概率论第四章1

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F x, y 九大符号 : pij f x, y

FX x pi f X x

FY y p j fY y

FX Y x y FY X y x fY X y x f X Y x y 进一步的符号 : pij pij p j pi p p p f x, y f X x f Y y i j ij

Fmax z FX z FY z f Z z

F x, y FX x FY y

Fmin z 1 1 FX z 1 FY z

f X x fY z x dx

f X z y fY y dy1

本次课的教学目的、教学要求 掌握 (1)数学期望的定义 (2)定理4.1.1 (3)定理4.1.2 (4)数学期望的性质 (5)方差的定义及计算方差常用的公式 重点难点:数学期望的定义、方差的定义及计算方差常 用的公式。 教学要求:会运用定义、性质及定理4.1.1、定理4.1.2解 决有关问题。2

第四章 随机变量的数字特征 (1)分布函数往往都含有某些参数。参数一旦被确定,相应的分布 函数的具体形式也就被确定了,因而这些参数反映了随机变量的 某些重要特征。 (2)在实际问题中,还有一些随机变量,它的分布函数很难求出, 但我们常常可以通过一定的方法,求出反映它的重要特征的某些 数据。特别是当我们只需要了解所研究的随机变量一些重要特征 而不太关心其具体的分布特征时,掌握求出这些数据的方法就显 得十分重要了。 例如,冰箱的耗电量是其质量的一个重要指标。一种品牌的冰箱 的平均日耗电量,在一定程度上决定了它的受欢迎程度。 (3)因此,本章将介绍“数学期望”、“方差”、“离散系数”等 重要数字特征的概念及其求法。

§4.1 数学期望 定义4.1.1 设离散型随机变量X的分布律为

X x 1 x2 pK p1 p2

xn….. …. Pn….

若级数 x k p k 绝对收敛,则称 x k p k的值为随机变量X 的数学期 k 1 k 1 望或均值,记作 E ( X ) 或 EX 。即 E( X ) xk pk (4.1.1)

k 1

我们要求上式的值存在,且各项可任意交换,故要求此级数 绝对收敛。4

随机变量的数学期望分析

(离散型)设离散型随机变量X的分布律为P{x=xn}=pn,n=1,2,...,n

若级数 x n p n 绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为若 x n p n ,非绝对收敛,即级数n

EX= x n p n n

均值| p n 发散,

| xn

n

则称X的数学期望不存在.例如: X -1 0 1 2

P则 EX=

0.2 0.1n

0.4

0.3

xn

p n=-1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3=0.8

注意:数学期望反映了随机变量取值的平均值,它是一种加权平均.5

例题 例4.1.1 设 X 服从0-1分布 求:X数学期望 例4.1.2 设 X ~ ( )

,求 E ( X ) 解 X 的分布律为

P X k

k

k

k! λ

e , k 0,1,2, kk 1

λ e E(X) k k! k 0

k

k!

e

e

(k 1)!k 1

k 1

e e

对于连续型随机变量 X ,其概率密度为 f (x) ,那么如何定

义 X 的数学期望?当然不能直接用公式(4.1.1)的形式来加以定

义,因为连续型随机变量 X 在任一点取值的概率均为0。由于在 f (x) 的连续点 x 0 处, X 在 ( x0 , x0 x) 内取值的概率近似地为f x0 x ,因此,可给出如下定义:

定义 4.1.2

设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) ,

如果积分

xf ( x)dx

绝对收敛,则称其为 X 的数学期望(或均值) , 记为 E (X ) ,即E( X )

xf ( x) dx

(4.1.2)

例 4.1.3 设 X~N (0,1) ,求 E (X )解E ( X ) x x dx

1 2

xe

x2 2

dx 0

定理 4.1.1

设 g (x) 为连续函数,若 X 为离散型随机变量, 分布律为:

Xpk

x1p1

x2p2

xnpn

则 Y g (X ) 的数学期望为E (Y ) E g X g ( x k ) p kk 1

(4.1.3)

若 X 为连续性随机变量,概率密度为 f (x) , 则 Y g (X ) 的数学期望为E (Y ) E g X g ( x) f ( x)dx

(4.1.4)

该定理说明,在求相对复杂的随机变量 Y g (X ) 的数学期望 E (Y ) 时,不一定 要求 Y 的分布,而只要知道相对简单的 随机变量 X 的分布即可。

例.设随机变量X的概率分布为

XP

0

1

2

1/2 1/4 1/4

求E(X2+2).

