中小学资料上海市2017年高考数学模拟试卷(4)（含解析）

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2017年上海中学高考数学模拟试卷（4）

一．选择题

1．已知函数f（x）=a+a，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 2．设f（x）=x3+log2（x+（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流 的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的

x

﹣x

A．（2﹣2）a万元 B．5a万元 C．（2+1）a万元 D．（2+3）a万元

4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则x=S2n+S22n，y=Sn（S2n+S3n）的大小关系是（ ） A．x≥y B．x=y C．x≤y D．不确定 二．填空题

5．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为 ．

6．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且在[﹣1，3]内，关于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠﹣1）有四个根，则k取值范围是 ．

7．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+fx，过P（2n，中小学最新教育资料

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0）任作直线l交抛物线于An，Bn两点，则数列的前n项和公式是 ．

12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是 ．

13．设抛物线y=ax（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则x1，x2，x3的关系是 ．

14．满足|z﹣z0|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z0在复平面上对应的点的轨迹是 ．

15．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足

16．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：

①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子； ②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少． 那么A处应填入的数字为 ；B处应填入的数字为 ． 4 ，则S△PAC：S△ABC= ．

2

9 A 3 5 2 6 7 3 5 4 2 8 6 9 1 7 6 9 3 5 4 9 B 5 2 8 1 三．解答题

2 8 7 6 4 17．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（时，f（x）取得最大值2

﹣1．

，1），且当x∈

（1）求f（x）的解析式；

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（2）是否存在向量，使得将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出

最小的；若不存在，说明理由．

a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G

18．在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=为PE的中点．

（1）求AG与平面PDE所成角的大小 （2）求点C到平面PDE的距离．

19．（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若并判断

与

的关系；

，，试用，表示，，

（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An﹣1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．

20．设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1﹣an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn﹣2}（n∈N+）是等比数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）是否存在k∈N+，使

，若存在，求出k，若不存在，说明理由．

．过点M作MM1⊥

．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、

21．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，

B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）． （1）求曲线C的方程；

（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由． 中小学最新教育资料

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22．已知函数f（x）=ax+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．

（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1； （2）若

时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]

2

时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值； （3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．

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2017年上海中学高考数学模拟试卷（4）

参考答案与试题解析

一．选择题

1．已知函数f（x）=a+a，且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 【考点】45：有理数指数幂的运算性质．

【分析】考查题设条件，首先可得出a+=3，又f（2）=a2+a﹣2=故f（0）+f（1）+f（2）的值易得

【解答】解：由题意，函数f（x）=ax+a﹣x，且f（1）=3，可得a+=3， 又f（2）=a2+a﹣2=

﹣2=7，f（0）=1+1=2

﹣2，及f（0）=1+1=2，

x

﹣x

所以f（0）+f（1）+f（2）=2+3+7=12 故选C

2．设f（x）=x3+log2（x+（ ）

A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；3F：函数单调性的性质；3I：奇函数． 【分析】由f（﹣x）=﹣x3+log（2﹣x+

）=﹣x3+log2

=﹣x3﹣log（2x+

）

），则对任意实数a，b，a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的

=﹣f（x），知f（x）是奇函数．所以f（x）在R上是增函数，a+b≥0可得af（a）+f（b）≥0成立；若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知a+b≥0成立a+b＞=0是f（a）+f（b）＞=0的充要条件． 【解答】解：f（x）=x3+log2（x+

），f（x）的定义域为R

∵f（﹣x）=﹣x3+log2（﹣x+）=﹣x3+log2

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=﹣x﹣log2（x+∴f（x）是奇函数

3

）=﹣f（x）．

∵f（x）在（0，+∞）上是增函数 ∴f（x）在R上是增函数 a+b≥0可得a≥﹣b

∴f（a）≥f（﹣b）=﹣f（b） ∴f（a）+f（b）≥0成立

若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）=f（﹣b）由函数是增函数知 a≥﹣b ∴a+b≥0成立

∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件．

3．如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流 的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km．现要在曲线PQ上一处M建一座码头，向B、C两地转运货物．经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）

A．（2﹣2）a万元 B．5a万元 C．（2+1）a万元 D．（2+3）a万元

【考点】KD：双曲线的应用．

【分析】依题意知曲线PQ是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2，以直线AB为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为

，点C的坐标为（3，

）．求出修建这条公路的总费用W，根据双曲线的定义有

，根据a+b当且仅当a=b时取等号的方法求出W的最小值即可．

【解答】解：依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦中小学最新教育资料

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此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系， 则该双曲线的方程为 x﹣

