利率2.52%作为无风险利率，用这些权证的正股股票价格序列来计算波动率。

现实中用等时间间隔观测股票价格序列Si(i?0,1,2,?n)，股票投资的连续复利收益率ui的样本标准差???ln(Si/Si?1)2，（i?1,2,?n），则ui?n?1i?11n(ui?u)。如果用日数据计算波动率，

则年度波动率按下式计算：

年度波动率＝日波动率*（每年的交易日数）1/2 将时间区间取为2006年12月1日－2006年12月29日，则由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下：

蒙特卡洛方法对五粮YGC1认股权证的模拟（?日期 12-1 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 实际值 10.164 10.120 9.880 9.395 9.147 9.050 9.850 9.825 9.766 10.589 10.849 蒙特卡洛模拟值 10.066 10.357 10.630 10.386 9.998 9.785 9.225 10.600 10.260 11.332 12.028 理论值 9.821 10.121 10.401 10.151 9.751 9.531 8.951 10.371 10.021 11.121 11.831 日期 12-18 12-19 12-20 12-21 12-22 12-25 12-26 12-27 12-28 12-29 － 实际值 12.100 12.080 12.210 11.900 11.420 12.038 11.978 13.001 13.050 14.500 － ?51.15%）

理论值 13.351 13.401 13.601 13.201 12.501 13.571 13.231 14.201 14.451 16.051 － 蒙特卡洛模拟值 13.524 13.574 13.771 13.376 12.687 13.742 13.406 14.364 14.612 16.198 －

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蒙特卡洛方法对马钢CWB1认股权证的模拟（?日期 12-1 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 实际值 1.143 1.209 1.241 1.349 1.633 1.750 1.919 1.874 1.794 1.794 1.830 蒙特卡洛模拟值 1.244 1.188 1.223 1.223 1.416 1.618 1.416 1.618 1.748 1.633 1.633 理论值 0.569 0.517 0.549 0.549 0.743 0.952 0.743 0.952 1.094 0.969 0.969 日期 12-18 12-19 12-20 12-21 12-22 12-25 12-26 12-27 12-28 12-29 － 实际值 1.775 1.803 1.730 1.641 1.700 1.707 1.835 1.776 1.644 1.708 － ?53.91%）

理论值 1.052 1.052 1.103 1.052 0.778 0.848 1.052 1.052 1.163 1.094 － 蒙特卡洛模拟值 1.709 1.709 1.756 1.709 1.542 1.453 1.520 1.709 1.811 1.748 －

蒙特卡洛方法对伊利CWB1认股权证的模拟（?日期 12-1 12-4 12-5 12-6 12-7 12-8 12-11 12-12 12-13 12-14 12-15 实际值 13.324 13.250 13.296 12.911 12.853 12.734 12.920 14.059 13.528 14.281 14.349 蒙特卡洛模拟值 13.533 13.947 13.957 13.957 13.288 12.763 12.576 12.941 14.108 13.815 14.619 理论值 12.629 13.069 13.079 13.079 12.369 11.809 11.609 11.999 13.239 12.929 13.778 日期 12-18 12-19 12-20 12-21 12-22 12-25 12-26 12-27 12-28 12-29 － 实际值 14.760 15.479 15.487 15.594 15.168 16.616 16.619 17.673 17.673 17.673 － ?62.03%）

理论值 13.988 14.748 15.888 15.698 15.828 15.038 17.058 17.188 19.098 19.098 － 蒙特卡洛模拟值 14.818 15.541 16.630 16.449 16.573 15.817 17.754 17.879 19.726 19.726 －

从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，

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BS代表由Black-Scholes公式计算出的理论值。

17161514131211109814SJMCBS710131619

五粮YGC1价格模拟比较图

2.521.510.5014710131619SJMCBS

马钢CWB1价格模拟比较图

21201918171615141312111014SJMCBS710131619

伊利CWB1价格模拟比较图

从图中明显看出，五粮YGC1和伊利CWB1的模拟结果比较好，蒙特卡洛模拟值和Black-Scholes模型的理论值均与实际值吻合；而马钢CWB1的实证结果不理想，但是三种结果的走势图有共同的趋势。从比较分析中发现蒙特卡洛方法模拟的价格比Black-Scholes模型更接近实际价格。对于这些认股权证价格的模拟结果的好坏，受诸多因素影响，主要与选取的波动率和中国权证市场的发展特点有关等等。

