角动量及其守恒

第七讲 角动量及其守恒

1、力矩

表述 由点到力的作用点的矢径r与力F的矢量积称为力F对点O的力矩，即

???M?r?F

注释:

⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量．力矩不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对哪个点而言的．

⑵力矩是矢量，其大小为，式中，?为r与力F方向M?Frsin??FdM O S d r m F 间（小于180o）的夹角，d到点O力矢量的延长线

?的距离,称作力臂,显然，若力的作用线通过参考点，力臂为零，则力矩为零．

⑶力矩的方向由右手旋法则确定，即将右手的四个手指由矢量r沿小于180

图1.2.1 o转至力F的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图1.2.1所示，力矩M垂直于r和F构成的平面。

2、冲量矩和角动量（动量矩）

冲量矩 力对某定点的力矩M与力矩作用的微小时间间隔dt的乘积，称为力矩M在时间dt内的冲量矩，而在t1到t2的一段时间内的冲量矩是?t2Mdt． t1角动量 质点对某点的位矢r与质点在相应位置的动量mv的矢量积，称作质点对该

???定点的动量矩，即： L?r?p

注释

z v⑴ 冲量矩是矢量，反映的是力对绕定点转动的时间积累作用，是一个和过程有关的量．

S O平面，由右手法则确定，如图所示。

⑶ 角动量是描述质点绕定点的运动，是状态量．提到动量矩，应指出是相对哪个定点而言的．

⑷ 动量和角动量概念的对比．动量和角动量都是矢量，又都

是质点运动状态的函数，但二者又有区别：从定义看，前者只是速度的函数，而后者除了与运动速度有关以外，还与质点对给定点的矢径有关．以匀速圆周运动为例，运动过程中动量不守恒，而对圆心的角动量却是守恒的．

m r ? ?rmvsin⑵ 角动量是矢量，其大小为l，式中?为r和

mv方向间(小于180?o )的夹角，其方向垂直于由r和mv构成的

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3、角动量定理

表述 质点所受合外力对某定点的冲量矩等于质点对该定点的角动量的增量，即

??t2t1it2t1???Mdt?L1?L2

对于质点系，角动量定理表述为系统所受外力合冲量矩等于系统总动量矩的增量，即

????Mi外dt??Li??Li0

ii注释

⑴ 此定理只适用于惯性系．

⑵ 系统的动量矩的改变仅取决于外力的冲量矩，与内力矩无关．

⑶ 各外力的作用点一般不在同一点上，在求合外力矩

m 时应先求出每一个外力的力矩，再求各力矩的矢量和．例F2=-F0 如，两个质量相同的小球用一（质量可以忽略的）轻杆相m 1 连，绕中心点O在水平面内转动，如图所示，当分别作用

FI 于两球上大小相等，方向相反的外力时，对于两球系统有

?Fi外?0，而对中心点0的?Mi外?0．

ii⑷ 定理中每个外力的力矩和每个质点的角动量都应是相对同一定点而言的． ⑸ 对于微小的时间过程，动量矩定理可以写成微分形式，即

?dL M合?

dt???式中，M合??(ri?Fi外)为各外力对某定点的力矩的矢量和，称为合外力矩，???L??(r?mivi)为系统内各质点对该定点的角动量的矢量和，称为系统对该定点的总角

ii动量，微分形式的角动量定理可表述为：系统所受的合外力矩等于系统总角动量的变化率．

4、角动量守恒定律

表述 若对某定点合外力矩为零，则系统对该定点角动量守恒，即

???? 若M合?0,则L??(ri?pi)?C

i注释：

⑴ 角动量守恒定律既适用于单个质点，又适用于质点系．对于单个质点，守恒定律可简化为：对于某个定点O，若质点所受的合外力矩为零，则质点对点O的角动量守恒． ⑵ 守恒条件为对某定点的合外力矩为零．应理解力矩为零既可能是由于力为零，也可能是由于力臂为零，即力的作用线过定点．在有心力作用下的质点（如电子绕核运动时）角动量守恒．

⑶一旦满足角动量守恒条件，则有角动量守恒的结论，如匀速直线运动的质点，由于所受的合外力为零，从而导致合外力矩为零，对线外点O的动量矩一定守恒，即

???L?r?mv?mvd；而匀速圆周运动的质点受到的合外力指出圆心，故对其圆心点来说，

合外力矩为零，动量矩必然守恒，对其他点来说，向心力的力矩不是零，则动量矩不守恒． 5、角动量定理在刚体动力学中的简单应用

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5.1刚体的动能

刚体是多质点系统，它的动能等于各质点动能之和，即

1Ek??mivi2

i2?有： 根据柯尼希定理Ek?EkC?EkEk?11122mvC?IC?2（其中EkC?(?mi)vC为质心动能， 22i2??Ek111222??mv?(mr)??IC?2，IC为相对于质心的转动惯量） ??iiii2i2i2转动惯量：I??mri2ii

5.2刚体运动的描述

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5.3刚体定轴转动动力学 （1）转动方程

??dLz绕z轴转动的定轴转动方程：Mz?

dtL??mirivi??miri2??I?

?M?dLd??I?I? dtdt12I? 2

（2）转动动能：Ek转??外dL?（3）质心系中的角动量定理：M??，这是由于质心系中惯性力的力矩为0.

dt例1：（1）试证明开普勒第二定律。 （2）一根质量分布均匀的细棒，质量为M、长L。求其绕过其质心垂直于棒的轴的转动惯量，及其绕过其一端垂直于棒的轴的转动惯量。

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例2：一个圆锥摆，长为L的绳的一端悬挂在B点，另一端系一质量为M的摆球（视作质点），摆球以匀角速度ω作稳定的水平圆周运动。设圆周运动半径为r，圆心为A点。如图所示，试求：

（1）相对于A点和B点的角动量； （2）相对于A点和B点的力矩。

例 3：匀质杆的质量为 m，长为 l，一端为光滑的支点.最初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示.则：

（ 1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度 v （ 2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力.

（ 3）假如当棒通过竖直位置时铰链突然松脱，棒在下落过程中，当棒的质心下降了 h 的距离时，棒一共转了多少圈？

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