高三数学寒假作业冲刺培训班之历年真题汇编复习实战77053

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）

1．【南昌市八一中学月考】某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：（ ） x 1．99 3 4 5．1 6．12 y 1．5 4．04 7．5 12 18．01

对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是

A ．

B ．

C ．

D ．

2．【江西吉安期中测试】值域为，其对应关系为

的函数的个数为（ ） A ．1 B ．27 C ．39 D ．8

3． 【天水市一中高考信息卷】设函数的定义域为D ，如果，使得 成立，则称函数为“Ω函数”给出下列四个函数：①；②； ③；④， 则其中“Ω函数”共有（ ）

（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

4．【景洪市第四中学期中考试】已知=，则的值为（ ） A 、 2 B 、 5 C 、 4 D 、3

5．【温州中学期中文科】如果

，则当且时，（ ） A ． B ． C ． D ．

6．【山东青岛市高三下学期第二次模考】如果函数在区间上是增函数，而函数

间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”，若函数是区间上的“缓增函数”，则其“缓增区间”为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 22y x =-1()2x y =2log y x =21(1)2y x =-}10,5,2{12+=x y ()f x x D y D ,?∈?∈()()

f x f y =-()f x y x =sin 2x y =11y x =

-()ln f x x =()f x 5(6)(4)(6)x x f x x -≥??+

(3)f 1()1x f x x =-0x ≠1x ≠()f x =1x 11x -11x -11x -()y f x =I ()

f x y x =I ()y f x =I I 213()22f x x x =-+I I [1)+∞，[0,3][0]1，[1,3]

7．【上海市闸北区高三下学期二模】已知函数

，若，

，则必有（ ） A 、

B 、

C 、

D 、的符号不能确定

8．【期中考试总动员高三理科浙江卷】设254(3)()log (31)(3)x e x f x x x -?<=?+≥?，则＝（ ）

A ．

B ．

C ．5

D ．

9．【新疆乌鲁木齐高三第一次诊断性测试】设函数满足，则（ ）

10．【原创题】若:f A B →能构成映射，下列说法正确的有（）

（1）A 中的任一元素在B 中必须有像且唯一； （2）A 中的多个元素可以在B 中有相同的像；

（3）B 中的多个元素可以在A 中有相同的原像；

（4）像的集合就是集合B.

A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个

11．【赣州市赣县中学十月考试】已知，那么等于（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 12，设，若

，则的取值范围是（ ） ()2f x x x c =++)0(1)]([,32)(22

≠-=+=x x x x g f x x g )1(f 082524

-

911()122x x f x +??=?-??(01)(1)x x ≤<≥0a b >≥()()f a f b =()b f a ?()00f >()0f p <()10f p +>()10f p +<()10f p +=()1f p +)]

22(ln [+f f 15log 52)13(log 25+e ()

f x (sin cos )sin cos f αααα+=(0)f =.A 1

2-.B 0.C 12.D 1

A ． B

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）

13，则．

14．【长沙市雅礼中学高三四月月考】已知函数，且，那么 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

15． 【期中备考总动员高三理科】已知函数

， 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．

16．【东北师大附中高三第二次模考】定义：如果函数在定义域内给定的区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．例如是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数

是上的平均值函数，则实数的取值范围是．

三、解答题 （本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．【安徽滁州新锐私立学校联考】(17分)已知函数是定义在上的奇函数，当

，

（1）画出图象； (]1,2()f x =53()8f x x ax bx =++-(2)10f -=(2)f =26-18-10-10???-=22)(x x x f )0()0(<≥x x ]2,[+∈t t x )(2)(x f t x f ≥+t ()y f x =[,]a b 00()x a x b <<()y f x =[,]a b 0x 4y x =[1,1]-2()1f x x mx =-++[1,1]-m )(x f R x x x f x 2)(,02-=≥)(x f

（2）求出的解析式． 18．【天水市一中期中考试】（17分）已知为定义在 上的奇函数，当时，函数解析式为． （Ⅰ）求在上的解析式； （Ⅱ）求在上的最值.