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◆隐含波动率及其数值计算方法

隐含波动率是一个在市场上无法观察到的波动率，是通过Black-Scholes期权定价公式计算出来的波动率。由于我们无法给出它的解析解，因此，只能借助于数值计算给出近似解。下面介绍牛顿迭代法计算隐含波动率。

牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域上近似求解方程根的方法。

步骤1. 将函数f(x)在点x0附近展开成泰勒级数

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)??2

步骤2. 取泰勒级数的前两项作为f(x)?假设f?(x0f(x0)?f?(x0)(x?x0)

)?0，求解方程f(x)?f(x0)f?(x0)f(x0)?f?(x0)(x?x0)?0，并令其解为

x1，得x1?x0?，这样得到迭代公式xn?1?xn?f(xn)f?(xn)，经

过n次迭代后，可以求出f(x)?0的近似解。

根据牛顿迭代法，隐含波动率的计算步骤如下： 1. 假设其他变量保持不变，认为函数

f(?)?SN(d1)?Ke?r(T?t)N(d2)?CMar是隐含波动率?的一元函

12?数，其中的CMar是市场上观察到的期权价格。

2. 求函数f(?)的导数f?(?)??C???ST?e?d122

i3. 由迭代公式?i?1??i?（?是期望达到的精度）。

f(?i)f?(?i)计算波动率，直至f(?)??

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此外，为了计算隐含波动率，经济学家和理财专家曾做过种种努力试图寻找一个计算波动率的公式。如Brenner和Subrahmanyam于1988年，Chance于1993年分别提出计算隐含波动率的公式，虽然这些公式对于持有平价期权的波动率的计算还算准确，但是基础资产的价格一旦偏离期权的执行价格的现值，其准确性就会丧失。1996年，Corrado和Miller在前人研究的基础上建立了如下公式，大大提高了隐含波动率的计算的准确性：

??1T?2?S?Ke?rT?rT?rT?rT2?(C?S?Ke2?(C?S?Ke2)?2(S?Ke)?)

§5. 服从跳扩散过程的无形资产期权定价问题及其蒙特卡洛模拟分析

◆服从跳扩散过程的期权定价方法

正常的波动用几何布朗运动(Brown)来描述—由供需不平衡、利率变动或整个经济的波动等因素引起的。不正常的波动用泊松过程(Poisson)来描述—由未预料到的重要信息的出现引起的。这些信息在不连续的时间点出现，而且出现的时间点不确定，是否会出现也不确定。

带跳跃项的伊藤Ito公式：设V?V(S,t)，V是二元可微函

数，若随机过程St服从随机微分方程

dSS?adt??dW?dJ其中，dW是标准维纳过程，dJ

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表示不可预测的跳跃，且

E[?J]?0。则带跳跃项的伊藤

dV(S,t)?[?V?tkIto公式为

12??t?(V(S?ai,t)?V(S,t))pi?i?1k??2?V?S22]dt??V?SdS?dJVdJV?[V(S,t)?V(S,t)]??t[?(V(S?ai,t)?V(S,t))pi]dti?1

其中，

St?lim?Sss?t?。

(j?1,2,?)上式是对跳跃项作如下假定得出的： 1、在两个跳跃之间J保持不变，而在跳跃时间?tj是离散和随机的；

2、有k种跳跃类型，跳跃尺度为{a,i?1,2,?,k}，跳跃尺度

i为a的概率为p，跳跃的发生强度?依赖于S的最终观测值，

iitt跳跃类型和尺度都是独立随机的。 则在时间区间(t,t??t]内，增量?J为

k

这里N表示的是至时间t发生的跳跃大小的总和，??t表示跳

i?1tt?Jt??Nt?[?t?t(?aipi)]k跃发生的概率，

?ai?1ipi为跳跃的期望值，则?J是不可预测的。

k漂移参数a可看作两个漂移的和

这里?表示S中连续运动的维纳过程部分，第二项为纯跳跃

i?1ttat??t??t(?aipi)部分。

将Poisson过程引入到期权定价模型中，得到标的资产价格价格的跳扩散方程如下

dSS?(????)dt??dW?(Y?1)dN

17

其中，

?1dN???0?dt1??dt，标的资产价格的变化比率为Y，

??E(Y?1)，且Y与dN相互独立。

1?F2?S22令FdF??F?t?lnS，根据带跳跃项的伊藤公式可得其微分形式为

((????)Sdt??SdW)?(?SdW)?(F(YS,t)?F(S,t))dN2dt?12?F?S2?(??????)dt??dW?lnYdN

????)t??W(t)??Yi?i?1N(t)整理上式，得到标的资产价格公式为

在标的资产价格遵循跳扩散过程的假设下，根据上述带跳伊藤公式可得期权价值VdV?(?V?t?(????)S?V?S?12?V(S,t)的微分形式如下

21?St?S0exp?(???2?2?S22?V?S2)dt??S?V?SdW?(V(YS,t)?V(S,t))dN??V?S构造期权与标的资产的无套利资产组合???V形式为

