江苏大学，大学物理19--22练习答案

练习 十九 知识点：理想气体状态方程、温度、压强公式、能量均分原理、理想气体内能 一、选择题

1． 容器中储有一定量的处于平衡状态的理想气体，温度为T，分子质量为m，则分子速度在x方向的分量平均值为 （根据理想气体分子模型和统计假设讨论） ( )

（A）?x?8kT3kT18kT； （B）?x?； （C）?x?； （D）?x?0。

2m3πm3πm解:(D)平衡状态下,气体分子在空间的密度分布均匀,沿各个方向运动的平均分子数相等,分子速度在各个

方向的分量的各种平均值相等,分子数目愈多,这种假设的准确度愈高.

2． 若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为 （ ）

（A）pV/m； （B）pV/(kT)； （C）pV/(RT)； （D）pV/(mT)。 解: (B)理想气体状态方程pV?MRT?NmRT?NRT?NkT

MmolNAmNA3．根据气体动理论，单原子理想气体的温度正比于 （ ）

（A）气体的体积； （B）气体的压强；

（C）气体分子的平均动量；（D）气体分子的平均平动动能。

13解: (D)?k?mv2?kT (分子的质量为m)

224．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 （ ）

（A）氧气的温度比氢气的高； （B）氢气的温度比氧气的高； （C）两种气体的温度相同； （D）两种气体的压强相同。

mO2TO2132解:(A) ?k?mv?kT,(分子的质量为m) ?mH2TH2225．如果在一固定容器内，理想气体分子速率都提高为原来的2倍，那么 （ ）

（A）温度和压强都升高为原来的2倍；

（B）温度升高为原来的2倍，压强升高为原来的4倍； （C）温度升高为原来的4倍，压强升高为原来的2倍； （D）温度与压强都升高为原来的4倍。 解:(D)根据公式p?6．一定量某理想气体按pV2＝恒量的规律膨胀，则膨胀后理想气体的温度 （ ） （A）将升高； （B）将降低； （C）不变； （D）升高还是降低，不能确定。 解:(B) pV2＝恒量, pV/T＝恒量,两式相除得VT＝恒量 二、填空题 1．质量为M，摩尔质量为Mmol，分子数密度为n的理想气体，处于平衡态时，状态方程为_______________，状态方程的另一形式为_____________，其中k称为____________常数。 解: pV?MRT; p?nkT;玻耳兹曼常数

Mmol2．两种不同种类的理想气体，其分子的平均平动动能相等，但分子数密度不同，则它们的温度 ，压强 。如果它们的温度、压强相同，但体积不同，则它们的分子数密度 ，单位体积的气体质量 ，单位体积的分子平动动能 。（填“相同”或“不同”）。 解: 平均平动动能?k?1nmv2,p?nkT即可判断. (分子的质量为m) 3123mv?kT,p?nkT?相同,不同;相同,不同;相同. (分子的质量为m) 223．理想气体的微观模型：

（1）___________________________________；（2）____________________________________； （3）____________________________。简言之理想气体的微观模型就是____________________。 解: (1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计.(2)气体分子的运动服从经典力学规律.

1

在碰撞中,每个分子都可以看作完全弹性的小球.(3)除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。简言之:气体分子是自由地、无规则地运动着的弹性分子的集合。 4．氢分子的质量为3.3?10?24g，如果每秒有1023个氢分子沿着与容器器壁的法线成45?角方向以105cm/s的速率撞击在2.0cm2面积上（碰撞是完全弹性的），则由这些氢气分子产生的压强为_________________。

2Nmvcos?2?1023s?1?3.3?10?27kg?103ms?1?0.70732解: (分子的质量为m) ??2.33?10N/mS2?10?4m25．宏观量温度T与气体分子的平均平动动能?k的关系为?k=___，因此，气体的温度是_______的量度。 解:?k?6?．储有氢气的容器以某速度v作定向运动，假设该容器突然停止，气体的全部定向运动动能都变为气

体分子热运动的动能，此时容器中气体的温度上升 0.7 K ,则容器作定向运动的速度v =__________m/s，容器中气体分子的平均动能增加了__________J。 解:

3kT, 分子的平均平动动能(分子无规则热运动的程度) 21MiiR?T5?8.31?0.7Mv2?R?T,v???120.6m/s ?32Mmol2Mmol2?10i5分子的平均动能(平动动能+转动动能)增加k?T??1.38?10?23?0.7?2.42?10?23J

22三、计算题

1．有一水银气压计，当水银柱高度为0.76m时，管顶离水银柱液面为0.12m。管的截面积为2.0?10?4m2。当有少量氦气混入水银管内顶部，水银柱高度下降为0.60m。此时温度为27℃，试计算有多少质量氦气在管顶？（氦气的摩尔质量为0.004kg/mol，0.76m水银柱压强为1.013?105Pa）