19．【河北石家庄第二实验中学月考】（18分）已知实数a≠0，函数

（1）若，求，的值；

（2）若，求的值．

20．【吉安一中月考】（本小题满分18分）设当时，.当时，，又，写出的表达式并作出其图象. 高考模拟复习试卷试题模拟卷)(x f ()f x [1,1]11()

42x x f x ()f x [0,1]()f x [0,1]()f x =212 1.x a x x a x +---=

x x f x f x g )(x g y =

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数的模长为（）

A．B． C．D．2

2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）

A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]

3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．

4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列；

p2：数列{nan}是递增数列；

p3：数列是递增数列；

p4：数列{an+3nd}是递增数列；

其中真命题是（）

A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4

5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）

A．45 B．50 C．55 D．60

6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）

A．B．C．D．

7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．7

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）

A．B．C．D．

9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）

A．b=a3 B．

C．D．

10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）

A．B．C．D．

11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）

A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16

12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．

14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=．

15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）设向量，，．

（1）若，求x的值；

（2）设函数，求f（x）的最大值．

18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

19．（12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．

（Ⅰ）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（Ⅱ）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．

20．（12分）如图，抛物线C1：x2=4y，C2：x2=﹣2py（p＞0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B（M为原点O时，A，B重合于O），当x0=1﹣时，切线MA的斜率为﹣．

（Ⅰ）求P的值；

（Ⅱ）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程（A，B重合于O时，中点为O）．

21．（12分）已知函数f（x）=（1+x）e﹣2x，g（x）=ax++1+2xcosx，当x∈[0，1]时，（I）求证：；

（II）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在21、22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲

如图，AB为⊙O直径，直线CD与⊙O相切与E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，连接AE，BE．证明：

（I）∠FEB=∠CEB；

（II）EF2=AD?BC．

23．在直角坐标系xOy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ，ρcos（）=2．

（Ⅰ）求C1与C2交点的极坐标；

（Ⅱ）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点，已知直线PQ的参数方程为（t∈R为参数），求a，b的值．

24．已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1

（1）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤2的解集{x|1≤x≤2}，求a的值．

高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）复数的模长为（）

A．B． C．D．2

【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．

【解答】解：复数，

所以===．

故选：B．

【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．

2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）

A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]

【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．

【解答】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，

解得：1＜x＜4，即A=（1，4），

∵B=（﹣∞，2]，

∴A∩B=（1，2]．

故选：D．

【点评】此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

3．（5分）已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A． B． C． D．

【分析】由条件求得=（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为求得结果．

【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，

则与向量同方向的单位向量为=，

故选：A．

【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．

4．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：

p1：数列{an}是递增数列；

p2：数列{nan}是递增数列；

p3：数列是递增数列；

p4：数列{an+3nd}是递增数列；

其中真命题是（）

A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4

【分析】对于各个选项中的数列，计算第n+1项与第n项的差，看此差的符号，再根据递增数列的定义得出结论．

【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{an}，an+1﹣an=d＞0，∴命题p1：数列{an}是递增数列成立，是真命题．

对于数列{nan}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）an+1﹣nan=（n+1）d+an，不一定是正实数，

故p2不正确，是假命题．

对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣==，不一定是正实数，

故p3不正确，是假命题．

对于数列{an+3nd}，第n+1项与第n项的差等于 an+1+3（n+1）d﹣an﹣3nd=4d＞0，

故命题p4：数列{an+3nd}是递增数列成立，是真命题．

故选：D．

【点评】本题主要考查等差数列的定义，增数列的含义，命题的真假的判断，属于中档题．

5．（5分）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）

A．45 B．50 C．55 D．60

【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．

【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，

在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，

每组数据的组距为20，

则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，

又∵低于60分的人数是15人，

则该班的学生人数是=50．

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．

6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=（）

A．B．C．D．

【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．

【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，

∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，

∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，

则∠B=．

故选：A．

【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

7．（5分）使得（3x+）n（n∈N+）的展开式中含有常数项的最小的n为（）A．4 B．5 C．6 D．7

【分析】利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r??，令x的幂指数n﹣r=0即可求得展开式中含有常数项的最小的n．