d???dV??V?SdS?(?V?t?12

S，其微分

?S22?V?S22)dt?(V(YS,t)?V(S,t))dN?(Y?1)S?V?SdN

则该无套利资产组合微分形式的期望如下式

E(d??)?(?[?V?t?V?t??1212?S?S222?V?S222)dt?E[(V(YS,t)?V(S,t))dN]?E[(Y?1)S??E[V(YS,t)?V(S,t)]???S?V?S]dt?V?SdN]2?V?S?2由于资产组合???V立

?V?S

S为无风险组合，因此有如下等式成

两式联立并化简得到标的资产价格遵从跳扩散过程的定价

?SE(d??)?r??dt?r(V??VS)dt公式如下：

18

?V?t

若没有发生跳跃事件，则??0，将其代入上式所得结果

?S2?S2?(r???)S?V?1?S22?V2?rV??E[V(YS,t)?V(S,t)]?0与Black-Scholes微分方程完全一致。当期权分别为欧式看涨、欧式看跌、美式看涨和美式看跌期权时，其边界条件和终值条件与本章第一节的终边值条件相同。

Merton

i?0?1Yi??假设标的资产价格跳跃高度服从?0????????i?0，

从而推导出欧式看涨期权的定价公式为：

??V(S,?)??N(t)?02e???(??)N(t)!N(t)N(t)[EN(t)(W(S?Yiei?1?r?????,?,K,?,r))]2

其中，

W(S,?,K,?,r)?S?(d1)?Ke?(d2)，??T?t。

另外，Harworth假设跳跃高度Y服从对数正态分布

lnY~N(?Y,?Y)2，则欧式看涨期权的解析解为

??V(S,?)????exp(???Y12?N(t)?0e?????)N(t)(??N(t)!?,r?)W(S,?,K,?122

N(t)其中，

?????1?Y)2，

??r??(exp(?Y?r?Y)?1)?2?(?Y?12?Y)2，

??YN(t)2。

例2. 标的资产价格遵从跳扩散过程如下

dSS?(????)dt??dW?(Y?1)dN1.5

S(0)?20,??2.5%,??20%,??0.5t,v?Y?1,n?500,?t?0.004,Y?0.8

用蒙特卡洛模拟的资产价格路径如下图所示：

19

◆无形资产——专利池的期权定价模问题

专利池的市场价值V依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S和成本C及时间t，这三个变量均可用跳扩散模型：

dXX?(????)dt??dW?(Y?1)dN

通过构造由V和它所依赖的两个变量S、C组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V与S、C所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V的求解公式。

构造无风险资产组合?VS?V?VSS?VCCV

一方面?的微分的期望为：E(d?另一方面，

E(d?S)?(Vt?1222?SSVSS?)?r(V?VSS?VCC)dt1222?CCVCC??S?CSCVSC)dt

??SE(V(YSS,C,t)?V(S,C,t))dt??SvSVS?Sdt新产品发明专利池的市场价值V所遵循的方程为

20

Vt?(r??SvS)VSS?rVCC?1222?SSVSS?1222?CCVCC

??S?CSCVSC??SE(V(YSS,C,t)?V(S,C,t))?rV?0V(S,C,T)?max(S(T)?C(T),0)?(S(T)?C(T))V(S,C,t)?0 as S?0V(S,C,t)?0 as C??V(S,C,t)?S as S???