2

=1，

点C的坐标为（3，）．则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|]，

设点M、C在右准线上射影分别为点M1、C1， 根据双曲线的定义有|MM1|=|MB|，

所以=2a[|MM1|+|MC|]≥2a|C C1|=2a×（3﹣）=5a． 当且仅当点M在线段C C1上时取等号，故ω的最小值是5a． 故选B．

4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则x=Sn+S2n，y=Sn（S2n+S3n）的大小关系是（ ） A．x≥y B．x=y C．x≤y D．不确定 【考点】8K：数列与不等式的综合．

【分析】考虑特殊数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，分情况讨论，等比数列{an}的前n项和为Sn，x=Sn+S2n，y=Sn（S2n+S3n），要比较x，y的大小，可先将x，y的表达式进行整理，根据等比数列的性质将两个数用相同的量表示出来，再比较它们的大小

【解答】解：对于等比数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1…，S2k=0，S4k﹣S2k=0，S6k﹣S4k=0…，令n=2k，此时有x=y=0，

对于Sn，S2n﹣Sn，S3n ﹣S2n ，…各项不为零时则 由于等比数列{an}的前n项和为Sn，

∴Sn，S2n﹣Sn，S3n ﹣S2n ，是一个公比为q的等比数列， ∴S2n﹣Sn=Sn×q，S3n ﹣S2n=Sn×q ∴S2n =Sn ×（1+q），S3n =Sn ×（1+q+q）

∴x=Sn+S2n=Sn ×[1+（1+q）]=Sn ×（2+2q+q）

y=Sn（S2n+S3n）=Sn[Sn ×（1+qn）+Sn ×（1+qn+q2n）]=S2n ×（2+2qn+q2n） 由上知，x=y 故选B

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2

2

2

n

2

2

n

2n

n

n

2n

n

2n

n

2

2

2

2

中小学最新教育资料 二．填空题

5．已知y=|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b﹣a的最小值为

．

【考点】4K：对数函数的定义域；4L：对数函数的值域与最值． 【分析】由y=|log2x|，知x=2y或x=2﹣y．由0≤y≤2，知1≤x≤4，或求出区间[a，b]的长度b﹣a的最小值． 【解答】解：∵y=|log2x|， ∴x=2y或x=2﹣y．∵0≤y≤2， ∴1≤x≤4，或

．

．由此能

即{a=1，b=4}或{a=，b=1}． 于是[b﹣a]min=． 故答案为：．

6．已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x，且在[﹣1，3]内，关于x 的方程f（x）=kx+k+1（k≠﹣1）有四个根，则k取值范围是 （﹣，0） ． 【考点】3L：函数奇偶性的性质．

【分析】把方程f（x）=kx+k+1的根转化为函数f（x）的图象和y=kx+k+1的图象的交点在同一坐标系内画出图象由图可得结论．

【解答】解：因为关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R且k≠﹣1）有4个不同的根， 就是函数f（x）的图象与y=kx+k+1的图象有4个不同的交点， f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x， 所以可以得到函数f（x）的图象，

又因为y=kx+k+1=k（x+1）+1过定点（﹣1，1）， 在同一坐标系内画出它们的图象如图，

由图得y=kx+k+1=k（x+1）+1在直线AB和y=1中间时符合要求， 而KAB=﹣，

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所以k的取值范围是：﹣＜k＜0 故答案为：

．

7．已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，f（x）的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f的部分图象确定其解析式；GI：三角函数的化简求值．

【分析】先将原函数用降幂公式转化为：f（x）=cos（2ωx+2?）++1，求出函数的A，T，ω，通过f（x）的图象在y轴上的截距为2，求出φ，得到函数的表达式，然后求出所求的值．

【解答】解：将原函数f（x）=Acos（ωx+?）+1转化为：f（x）=cos（2ωx+2?）++1 相邻两对称轴间的距离为2可知周期为：4，则2ω=由最大值为3，可知A=2 又∵图象经过点（0，2）， ∴cos2?=0 ∴2φ=kπ+

x+

）+2=2﹣sin（

x）

=

，ω=

2

∴f（x）=cos（

∵f（1）=2+1，f（2）=0+2，f（3）=﹣1+2，f（4）=0+2…

f（1）+f（2）+f（3）+…+f如图，在杨辉三角中，斜线l上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S19等于 283 ．

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【考点】8E：数列的求和．

【分析】由图中锯齿形数列排列，发现规律：奇数项的第n项可以表示成正整数的前n项和的形式，偶数项构成以3为首项，公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式，即可得到S19的值．