【解答】解：设（n∈N+）的展开式的通项为Tr+1，

则：Tr+1=3n﹣r??xn﹣r?=3n﹣r??，

令n﹣r=0得：n=r，又n∈N+，

∴当r=2时，n最小，即nmin=5．

故选：B．

【点评】本题考查二项式系数的性质，求得n﹣r=0是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）

A．B．C．D．

【分析】框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，

执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．

【解答】解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，

判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；

判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；

判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；

判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；

判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；

判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．

故选：A．

【点评】本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．

9．（5分）已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若△OAB为直角三角形，则必有（）

A．b=a3 B．

C．D．

【分析】利用已知可得=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．分以下三种情况：①，②，③，利用垂直与数量积的关系即可得出．

【解答】解：∵=（a，a3﹣b），，=（a，a3），且ab≠0．

①若，则=ba3=0，∴a=0或b=0，但是ab≠0，应舍去；

②若，则=b（a3﹣b）=0，∵b≠0，∴b=a3≠0；

③若，则=a2+a3（a3﹣b）=0，得1+a4﹣ab=0，即．

综上可知：△OAB为直角三角形，则必有．

故选：C．

【点评】熟练掌握垂直与数量积的关系、分类讨论的思想方法是解题的关键．

10．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的半径为（）

A．B．C．D．

【分析】通过球的内接体，说明几何体的侧面对角线是球的直径，求出球的半径．

【解答】解：因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，

所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，侧面B1BCC1，经过球的球心，球的直径是其对角线的长，

因为AB=3，AC=4，BC=5，BC1=，

所以球的半径为：．

故选：C．

【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力．

11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．设H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值），记H1（x）的最小值为A，H2（x）的最大值为B，则A﹣B=（）

A．16 B．﹣16 C．﹣16a2﹣2a﹣16 D．16a2+2a﹣16

【分析】先作差得到h（x）=f（x）﹣g（x）=2（x﹣a）2﹣8．分别解出h（x）=0，h（x）＞0，h（x）＜0．画出图形，利用新定义即可得出H1（x），H2（x）．进而得出A，B即可．

【解答】解：令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣2（a+2）x+a2﹣[﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8]=2x2﹣4ax+2a2﹣8=2（x﹣a）2﹣8．

①由2（x﹣a）2﹣8=0，解得x=a±2，此时f（x）=g（x）；

②由h（x）＞0，解得x＞a+2，或x＜a﹣2，此时f（x）＞g（x）；

③由h（x）＜0，解得a﹣2＜x＜a+2，此时f（x）＜g（x）．

综上可知：

（1）当x≤a﹣2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x﹣（a+2）]2﹣4a﹣4，

H2（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=﹣[x﹣（a﹣2）]2﹣4a+12，

（2）当a﹣2≤x≤a+2时，H1（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=f（x）；

（3）当x≥a+2时，则H1（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H2（x）=min{f（x），g （x）}=g（x），

故A=g（a+2）=﹣[（a+2）﹣（a﹣2）]2﹣4a+12=﹣4a﹣4，B=g（a﹣2）=﹣4a+12，

∴A﹣B=﹣4a﹣4﹣（﹣4a+12）=﹣16．

故选：B．

【点评】熟练掌握作差法、二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法及正确理解题意是解题的关键．