12(?SY??SY)2lnYS~N(?SY,?2SY), ?S?E(YS?1)?e?1

期权的价格公式：

??V(S,C,t)?N?Se???(??)S?NS(t)(t)?0N2S(t)!2VBS(S,?,C,?2,r)

????Se??SY?122?SY?2,??1)?????C??S?C?(?SY?12122?SYNS(t)

r?r??S(e?SY??SY212NS(t)??SY)2

20世纪90年代初,由高分子工程材料的某高校、研究所、设计院和高新技术企业等经过两年的开发研究，研制出新型建材——铝塑复合管全套生产工艺，该技术已获多项国家发明专利，且己具备成套设备生产供应能力。当时，该技术在国内只此一项，属新产品发明专利池技术。且其专利技术使用寿命长达50年以上，受专利保护20年。但该技术在国外存在多家供方，不同供方在核心技术内容、原理、流程上基本一致，同时也不排除在一段时间后出现其他更好技术的可能性，一方面时间越长，这种可能性越大。另一方面该技术使用寿命越长，这种可能性越小(l=l(t))。并且,其他同类技术的出现使该专利池技术的收益下降, 下降幅度为LnY。因为设备的经济使用寿命是20

21

年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率 10%递增。假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。

?S(t)?0.02t,?S?25%,r??C?10%,YS?0.6

S(0)?4000,C(0)?1000,n?4000,?t?0.0051.3

新产品发明专利池的市场价值 V=8050

●在一次付清许可费用情况下的价格模型： 新产品发明专利池的价格P所遵循的方程为：

Pt?(r??SvS)PSS?rPCC?1212?SSPSS?22?CCPCC22

??S?CSCPSC??SE(P(YSS,C,t)?P(S,C,t))?rP?0P(S,C,T)?max(?(S(T)?C(T)),0)P(S,C,t)?0 as S?0P(S,C,t)?0 as C??P(S,C,t)??S as S??

22

在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：P(S,C,t)??V(S,C,t)

?S(t)?0.02t,?S?25%,r??C?10%,??0.5,YS?0.6S(0)?4000,C(0)?1000,n?4000,?t?0.0051.3

在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格 P=5450。

●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型

新产品发明专利池技术产生的收益S遵循模型

dSS?(?S?qS??S?S)dt??SdW?(YS?1)dNS

引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模型dCC??Cdt??CdW

P构造无风险资产组合?P?P?PSS?PCCP

一方面?的微分的期望为E(d?)?r(P?PSS?PCC)dt新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为： 另一方面，?的微分及其期望为:

P 23

E(d?P)?(Pt?qSPSS?12?SSPSS?2212?CCPCC??S?CSCPSC)dt22

??SE(P(YSS,C,t)?P(S,C,t))dt??SvSPSSdt新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为：

Pt?(r?qS??SvS)PSS?rPCC?12?SSPSS?2212?CCPCC22

??S?CSCPSC??SE(P(YSS,C,t)?P(S,C,t))?rP?0P(S,C,T)?max(?(S(T)?C(T)),0)P(S,C,t)?0 as S?0P(S,C,t)?0 as C??P(S,C,t)??S as S??

12(?SY??SY)2lnYS?N(?SY,?2SY), ?S?E(YS?1)?e?1

期权的价格公式：

??P(S,C,t)??VBS(Se??qS??NS(t)?02e????(??)NS(t)NS(t)!?qS?VBS(Se?qS?,?,C,?,r)?r?2

,?,C,?,r)?S(t)e12?(d1)?C(t)e?(d2),??T?t

???Se??SY??SY2?2???S??C??S?C?122212?SYNS(t) 122r?r?qS??S(e1.3?SY??SY2?1)?NS(t)?(?SY??SY)

2?S(t)?0.02t,?S?25%,r??C?10%,qS?10%,YS?0.6S(0)?4000,C(0)?1000n?4000,?t?0.005

在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情

24

况下新产品发明专利池的价格P=855。

§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价

运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。

最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。

下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：

第一步：随机生成标的资产价格过程的多条样本路径

25

现设一单个标的资产美式看跌期权的持有到期日为T，期权的执行时刻为T，t?[0,T]，标的资产价格为S**，期权的

执行价格为X。在风险中性条件下，该期权的初始时刻价值为：

P?E[exp(?rt)f(S0,S1,?,St*,?,ST)]S其中，

0Q*

0,S1,?,St*,?,ST为标的资产价格的路径，f(S*,S1,?,St*,?,ST)是在最优执行时刻t的期权价值。上式定义的P便是将要运用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。