解: E(X2+2)= (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4=1+3/4+6/4=13/4

例题 例4.1.4 按节气出售的某种节令商品,每售出一公斤可获利a元, 过了节气处理剩余的这种商品,每售出1公斤净亏损 b元。设某店 在 季 度 内 这 种 商 品 的 销 售 量 X 是 一 随 机 变 量 , 在 区 间 (t1,t2) 内服从均匀分布。问该店应进多少货才能使销售利润的数学期望 最大? 解 设 t (单位:公斤)表示进货数, t1 t t 2 ,进货t 所获利润记为 Y ,则 Y 是随机变量, ax t x b, t1 x t Y t x t2 at , 1 , f x t 2 t1 0 ,

由于 X 的概率密度为

t1 x t 2 其它

E Y

t

t1

t 1 1 ax t x b dx at dx t t 2 t1 t 2 t12

解续a b 2 a b 2 2 t bt1 at 2 t 2 t1 t 2 t1令

dE (Y ) a b t at 2 bt 1 0 dt t 2 t1 at 2 bt 1 t 得驻点 a b

at 2 bt1 由此可知,该店应进 a b公斤商品才可以使利润的数学期望最大。15

例.某种电子元

件使用寿命X~

x 1 1000 e f ( x ) 1000 0

x 0 x 0

规定:使用寿命在500小时以下为废品,产值为0元;在500到1000小时 之间为次品,产值为10元;在1000到1500小时之间为二等品,产值为

30元;1500小时以上为一等品,产值为40元,求该种产品的平均产值.分析:平均产值即为产值的数学期望,所以,先求产值的概率分布. 解:设Y表示产值,Y取值为0,10,30,40, x 500 500 1 1000 P{Y=0}= P{X<500} f ( x )dx e dx =1-e-0.5 0 1000 x P{Y=10} 1000 1 1000 =e-0.5-e-1 e dx = P{500≤X<1000} 500 1000 -1-e-1.5 , P{Y=30}=e P{Y=40}=e-1.5 类似可得: 所以, EY=0× (1-e-0.5)+10 × (e-0.5-e-1 )+30×( e-1-e-1.5 )+40× e-1.5 =15.65(元)16

例题 例4.1.5 设风速 X 是一个随机变量,在 [0,a] 上服从均匀分布, 而飞机机翼上受到的压力 Y 与风速的平方成正比。即 Y kX 2 k 0 ,求 E (Y ) 。 解 X 的概率密度为 1 , f x a 0 ,

0 x a 其它a

E Y kx f x dx 2

0

1 1 2 kx dx ka a 3217

例 (973) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光,电梯 于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游 客在早8 点的第X分钟到达底层侯机处,且 X在[0,60]上均匀分 布,求该游客等侯时间的数学期望。 1 x [ 0 ,60 ] f ( x ) 60 解:由题意得:X~ 0 其它

60

0

1 g( x )dx 60

设Y表示旅客候车时间, 则 5-X 0<X≤5, Y=g(X)= 25-X55-X 65-X

25 1 5 [ (5 x)dx (25 x)dx 5 60 0

5<X≤25,25<X≤55, 55<X≤60.g( x ) f ( x )dx

(55 x)dx (65 x)dx]25 55

55

60

1 ( 12.5 200 450 37.5 ) 60

=11.67(分)18

E(Y)=E(g(X))=

定理 4.1.2 设 Z 是随机变量 X , Y 的函数: Z g ( X , Y ) , ( g 是连续函数) 。若 ( X , Y ) 是二维离散型随机变量, 分布律为:P X xi , Y y i pij , (i, j 1,2, )

则有E Z E g X , Y g xi , y j p ij i 1 j 1

(4.1.5)

若 ( X , Y ) 是连续型随机变量,概率密度为 f ( x, y) ,则E E g X , Y

g x, y f x, y dxdy

(4.1.6)19

作为特例,在此定理中取 g X , Y X , 则得 E X ; 取 g X , Y Y , 则得 E Y 。

例题 例4.1.6 设二维随机变量 (X,Y) 的概率密度为 1 ,0 x 1, 0 y 1, f x, y 0 , 其它 求: E X , E Y , E XY 解

x 1 1 E X xf x, y dxdy xdxdy xdx 0 0 0 2 0 2 1 1 1

2

由的取值和的对称性,得

1 E Y 2

xdx 1 E XY

xyf x,y dxdy xydxdy 0 0 0 41 1 121

2

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/wtvj.html

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