【解答】解：根据图中锯齿形数列的排列，发现 a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，…，a19=1+2+3+…+10， 而a2=3，a4=4，a6=5，…，a18=11，

∴前19项的和S19=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+10）]+（3+4+5+…+11）=283． 故选C故答案为：283．

9．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，若a、b、c成等差数列，sinB=且△ABC的面积为，求b．

【考点】84：等差数列的通项公式；HR：余弦定理．

【分析】由三角形面积公式和a、b、c成等差数列，联解得出a2+c2=4b2﹣角可得cosB=从而得到b=2．

【解答】解：∵由a、b、c成等差数列，得a+c=2b ∴平方得a2+c2=4b2﹣2ac﹣﹣﹣﹣﹣﹣①… 又∵S△ABC=且sinB=，

∴S△ABC=ac?sinB=ac×=ac= 故ac=

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②…

2

2

2

．由角B为锐

2

=，由余弦定理b=a+c﹣2ac?cosB的式子，代入数据算出b=4，

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由①②联解，可得a+c=4b﹣

222

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③…

又∵sinB=，且a、b、c成等差数列 ∴cosB=由余弦定理得：

b2=a2+c2﹣2ac?cosB=a2+c2﹣2×

×=a2+c2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣④…

=

=．…

由③④联解，可得b2=4，所以b=2．…

10．若对终边不在坐标轴上的任意角x，不等式sinx+cosx≤m≤tanx+cotx恒成立，则实数m的取值范围是

．

2

2

【考点】HW：三角函数的最值． 【分析】根据sinx+cosx=≤tanx+cotx恒成立，从而求出 实数m的取值范围． 【解答】解：由于sinx+cosx=

不等式sinx+cosx≤m≤tanx+cotx恒成立， 故

≤m≤2，

．

2

2

2

2

≤以及tan2x+cot2x≥2，不等式sinx+cosx≤m

≤，tan2x+cot2x≥2 tanx?cotx=2，

故答案为：

11．对正整数n，设抛物线y2=2（2n+1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于An，Bn两点，则数列

的前n项和公式是 ﹣n（n+1） ．

【考点】8E：数列的求和；KH：直线与圆锥曲线的综合问题．

【分析】设An（xn1，yn1），B（xn2，yn2），直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y﹣2（2n+1）ty﹣4n（2n+1）=0，求出

的表达式，然后利用韦达定理代入得

=﹣4n2

2

﹣4n，故可得，据此可得数列的前n项和．

【解答】解：设直线方程为x=ty+2n，代入抛物线方程得y2﹣2（2n+1）ty﹣4n（2n+1）=0，

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设An（xn1，yn1），B（xn2，yn2）， 则

用韦达定理代入得

，

，

故，

故数列的前n项和﹣n（n+1），

故答案为﹣n（n+1）．

12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长都相等，M是BB1的中点，则BC1与平面AC1M所成角的大小是

．

【考点】MI：直线与平面所成的角．

【分析】要求BC1与平面AC1M所成角，首先求利用等体积点B到平面AMC1的距离，进而利用正弦函数可求BC1与平面AC1M所成角 【解答】解：由题意，设棱长为2a，则 ∵∴∵S△AMB=a

设点B到平面AMC1的距离为h， 根据

得

∴

2

，

=

设BC1与平面AC1M所成角为α，则

∴故答案为

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13．设抛物线y=ax2（a＞0）与直线y=kx+b有两个公共点，其横坐标是x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，则x1，x2，x3的关系是 x1x2=（x1+x2）x3 ． 【考点】KG：直线与圆锥曲线的关系．

【分析】将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再根据直线解析式求出与x的交点横坐标，结论得证． 【解答】解：由题意∴

，

，联立抛物线y=ax（a＞0）与直线y=kx+b得ax﹣kx﹣b=0， ，∴

，

2

2

∴x1x2=x1x3+x2x3，即x1x2=（x1+x2）x3 故答案为：x1x2=（x1+x2）x3．

14．满足|z﹣z0|+|z+2i|=4的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是线段，则复数z0在复平面上对应的点的轨迹是 以 （0，﹣2）为圆心以 4 为半径的圆 ． 【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】根据关系式和点Z的轨迹是线段判断出，z0和﹣2i对应的点是对应线段上端点，再由（0，﹣2）是定点，线段是定长得出所求的轨迹是圆． 【解答】解：∵|z﹣z0|+|z+2i|=4，且点Z的轨迹是线段，