将期权的存续区间[0,T]均分为N个子区间，则每个子区间的长度为

?t?TN，标的资产价格过程的离散形式：

Si?Si?1exp((r??2

其中，i?{0,1,?,N}，随机变量?服从标准正态分布。因此，利

2)?t???t?i?1)用生成随机数模拟得到标的资产价格S的一条样本路径

S0,S1,?,SN，重复执行M次模拟，我们可得到资产价格的总样

本S

M?(N?1)。

第二步：计算各个样本的最优停时及各时刻的期权价值 对于美式看跌期权，在期权的有效时刻i，样本路径j上的内在价值为

jQI(Si)?max{X?Si,0}jjj，持有价值为

H(Si)?E[exp(?r?t)C(Si?1)Si]。由于美式期权在有效期的任何时

I(Si)j候都可行权，所以必须比较该时刻期权的内在价值有价值

H(Si)j与持

的大小，以确定该时刻的期权价值以及是否执行

C(Si)?max{I(Si),H(Si)}jjj期权，即

由期权的持有价值表达式可知它依赖于下一步期权决策的

26

价值，需通过逆向求解这个期望价值，这正是普通的蒙特卡洛模拟法为美式期权定价的难点所在。

最小二乘蒙特卡洛模拟方法通过建立一个当前时刻标的资产价格与下一时刻期权价值贴现值的线性回归计量模型：

Yj?exp(?r?t)C(Si?1)?a1?a2Si?a3Si??jjjj2

Si2上述模型以所有样本路径在时刻的价格和

iSi作为解释变

?3,a量，对应的下一时刻期权价值的现值作为被解释变量。采用

?,a?普通最小二乘法进行回归，求得回归系数的估计值a12和

样本回归方程

??a?1?a?2Sij?a?3Sij2Yj；再将各个资产价格样本代入

到回归方程分别可以得到其期权的持有价值估计值，

根据计量经济学的理论，这个估计值就是在标的资产价格下的期权持有价值的无偏估计值。另外，本例中选取基函数

L0(S)?1;L1(S)?S;L2(S)?S2??E[YSj]?E[exp(?r?t)C(S)Sj]Yjii?1iSij作为解释变量，根据实际情况中

S2S2S2也可以选取其他形式的基函数：

L0(S)?exp(?S2);L1(S)?exp(?)(1?S);L2(S)?exp(?)(1?2S?2)。

作为解释变量。

现在，我们从到期日开始倒推计算求解每条样本路径上的最优停时和每个样本点的期权价值。在到期日T，执行看跌期权的价值为

max{X?SN,0}j。接着，判断在N?1时刻是否行

SN?1?Xj权。若期权处于实值状态，即，则与继续持有期权的

价值相比较，若内在价值大于持有价值，则应立即执行期权；否则，继续持有期权。考虑在该时刻期权处于实值的样本子集，近似期权持有价值的回归方程为：

27

yN?1?exp(?r?T)max{X?SN,0}?a1?a2SN?1?a3SN?1??jj其中，j?JN?1，JjN?1

是N?1时刻所有期权处于实值状态的标的

jj?Ny?1jjj2资产价格样本集。在时刻N?1的资产价格SN?1信息下，比较内在价值

max{X?SN?1,0}与继续持有期权的价值就可做出是否

，期权或

执行期权的决策。同理，我们可倒推继续求得时刻

N?2,N?3,?,0的期权持有价值。对于每条样本路径j是在最优停时序时，令初值

tj?{0,1,?,N}??执行，或是永不执行。具体设计程

tj?tj?N，在时刻N?1，如果继续持有期权，则不

tj?N?1tj??变；如果执行期权，则，依此类推。每个样本上就只

有一个最优停时，每次更新，最后便求得每条样本路径上的最优停时。

第三步：对各条样本路径上的期权价值按无风险利率贴现并求其均值

经过M次模拟后，得到M条标的资产价格的样本路径，以及每条样本路径上的最优停时和在该时刻的期权价值：

由于每条样本路径上的最优执行时间不同，期权价值的贴现

jjtj?I(St*)?max{X?St*,0}??????????j?{1,2,?,M}jj因子e也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初始时刻期权价值的最小二乘蒙特卡洛模拟值：

M?rtj??Q[exp(?rt*)f(S,S,?S?,?,S)]?P?E01Tt?exp(?rtj?1*j)I(St*)jjM

例3：已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为50到期日为5个月，股票年收益率的标准差为0.4，无风险利率为10%，用最小二乘蒙特卡洛模拟其价格。

28

编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下： function price=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M) dt=T/N;

R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)); S=cumprod([S0*ones(1,M);R]); ExTime=N*ones(M,1); CF=zeros(size(S));