12．（5分）设函数f（x）满足x2f′（x）+2xf（x）=，f（2）=，则x＞0时，f（x）（）

A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值

C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值

【分析】令F（x）=x2f（x），利用导数的运算法则，确定f′（x）=，再构造新

函数，确定函数的单调性，即可求得结论．

【解答】解：∵函数f（x）满足，

∴

令F（x）=x2f（x），则F′（x）=，

F（2）=4?f（2）=．

由，得f′（x）=，

令φ（x）=ex﹣2F（x），则φ′（x）=ex﹣2F′（x）=．

∴φ（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，

∴φ（x）的最小值为φ（2）=e2﹣2F（2）=0．

∴φ（x）≥0．

又x＞0，∴f′（x）≥0．

∴f（x）在（0，+∞）单调递增．

∴f（x）既无极大值也无极小值．

故选：D．

【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．

【分析】首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．

【解答】解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，

圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，

四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．

故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，

故答案为：16π﹣16．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．

14．（5分）已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6=63．

【分析】通过解方程求出等比数列{an}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．

【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．

因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，

所以a1=1，a3=4．

设等比数列{an}的公比为q，则，所以q=2．

则．

故答案为63．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．

15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．

【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'、BF'，可得四边形AFBF'为平行四边形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，从而得到|AF|2+|BF|2=|AB|2，得

∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根据椭圆的定义得到2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后结合椭圆的离心率公式即可算出椭圆C的离心率．

【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'

∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6

∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，

∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，

可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8

由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7

∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2

∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5

因此，椭圆C的离心率e==

故答案为：

【点评】本题给出椭圆经过中心的弦AB与左焦点构成三边分别为6、8、10的直角三角形，求椭圆的离心率．着重考查了椭圆的定义与标准方程、椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．

16．（5分）为了考察某校各班参加课外小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为10．

【分析】本题可运用平均数公式求出平均数，再运用方差的公式列出方差表达式，再讨论样本数据中的最大值的情况，即可解决问题．

【解答】解：设样本数据为：x1，x2，x3，x4，x5，

平均数=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；

方差s2=[（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2]÷5=4．

从而有x1+x2+x3+x4+x5=35，①

（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2+（x5﹣7）2=20．②

若样本数据中的最大值为11，不妨设x5=11，则②式变为：

（x1﹣7）2+（x2﹣7）2+（x3﹣7）2+（x4﹣7）2=4，由于样本数据互不相同，这是不可能成立的；

若样本数据为4，6，7，8，10，代入验证知①②式均成立，此时样本数据中的最大值为10．

故答案为：10．

【点评】本题考查的是平均数和方差的求法．计算方差的步骤是：①计算数据的平均数；

②计算偏差，即每个数据与平均数的差；③计算偏差的平方和；④偏差的平方和除以数据个数．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（12分）设向量，，．

（1）若，求x的值；

（2）设函数，求f（x）的最大值．

【分析】（1）由条件求得，的值，再根据以及x的范围，可的sinx的值，从而求得x的值．

（2）利用两个向量的数量积公式以及三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣）+．结合x的范围，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值．

【解答】解：（1）由题意可得=+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，

由，可得 4sin2x=1，即sin2x=．

∵x∈[0，]，∴sinx=，即x=．

（2）∵函数=（sinx，sinx）?（cosx，sinx）

=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x﹣）+．

x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，

∴当2x﹣=，sin（2x﹣）+取得最大值为1+=．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

18．（12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）若AB=2，AC=1，PA=1，求证：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

【分析】（Ⅰ）要证平面PAC⊥平面PBC，只要证明平面PBC经过平面PAC的一条垂线BC 即可，利用题目给出的条件借助于线面垂直的判定定理能够证明BC⊥平面PAC；

（Ⅱ）因为平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC内过C作两面的交线AB的垂线，然后过垂足再作PB的垂线，连结C和后一个垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通过解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：如图，

由AB是圆的直径，得AC⊥BC．

由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．

又PA∩AC=A，PA?平面APC，AC?平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．

因为BC?平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC；

（Ⅱ）解：过C作CM⊥AB于M，

因为PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以PA⊥CM，

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