解：设管顶部氦气压强为p,p?0.16mHg V?0.28?2.0?10?4?5.6?10?5m3 由理想气体状态方程pV??0.16?1.013?105?2.13?104pa 0.76MRT可得, MmolpVMmol2.13?104?5.6?10?5?0.004??1.91?10?6(kg) M?RT8.31?(27?273)2．一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为?k= 6.21×10?21 J。求：

(1) 氧气分子的平均平动动能和方均根速率；

(2) 氧气的温度。(阿伏伽德罗常量NA＝6.022×1023 mol?1，玻尔兹曼常量k＝1.38×10?23 J·K?1) 解：(1) 温度相同,分子的平均平动动能相同 ?k?231kT?mv2?6.21?10?21J,(分子的质量为m) 222?k2?kNA2?6.21?10?21?6.022?1023v????484m/s

mMmol32.0?10?32?k2?6.21?10?21(2) 氧气的温度 T???300K ?233k3?1.38?103．（1）有一带有活塞的容器中盛有一定量的气体，如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27℃升到177℃、体积减少一半，求气体压强变为原来的几倍？（2）这时气体分子的平均平动动能变为原来的几倍？分子的方均根速率变为原来的几倍？ 解：(1) 根据理想气体状态方程,由题意可知

MVMp?2T?2(273?177)RT,p??RT?,???3,p??3p Mmol2MmolpT3003??T?273?1733??kT?,k?(2) 根据分子平均平动动能公式可知 ?k?kT,?k??1.5

22?kT273?27pV? 2

3RT3RT?,v?2?,v?2/v2?T?/T?3/2?1.225 MmolMmol114． 水蒸气分解为同温度T的氢气和氧气H2O →H2＋O2时，1摩尔的水蒸气可分解成1摩尔氢气和

22根据方均根速率公式v2?摩尔氧气。当不计振动自由度时，求此过程中内能的增量。

Mi?RT?3RT Mmol251515RT 氢气和氧气的自由度均为5，EH2?EO2?RT??RT?2224153RT?3RT?RT 内能的增量?E?44解：水蒸汽的自由度i?6，EH2O?5．有 2×10?3 m3刚性双原子分子理想气体，其内能为6.75×102 J。(1) 试求气体的压强；(2) 设分子总

数为 5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。 解：（1）因为PV?MM55RT，内能E?RT?N?kT。 MmolMmol222E2?6.75?10252??1.35?10N/m所以 p? ?35V5?2?10332E3E3?6.75?102?21???7.5?10J （2）分子的平均平动动能?k?kT??22225N5N5?5.4?1033?k?kT??1.38?10?23?T?7.5?10?21J，T?362K

226．一容器被中间的隔板分成相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K，

二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。

解：设氦气、氧气的摩尔数分别为?1、?2，根据理想气体状态方程可知

pVV??1RT1,p?22?2RT2,?2?T1

?1T2 将系统进行的过程近似地看成绝热过程,又因系统对外不作功,内能守恒

??E2?,?1 E1?E2?E13535RT1??2RT2??1RT??2RT, 22228T1T23?T?5?2T23T1?5(?2/?1)T23T1?5(T1/T2)T2??284.4k T?11??3T2?5T13?1?5?23?5(?2/?1)3?5(T1/T2)练习 二十 知识点：麦克斯韦速率分布律、三个统计速率、平均碰撞频率和平均自由程 一、选择题

1． 在一定速率?附近麦克斯韦速率分布函数 f(?)的物理意义是：一定量的气体在给定温度下处于平衡态时的 （ ）

（A）速率为?的分子数； （B）分子数随速率?的变化；

（C）速率为?的分子数占总分子数的百分比；

（D）速率在?附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。 解：(D) f(v)?dN,速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

Ndv2． 如果氢气和氦气的温度相同，摩尔数也相同，则 （ ）

（A）这两种气体的平均动能相同； （B）这两种气体的平均平动动能相同； （C）这两种气体的内能相等； （D）这两种气体的势能相等。

解：(B) 平均动能=平均平动动能+转动动能,氦气为单原子分子,i?3;氢气为双原子(刚性)分子, i?5

3

3． 在恒定不变的压强下，理想气体分子的平均碰撞次数z与温度T的关系为 ( ) （A）与T无关； （B）与T成正比； （C）与T成反比； （D）与T成正比； （E）与T成反比。

8R 解：(C)z?2vn?d2?28RTp?d2?2?d2p?MmolkT?MmolT4． 根据经典的能量按自由度均分原理，每个自由度的平均能量为 （ ）

（A）kT/4； （B）kT/3； （C）kT/2； （D）3kT/2； （E）kT。 解：(C)

5． 在20℃时，单原子理想气体的内能为 （ ）

（A）部分势能和部分动能； （B）全部势能； （C）全部转动动能； （D）全部平动动能； （E）全部振动动能。

解：(D)单原子分子的平动自由度为3,转动自由度0, 振动自由度为0

6． 1mol双原子刚性分子理想气体，在1atm下从0℃上升到100℃时，内能的增量为 （ ）

（A）23J； （B）46J； （C）2077.5J； （D）1246.5J； （E）12500J。 解：(C)?E?二、填空题

1．f(?)为麦克斯韦速率分布函数，

Mi5R?T?1??8.31?100?2077.5J

Mmol22???pf(?)d?的物理意义是_____________，??0m?2f(?)d?的物2理意义是__________，速率分布函数归一化条件的数学表达式为___________，其物理意义是_________。 解：