CF(end,:)=max(K-S(end,:),0); for ii=N:-1:2

Idx=find(S(ii,:)

Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);

R=[ones(size(X1)) (1-X1) 1/2*(2-4*X1+X1.^2)]; a=R\\Y; C=R*a;

Jdx=max(K-X,0)>C;

nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));

CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0); ExTime(Idx(Jdx))=ii;

CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx); end

Price=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)

%%%%% 绘制标的股票价格模拟图 %%%%% x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S'); subplot(2,1,1) plot(x1,y1) subplot(2,1,2) plot(x1,y2)

xlabel('期权存续期间')

29

ylabel('股价的模拟路径')

%%%%% 绘制期权价值模拟图 %%%%% figure;

x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)'; for i=1:M

y4(i)=y3(i,ExTime(i)); end

plot(x2,y3,ExTime,y4,'*') xlabel('期权的最优停止时间') ylabel('期权价值的模拟路径')

模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：

模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：

30

Y(b)?1nn?i?1(Yi?b(e?rtST?S0))

i实验证明，当K=0时，控制变量与Y的相关性最强，从而方差减少效果显著，而当K很大时情况相反。

若待定价的是亚式期权，Ynjn?e?rnN(?j?1Sjn?K)?，N为一年

中交易的总天数，那么可将?S作为控制变量，由于

j?0nnnjE[?Sj]?j?0?E[Sj?0]??Sj?00erjN?S01?er(n?1)NrN1?e

相应的控制变量估计值为

Y(b)?(Y?mi?11min?b(?S?S0j?0ij1?er(n?1)NrN1?e))

（2）定价己解决的期权

如果两种期权的回报函数具有相似性，并且其中一种期权的定价公式已知，那么可将此期权作为控制变量为另一种期权定价。最著名的例子是Kemna和Vorst使用几何平均亚式期权作为控制变量为算术平均亚式期权定价，显然这两种期权的回报具有很强的相关性，从而方差减少效果显著。

再比如仍是对算术平均资产价亚式期权定价，由于与其具有相同到期日与敲定价格的标准欧式看涨期权的价格可以由B-S公式得到，故可将e

（3）正态随机变量

模拟标的资产价格路径要用到正态随机变量，因此可考

36

?rnN(Sn?K)?作为控制变量。

虑将正态随机变量(或其线性组合)作为控制变量。

比如为算术平均执行价亚式期权定价

nY?e?2?rnN(Sn??j?1Snj)??，模拟{S}的过程需要独立的、均值为

j(r?2)N、方差为

2N的正态随机变量

X1,?,Xn，从而将

X1,?,Xn作为多元控制变量可得相应的控制变量估计值为

Y(b)?(Y?mi?11min??(Xj?0ij?r??N22))。

◆矩匹配(Moment Matching)技术

为了模拟标的资产样本路径需要从正态分布中抽样，考虑最简单的情形，标准欧式看涨股票期权的蒙特卡洛估计值需要m个独立且服从标准正态分布的抽样Z{Zj}1,Z2,?,Zm。由于

的样本矩不一定与总体矩匹配，故而矩匹配技术的思想

就是对这些样本进行调整，使其一阶矩、二阶矩乃至高阶矩与总体矩匹配，再利用调整后的样本得到蒙特卡洛估计值。

定义Z匹配Z?值为

j?Z是样本均值，通过如下调整可达到一阶矩?mjj?11m?Zj?Z,j?1,2,?,m，Z?j~N(0,1)，由Z?生成的股票价格终

j?jST，从而期权到期回报贴现的一次模拟值为

??exp(?rT)max0,S?j?KCjT?利用矩匹配技术得到的蒙特卡洛估计?，

?。 量为?Cmjj?11m和对偶变量技术一样，应用矩匹配技术会给置信区间的

37

估计带来变化，因为Z?,Z?12?,?,Zm?,C?并不独立，导致C12?,?,Cm也不

独立，所以不能直接应用中心极限定理估计误差。

一个解决方案是将抽样分隔为不同批次，对每个批次分别应用矩匹配技术得到彼此独立的期权价格估计，再将批均值作为蒙特卡罗估计值，由批方差得到误差估计。例如可采用10000个相互独立的批次，每个批次对100个标准正态分布抽样应用矩匹配技术，即总共采用100万个标准正态分布抽样。