∴z0和﹣2i对应的点必然是Z的轨迹：线段上面2个端点，且线段的长为4， ∴Z点轨迹：线段，它是通过一个端点（0，﹣2）的任意线段，并且长度为4， ∴z0点轨迹其实是圆心为（0，﹣2），半径为4的圆， 故答案为：以 （0，﹣2）为圆心以 4 为半径的圆．

15．在△ABC中，三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（﹣1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部运动，若点P满足

【考点】98：向量的加法及其几何意义．

【分析】延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC'，根据

可知P是△AB'C'的重心，然后设S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k，然后将三个三角形的面积中小学最新教育资料

，则S△PAC：S△ABC= 1：3 ．

中小学最新教育资料 用k表示，即可求出所求．

【解答】解：如图：延长PB到B'，使PB'=2PB，延长PC到C'，使PC=3PC' 则

，P是△AB'C'的重心，

则S△PAB'=S△PAC'=S△PB'C'=k S1=S△PAB'=k，S3=S△PAC'=k S2=PB×PC×sin∠BPC=S△PB'C'=k 故S1：S2：S3=：： =3：1：2 ∴S△PAC：S△ABC=1：3 故答案为：1：3

16．有一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：

①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1到9这9个数字填满整个格子； ②每一行与每一列都有1到9的数字，每个小九宫格里也有1到9的数字，并且一个数字在每行、每列及每个每个小九宫格里只能出现一次，既不能重复也不能少． 那么A处应填入的数字为 1 ；B处应填入的数字为 1或3 ． 4 9 A 3 5 2 6 7 3 5 4 2 8 6 9 1 7 6 9 3 5 4 9 B 5 2 8 1 2 8 7 6 中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 4 【考点】F1：归纳推理；8B：数列的应用．

【分析】本题是一个简单的合情推理问题，根据“数独”的游戏规则，①在9×9的九宫格子中，分成9个3×3的小九宫格，用1，2，3…，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，…9的所有数字．由A所处的行、列及小九宫格中已填数据，不难得到答案． 【解答】解：与A同行的数据有：9、3、5、7 与A同列的数据有：4、2、6、8

与A处在同一九宫格中的数据有：2、4、9 所以A处应填入的数字为1， 与B同行的数据有：2、8、9、5 与B同列的数据有：5、7、4、6

与B处在同一九宫格中的数据有：4、5、6、7 B处应填入的数字为 1或3 故答案为：1 1或3 三．解答题

17．已知函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（时，f（x）取得最大值2

﹣1．

，1），且当x∈

（1）求f（x）的解析式；

（2）是否存在向量，使得将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象？若存在，求出

最小的；若不存在，说明理由．

【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】（1）由题意求得m、n、a间的关系，再根据当x∈值2

﹣1，求得a的值，可得函数的解析式．

最小的． ，1），

时，f（x）取得最大

（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得【解答】解：（1）∵函数f（x）=a+msin2x+ncos2x的图象经过点A（0，1），B（∴a+0+n=1，且a+m+0=1，求得m=n=1﹣a，

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故有f（x）=a+（1﹣a）sin2x+（1﹣a）cos2x=a+①若1﹣a＞0，∵当x∈故当2x+

=

时，2x+

∈[

（1﹣a）sin（2x+，

]，

）．

时，f（x）取得最大值为a+

﹣1，可得a+

）． 时，2x+

（1﹣a）．

﹣1，求得a=﹣1，

又f（x）的最大值2∴f（x）=﹣1+2

（1﹣a）=2

sin（2x+

②若1﹣a＜0，∵当x∈故当2x+

=

或

∈[，]，

．

时，f（x）取得最大值为a+﹣1，可得a+

（1﹣a）?

（1﹣a）?=2

又f（x）的最大值2﹣1，求得a无解．

③若1﹣a=0，f（x）=1，不满足条件． 综上可得，a=﹣1，f（x）=﹣1+2（2）把f（x）的图象向右平移的图象；

再把所的图象向上平移1个单位，可得奇函数y=2

sin2x的图象，此时，平移的距离最小．

，1），且

sin（2x+

）．

sin（2x﹣

+

）=﹣1+2

sin2x

个单位，可得y=﹣1+2

故若将f（x）的图象按向量平移后可以得到一个奇函数的图象，则存在=（满足||最小．

18．在五棱锥P﹣ABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=为PE的中点．

（1）求AG与平面PDE所成角的大小 （2）求点C到平面PDE的距离．

a，BC=DE=a，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．G

【考点】MK：点、线、面间的距离计算；MI：直线与平面所成的角．

【分析】（1）通过证明PA垂直平面ABCDE上的两条相交直线即可，在三角形PAB中运用勾中小学最新教育资料

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股定理，可证明PA垂直于AB，在三角形PAE中，同样用勾股定理，可证明PA垂直AE，这样就可证明PA⊥平面ABCDE．通过证明AG垂直于平面PDE中的两条相交直线，在三角形中PA=AE=2a，可知AG垂直PE，再通过ED⊥平面PAE，利用线面垂直的性质，可得AG垂直于DE，则AG⊥平面PDE可证．

