第七章 小波分析、分析工具及应用发展

小波变换

第七章 小波分析、 分析工具及应用发展

小波变换

复习回顾

小波分析来源小波分析来源于信号分析的需求.设一个有限分辨 率的连续信号 f t ,将其近似地表示为下列阶梯函 数(图1) 0 f 0 t Cn t n

0 Cn f n 为 为简化叙述,取整数点(n)为样点,式中 样本值,而其基函数 1 0 t 1 t others 0

n

并又将其称为“尺度函数”,如图2所示.

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我们将采样间隔加倍,则其样点数减半,这时 1 信号表示为 f1 t Cn t n n

2

1 0 0 C C2 n C2 n 1 ,参见 显然,这里自然取 21 n

(图3).我们称上述算法为二分法.再分析二 分前后两个信号的偏差(图3)

g1 t f0 t f1 t

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它具有形式1 n

t 1 而其基函数 others 它就是一种“小波函数”。 顾名思义,“小波”就是小的波形。所谓“小 ”是指它具有衰减性,譬如是局部非零的;而称 之为“波”则是指它的波动性,即其振幅呈正 sin x 负相间的震荡形式.又如 也具有这种特 x 性。1 2

1 d C2 n C2 n 1 2

t g1 t d n 2 0 0 n1 n

, 这里0 t 1 2

1 t 1 如(图4)所示: 0

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小波函数 t 的重要价值在于:它通过 平移和伸缩可生成平方可积函数空间 L2 R 中一组正交基: 2 t n , k , n Z 从而可 , k f t dn 2 k t n 将信号 f t 进行分解: k

为进行信号分析,提供 L R 的一组正交基是 至关重要的.我们尤感兴趣的是,为了适应实 际需要,利用所给的小波函数能否派生出更 多、更适用的小波函数?2

n,k

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再考察上述尺度函数 t 与小波函数 t ,它们 可以看作是由函数 2t 经过下列两种不同的 运算生成的(见图5): 0 对称 t 2t 2t 1 t 2t 2t 1 1 从图5上看, t 和 t 具有不同的对称性,分别 记为“0”和“1”对称.

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我们再对所给小波函数 t 反复施行所谓 “0” 和 “1” 两种对称运算,则可生成一系列小波函数,如图6所示.即 t 施行“0” 对称运算→ t ; 施行“1” 对称运算→ 0 1 t t 0 t 施行“0” 对称运算→ t ; 施行“1” 对称运算→ 10 t 00 0 t 11 t 1 t 施行“0” 对称运算→ t ; 施行“1” 对称运算→ 01 t ……… ………1

这些小波函数组成一个函数库,图7表示自下而上地描述 了小波

库的生成过程.

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Matlab中的小波分析工具箱(Wavelet 3.0)

Matlab小波分析工具箱提供了一个可视化 的小波分析工具，是一个很好的算法研究 和工程设计，仿真和应用平台。特别适合 于信号和图像分析，综合，去噪，压缩等 领域的研究人员。

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小波分析工具箱的七类函数：常用的小波基函数。 连续小波变换及其应用。 离散小波变换及其应用。 小波包变换。 信号和图像的多尺度分解。 基于小波变换的信号去噪。 基于小波变换的信号压缩。

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常用的小波基函数：参数表示morl mexh

小波基的名称Morlet小波 墨西哥草帽小波

meyrhaar dbN

Meyer小波Haar小波 紧支集正交小波

symNcoifN biorNr.Nd

近似对称的紧支集双正交小波Coifmant小波 双正交样条小波

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怎样获取小波基的信息：

在Matlab窗口键入“waveinfo(‘参数名’)>>waveinfo('meyr')

MEYRINFO Information on Meyer wavelet.

Meyer Wavelet

General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.

Family Short name

Meyer meyr

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Orthogonal Biorthogonal

yes yes no possible but without FWT possible

Compact support DWT CWT

Support widthEffective support Regularity

infinite[-8 8] indefinitely derivable

Symmetry

yes

Reference: I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, CBMS, SIAM, 61, 1994, 117-119, 137, 152.

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计算小波滤波器系数的函数：参数表示 morlet mexihat 小波基的名称 计算Morlet小波滤波器系数 计算墨西哥草帽小波滤波器系数

meyermeyeraux dbwavf dbaux symwavf coifwavf biowavf

计算Meyer小波与尺度滤波器系数计算Meyer小波辅助函数 计算紧支集双正交小波滤波器系数 计算紧支集双正交小波尺度滤波器系数 计算近似对称的紧支集双正交小波滤波器系数 计算Coifmant小波尺度滤波器系数 计算双正交样条小波尺度滤波器参数

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wname='bior2.2'; [rf,rd]=biorwavf(wname)

rf =

0.2500 0.5000 0.2500

rd =

-0.1250 0.2500 0.7500 0.2500 -0.1250

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用于验证算法的数据文件：文件名 sumsin.mat freqbrk.mat 说明 三个正弦函数的叠加 存在频率断点的组合正弦信号

whitnois.matwarma.mat wstep.mat

均匀分布的白噪声有色AR(3)噪声 阶梯信号

nearbrk.matscddvbrk.mat wnoislop.mat ……

分段线性信号具有二阶可微跳变的信号 叠加了白噪声的斜坡信号 ……

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sum sin .m at sum sin(t ) sin(3t ) sin(0.3t ) sin(0.03t ) freqbrk.m at 1 t 500 sin(0.03t ) freqbrk(t ) sin(0.3t ) 501 t 1000

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wto4.html