如果定义SZ?1m?1m?j?1(Zj?Z)2为样本标准，通过如下的调,j?1,2,?,m整可达到前两阶矩匹配：Z?j?jZj?ZSZ。

需注意由上式得到的Z?不再服从标准正态分布，故相应

?将是期权价格的有偏估计。这个偏差在极端情况下可能的Cj会很大，由此致的复杂性使得矩匹配技术的效率改进没有一个通用的量化标准。

如果待匹配的抽样Z其总体均值ujZ?0，总体方差?Z?1，

作如下变换可分别达到一阶矩匹配和前两阶矩匹配：

??Z?Z?u,j?1,2,?,m ZjjZ?Zj?(Zj?Z)?SZZZ,j?1,2,?,m

其中Z与S的定义同上。仍以标准欧式看涨股票期权为例，若股价服从风险中性的几何布朗运动，则股价终值的均值与方差已知，故可采用上式对S?运用矩匹配技术。

jT

◆分层抽样(Stratified Sampling)技术

分层抽样技术使样本的经验概率与理论概率相一致，其

38

本质是为了使输入变量分布得更为均匀，这一点与对偶变量技术相同。

考虑简单情形下分层样本的获取。在计算标准欧式看涨期权的价格时，需要标准正态分布中m个相互独立的抽样

Z1,Z2,?,Zm，其经验分布不会完全与总体分布相吻合，尤

其是尾部表现可能较差。通过下述分层抽样方法可以对样本的经验分布加以改进。

U1,U2,?,Um是在[0，1]上均匀分布的随机数，以

1m的长度对

m区间进行分层，可以得到n个分层区间段[0,1],[1,2],?,[m?1,1]，

mmm令Vj?Uj?j?1m,j?1,2,?,mV落在第j层上，。显然，从而Z?jj??(Vj)?1落在标准正态分布的上

j?1m分位数与上j分位数之间，故由

mV1,V2,?,Vm可得标准正态分布的一个分层抽样。

需要注意的是V,V12,?,Vm的高度相关性使得标准误差的估

计复杂化，为此用批处理的方法对其进行估计，具体过程同上一节介绍。

在高维情形下，采用拉丁超立方抽样技术(Latin Hypercube Sampling)较为简便。

假设Uj(1)j(2)j(d)j?(U1,U,?,U),j?1,2,?,m是[0,1]上均匀分布随机

d向量序列，?列。令V(k)j,?2,?,?d是d个独立抽取的{1,2,?,m}上的随机排

,k?1,2,?,dj?1,2,?,m?U(k)j??k(j)?1m

j其中?k(j)是第k个排列的第j个元素。那么由U得到的

39

Vj仍然是[0,1]上服匀分布的随机向量，并且V的第k个坐标

djVj(k)落入第k个[0，l]区间的m个不同分层内，从而V,V1122,?,Vm也是一种分层抽样样本。同样地，由于V,V而要改变误差估计的方法。

,?,Vm不独立，故

◆重要性抽样(Importance Sampling)技术

重要性抽样技术的思想是用一种概率测度下的期望值代替另一种概率测度下的期望值，这种概率测度的转换是通过似然比(Likelihood-Ratio)或Radon-Nikodym导数实现的。金融工程中的风险中性定价即为此思想的一个应用。在期权定价中，这种方法被用来对小概率事件进行模拟以获得更有效的估计。

首先介绍这种技术的一般化理论：假设X是概率密度为f的d维随机向量，h是Rd到R上的函数，待求值为

??E[h(X)]??h(x)f(x)dx

若X1,X2,?,Xm均为服从f的独立随机向量，那么?的蒙特

卡洛估计值是???1m?h(X)。

jj?1m令g是另一个Rd上的概率密度，并且满足条件

f(x)?0?g(x)?0,?x?Rd，则有

???h(x)f(x)g(x)g(x)dx

将上述积分写成关于密度g的期望形式，可以得到

??E[h(X)]?E[h(X)gf(X)g(X)]

若X

1,X2,?,Xm是服从g的独立随机向量，那么?基于测度

40

g的重要性抽样蒙特卡洛估计值即为??g??h(Xmj?11mj)f(Xj)g(Xj)。

旧的概率密度与新的概率密度的比值

?f(X)g(X)