（2）欲求点C到平面PDE的距离，只需过C点向平面PDE作垂线，但是垂足位置不容易找到，所以可以转化为其它点到平面的距离．证明CF∥DE，则点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离，就可求F到平面PDE的距离．再由（3）中结论知FG⊥平面PDE，所以FG的长即F点到平面PDE的距离，放入△PAE中求出即可． 【解答】解：（1）解：（1）证明∵PA=AB=2a，PB=2

a，∴PA2+AB2=PB2，∴∠PAB=90°，

即PA⊥AB．同理PA⊥AE．∵AB∩AE=A，∴PA⊥平面ABCDE．

又∵∠AED=90°，∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE，∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE，所以DE⊥AG． ∵PA=AE，G为PE中点，所以AG⊥PE，∴AG⊥平面PDE； ∴AG与平面PDE所成角的大小为90；

（2）解：∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，BC=DE=a，AB=AE=2a，

取AE中点F，连CF，∵AF∥=BC，∴四边形ABCF为平行四边形．∴CF∥AB，而AB∥DE， ∴CF∥DE，而DE?平面PDE，CF?平面PDE，∴CF∥平面PDE．

∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离．∵PA⊥平面ABCDE，

∴PA⊥DE．又∵DE⊥AE，∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE．∴过F作FG⊥PE于G，则 FG⊥平面PDE．

∴FG的长即F点到平面PDE的距离．

在△PAE中，PA=AE=2a，F为AE中点，FG⊥PE，∴FG=

a．∴点C到平面PDE的距离为

a．

°

19．（1）如图，设点P，Q是线段AB的三等分点，若并判断

与

的关系；

，

，试用，表示

，

，

（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An﹣1是AB的n（n≥3）等分点，你能得到什中小学最新教育资料

中小学最新教育资料 么结论？请证明你的结论．

【考点】96：平行向量与共线向量．

【分析】（1）由三角形法则及向量共线的数乘表示，分别用向量、表示出加即得用向量、表示

的表达式，进而判断

与

的关系；

，相

（2）受（1）的启示，如果点A1，A2，A3，…，An﹣1是AB的n（n≥3）等分点，归纳得出猜想

，再数学归纳法证明结论．

=

，

【解答】解：（1）如图：点P、Q是线段AB的三等分点 则所以 即：

（2）设A1，A2．，…，An﹣1是AB的n等分点， 则

证：A1，A2，，An﹣1是线段n≥2的先证明：由因为则所以记

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和

，

是相反向量， ，

．

， ；

等分点，

，同理

，

，

（1≤k≤n﹣1，n、k∈N*）．

，

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相加得 ∴

．

20．设数列{an}，{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3，且数列{an+1﹣an}（n∈N+）是等差数列，数列{bn﹣2}（n∈N+）是等比数列． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）是否存在k∈N+，使

，若存在，求出k，若不存在，说明理由．

【考点】8M：等差数列与等比数列的综合；84：等差数列的通项公式；88：等比数列的通项公式．

【分析】（1）先求出等差数列的公差，再利用an+1﹣an=（a2﹣a1）+（n﹣1）×1=n﹣3，表示出an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a1）+…+（an﹣an﹣1）即可求出数列{an}的通项公式； 同样先求出等比数列的公比，再利用项公式；

（2）先求出f（k）=ak﹣bk的表达式，并找到其单调区间的分界点，求出其函数值的范围即可得出结论．

【解答】解：（1）由已知a2﹣a1=﹣2，a3﹣a2=﹣1 得公差d=﹣1﹣（﹣2）=1

所以an+1﹣an=（a2﹣a1）+（n﹣1）×1=n﹣3

故an=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（an﹣an﹣1）=6+（﹣2）+（﹣1）+0+…+（n﹣4） ==