?dNdNdv??vp?vpN,vp~?速率区间内分子数占总分子数的百分率; vpNdv22??mv?mvdN0~?,速率区间内分子的平均平动动能; f(v)dv?1;速率在0~?内的分?02f(v)dv ??02N 0?f(v)dv????子数占总分子数的比率为1。

2． 同一温度下的氢气和氧气的速率分布曲线如右图所示，其中曲线1为_____________的速率分布曲线，__________的最概然速率较大（填“氢气”或“氧气”）。若图中曲线表示同一种气体不同温度时的速率分布曲线，温度分别为T1和T2且T1

3．设氮气为刚性分子组成的理想气体，其分子的平动自由度数为_________，转动自由度为_________；分子内原子间的振动自由度为__________。解：3;2;0

4．在温度为27℃时，2mol氢气的平动动能为 ，转动动能为 。

3解：分子平动自由度3, 平动动能为2NA?k?2NA?kT?3RT?3?8.31?300?7479J

2分子转动自由度2, 转动动能为2NA?kT?2RT?2?8.31?300?4986J

5． 1mol氧气和2mol氮气组成混合气体，在标准状态下，氧分子的平均能量为_________，氮分子的平均能量为____________；氧气与氮气的内能之比为____________。 解：氧气、氮气均为双原子分子,自由度为5,因此

??55MikT??1.38?10?23?273?9.42?10?21J;??9.42?10?21J; E?RT ?1:2 22Mmol26．2 mol氮气，由状态A(p1,V)变到状态B(p2,V)，气体内能的增量为__________。 解：内能E?5MiiRT?PV,内能的增量?E?(P2?P1)V

2Mmol22三、计算题

1?． 设氢气的温度为300℃。求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数N1与速率在?p到?p+10m/s之间的分子数N2之比。

4

解：根据麦克斯韦速率分布函数可得

?Nm3/2?2kT24v2?(vp)?v(分子的质量为m) ?4?()ev?v?()eN2?kTvp?vpmv2v2N1?N430002)ev?p(?(30002)vpN130002?(104?110?()e，,N2?NeNvvpv?2pp300030002)vp?e,

vp?2RT/Mmol?

N130002?(2183)2?()e?e?0.78, ?2183m/s，N22183?(mghkT)2．假定大气层各处温度相同均为T，空气的摩尔质量为Mmol，试根据玻尔兹曼分布律n?n0?e证明大气压强p与高度h(从海平面算起)的关系是h?压强减到地面的75%。

解：p?nkT?n0kTe?mgh/kT?p0e?mgh/kT,h? h?，

pRT?ln0。并求上升到什么高度处，大气的

MmolgpRTpln0(分子的质量为m)

MmolgpRTp0RT4ln?ln Mmolg0.75p0Mmolg33?．导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子。电子气中电子的最大速率?F叫做费米速率。电子的速率在?与?+d?之间的概率为：

?4??2AdV (?F???0)

dN??N?N? (???F)?0 式中A为归一化常量。（1）由归一化条件求A。（2）证明电子气中电子的平均动能

2?k?(m?F)?EF，此处EF叫做费米能。

33NdN3v2dvA4?v2Adv4?vF解：(1)?f(v)dv?1, ?,??1，A??3 3004?vFN3NNvFVF13VFv4dv3?12?32(2)?k??mvf(v)dv?m???mvF??EF 30220vF5?2?5315235?vF4．今测得温度为t1＝15℃，压强为p1＝0.76 m汞柱高时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为：?Ar＝ 6.7×10?8 m和?Ne=13.2×10?8 m，求：

(1) 氖分子和氩分子有效直径之比dNe / dAr＝？

(2) 温度为t2＝20℃，压强为p2＝0.15 m汞柱高时，氩分子的平均自由程?Ar＝？

2?ArdNedNe?Ar6.7解：(1)??, ,????0.712 22?Ne13.22?dn?NedArdAr/1(2) ????ArT2p1293?0.76??5.15?Ar?3.45?10?7m ， ?Ar????5.152?d2p?Arp2T10.15?288kT,

?2?105．真空管的线度为 10m，其中真空度为1.33?10?3pa，设空气分子的有效直径为3?10（1）温度为27℃时单位体积内的空气分子数；（2）平均碰撞频率；（3）平均自由程。

m。求：

p1.33?10?3解：(1)n???3.21?1017个/m3,(2)v?8RT?8?8.31?300?467m/s， ?23kT1.38?10?300?Mmol3.142?0.0289z?2?d2vn?2?3.14?9?10?20?467?3.21?10?17?59.7s?1 ，(3)??v?z12?dn2?7.82m

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