称为似然比

或Radon-Nikodym导数，并且，?是?的无偏估计量。

重要性抽样技术的方差减少效果：由于

E[(h(X)gf(X)g(X))]?E[h(X)22f(X)g(X)]，所以选择合适的重要性抽样

密度g可以获得方差减少，g的选择是重要性抽样技术成功与否的关键。

当重要性抽样技术应用于期权定价时，X可被视为标的资产价格，也可以被视为正态随机变量(向量)。比如，定价对象是深度虚值的欧式看涨期权，直接采用标准蒙特卡罗方法得到的到期回报单次模拟值大多为0，从而为得到一个估计值需要次数庞大的模拟。应用重要性抽样技术可以使单次模拟所得回报大于0的概率增大，从而减小了模拟次数，提高了估计效率。

考虑标的资产服从风险中性几何布朗运动的下敲入看涨障碍期权，假设障碍在离散时间点n?t,n?1,2,?,d监测，

?t?Td，障碍H?S0e?b，敲定价格H?S0ec，b,c?0。那么由下式

可得到期权价格的标准蒙特卡洛估计：

e?rTE[I(S)(Sd?K)]

?其中，示性函数I(S)的定义为

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??1，若存在j?{1,?,d},使得Sj?HI(S)?? 0，若所有j?{1,?,d},均有S?H?j?已知

(r?nSn?S0exp(?Xi)i?1，Xi是独立同分布且均值为

?22)?t，方差为?2?t的正态随机变量。若b,c的值很大，

那么由标准蒙特卡洛方法模拟得到的I(S)?0情形居多。应采用重要性抽样技术，使Xi从均值为(r?仍为?2?22)?t?p，方差

?t的正态分布中抽样，那么

?gE[I(S)(Sd?K)]?E[f(X)g(X)I(S)(Sd?K)]

?令似然比Lg?f(X)g(X)，在新的概率测度g下得到标的资产

价格的重要性抽样路径模拟，若在某次模拟中障碍被跨越，那么由此次模拟得到的回报就是L要性抽样蒙特卡洛估计量。

研究证明，一个有效的p值为

p?(r?g(Sd?K)?，反之，模拟回报

值为0。多次模拟得到的回报平均值贴现即为期权价格的重

?22)?t?2ln(S0H)?ln(KS0)d

◆条件蒙特卡洛技术

条件蒙特卡罗技术的理论依据是概率论中的著名等式

E[X]?E[E[XY]]，由此式知条件期望E[XY]是E[X]的无偏

估计。由条件方差公式Var[X]?E[Var[XY]]?Var[E[XY]]，可知Var[X]?Var[E[XY]]，故由条件期望估计量可以带来方

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差减少效应。值得注意的是，使用这种技术模拟的是变量Y而非X。

仍以上一节的下敲入障碍期权为例，期权价格的标准蒙特卡洛估计由e?rTE[I(S)(Sd?K)]得到。如果在第?个时刻

?障碍首次被跨越，那么由障碍期权的定义，自此时起期权可被视为标准欧式看涨期权，应用B-S公式，有

e?rT??r??tE[I(S)(Sd?K)S?]?eI(S)BS(S?,K,T?r??t)

其中，BS(S?,K,T?r??t)是由B-S公式给出的初始价格为

S?，敲定价格为K，到日为T?rT??r??t?rT的标准欧式看涨期权价

?格。由于eE[I(S)(Sd?K)]?eE[E[I(S)(Sd?K)S?]]，

故对于给定的标的资产价格的一条模拟路径，期权到期回贴现的条件蒙特卡洛模拟值为e?r??tI(S)BS(S?,K,T?r??t)。

在此例中，应用条件蒙特卡洛技术模拟的量是S?，而非期权的到期回报。与标准蒙特卡洛方法相比，我们只需模拟到S?停止即可，而不必模拟出标的资产价格的全部路径

S1,S2,?,Sd，故减少了模拟工作量，提高了效率。

如果对此期权综合应用条件蒙特卡洛与重要性抽样两种方差减少技术，则有

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E[I(S)(Sd?K)S?]?E[???f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)E[g?gf(X)g(X)I(S)(Sd?K)?S?]?f(X??1,?,Xd)g(X??1,?,Xd)?I(S)(Sd?K)S?]E[I(S)(Sd?K)S?]er(T???t)

I(S)BS(S?,K,T?r??t)那么结合了重要性抽样的标的资产服从风险中性几何布朗运动的下敲入看涨期权的到期回报贴现的条件蒙特卡洛模拟值即为

f(X1,?,X?)g(X1,?,X?)e?r??t)I(S)BS(S?,K,T?r??t)

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