即可求{bn}的通

由已知b1﹣2=4，b2﹣2=2所以公比中小学最新教育资料

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所以故

．

（2）设f（k）=ak﹣bk==

所以当k≥4时，f（k）是增函数． 又

，所以当k≥4时

，

．

而f（1）=f（2）=f（3）=0，所以不存在k，使

21．在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，y轴于M1，过N作NN1⊥x轴于点N1，

．过点M作MM1⊥

．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、

B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）． （1）求曲线C的方程；

（2）问是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|；若存在，求出直线l方程，若不存在，说明理由． 【考点】K4：椭圆的简单性质．

【分析】（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），可知点M1的坐标，由可得点N的坐标和N1的坐标，进而表示出的关系，y和y'的关系，再代入|

和

，代入

，求得x和x'

|中求得x和y的关系，即可得到曲线C的方程；

（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点；当直线的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣5），联立直线方程与椭圆方程，消去y化为关于x的一元二次方程，根据判别式大于0求得k的范围，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），利用根与系数的关系得x1+x2，求得R的坐标，根据|BP|=|BQ|可得BR⊥l，再由k?kBR=﹣1，整理得20k2=20k2﹣4，此结论不成立，可判断不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．

【解答】解：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M1的坐标为（0，y'）， 由

=

（x′，y′），得点N的坐标为（

x′，

y′），N1的坐标为

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（∴由

x′，0）， =（x′，0），

=（0，

y′）．

y′），

，得（x，y）=（x′，0）+（0，

∴由|∴

|=

，得x′=x，y′=．

，得（x′）2+（y′）2=5，

，即

．

故所求曲线C的方程为；

（2）点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点； 当直线l斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为y=k（x﹣5）．

联立，得（5k+4）x﹣50kx+125k﹣20=0．

2222

依题意△=20（16﹣80k2）＞0，得﹣当﹣

＜k＜

＜k＜．

时，设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为R（x0，y0），

则，．

∴y0=k（x0﹣5）=k（）=．

由|BP|=|BQ|，得BR⊥l，则k?kBR=﹣1，

∴，即20k2=20k2﹣4，

此式显然不成立，

∴不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．

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22．已知函数f（x）=ax+2bx+4c（a，b，c∈R，a≠0）．

（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1； （2）若

时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x∈[0，M（a）]

2

时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值； （3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式． 【考点】3R：函数恒成立问题．

【分析】（1）由于函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，所以ax2+2bx+4c=±x无解，从而△＜0，故可证；

（2）把b与c的值代入f（x）中，配方得到顶点式，由a小于0，得到函数有最大值，表示出这个最大值，当最大值大于5时，求出此时a的范围，又最大值小于﹣，M（a）是方程ax2+8x+3=5的较小根，利用求根公式求出M（a）即可判断出M（a）小于；当最大值小于等于5时，求出此时a的范围，最大值大于﹣，M（a）是方程ax2+8x+3=﹣5的较大根，根据求根公式求出M（a）即可判断M（a）小于等于（a）的最大值；

（3）求出f（x）的导函数，由a大于0，求出函数有最大值让其等于2，得到a与b的关系式，由﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2，得c的值，又因为|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0），即可得到x=0时，函数取得最小值，表示出对称轴让其等于0，即可求得b的值，进而求出a的值，把a，b和c的值代入即可确定出f（x）的解析式

【解答】解：（1）证明：∵函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点， ∴ax2+2bx+4c=±x无解 ∴△＜0

∴4b﹣16ac＜﹣1； （2）

2

，又大于，即可得到M

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把b=4，c=代入得：f（x）=ax2+8x+3=a ∵a＜0，所以f（x）max=3﹣①当3﹣

+3﹣，

＞5，即﹣8＜a＜0时，M（a）满足：﹣8＜a＜0且0＜M（a）＜﹣，

2

所以M（a）是方程ax+8x+3=5的较小根， 则M（a）=②当3﹣则M（a）=

=

＜=；

≤5即a≤﹣8时，此时M（a）≥﹣，所以M（a）是ax2+8x+3=﹣5的较大根，

=

≤

=

，

当且仅当a=﹣8时取等号， 由于

＞，因此当且仅当a=﹣8时，M（a）取最大值

；

（3）求得f′（x）=2ax+2b，

∵a＞0，∴f（x）max=2a+2b=2，即a+b=1，

则﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2， ∴4c=﹣2，解得c=﹣，

又∵|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0） ∴f（x）在x=0处取得最小值，且0∈（﹣2，2）， ∴﹣

=0，解得b=0，从而a=1，

∴f（x）=x2﹣2．

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