2019-2020学年河南省信阳九中九年级(上)第三次月考数学试卷(12月)解析版

2019-2020学年河南省信阳九中九年级（上）第三次月考数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．（3分）方程（x﹣3）（x+1）＝x﹣3的解是（）

A．x＝0B．x＝3C．x＝3或x＝﹣1D．x＝3或x＝0

3．（3分）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是（）

A．15B．30C．45D．60

4．（3分）已知点（x1，y1），（x2，y2）均在抛物线y＝x2﹣1上，则下列说法错误的是（）A．y1＝y2，则x1＝﹣x2 B．若0＜x1＜x2，则y1＞y2

C．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 D．抛物线的对称轴是y轴

5．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD上，若∠EBF＝45°，则△EDF的周长等于（）

A．2B．3C．4D．4

6．（3分）如图，⊙O中，弦AB，CD相交与点P，∠A＝40°，∠APD＝76°，则∠B的大小是（）

A．38°B．40°C．36°D．42°

7．（3分）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，将点B与下列格点分别连线，当连线与圆弧相切时，该格点的坐标是（）

A．（0，3）B．（5，1）C．（2，3）D．（6，1）

9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）

A．4B．C．D．

10．（3分）如图1，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，设AP＝x，PD＝y，若y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则等边△ABC的面积为（）

A．4B．C．12D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则a b＝．

12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣3，0），C（0，）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为．

13．（3分）⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为．

14．（3分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝4，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连结AE、CE，△ADE的面积为12，则BC的长为．

15．（3分）Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）

16．（8分）先化简，再求值，其中x满足一元二次方程x2+2x﹣8＝0．

17．（8分）西昌市数科科如局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下

列问题：

（1）年抽取的调查人数最少；年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；

（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角α的度数；

（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？

（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少人？

18．（10分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．

（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；

（3）△A1B1C1；和△A2B2C2关x轴上的某点成中心对称，请通过画图找到该点，并直接写出该点的坐标；

（4）在x轴上求坐一点P，使△P AB周长最小，请画出△P AB，并求出点P的坐标．

19．（10分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣4|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变x的取值范围是全体实数xy的几组对应值列表如下：

x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…

y…m0﹣3﹣4﹣30﹣3﹣4﹣30…

其中，m＝．

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．

（4）进一步探究函数图象发现：

①函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣4|x|＝0有个实数根；

②方程x2﹣4|x|＝2有个实数根；

③关于x的方程x2﹣4|x|＝α有4个实数根时，a的取值范围是．

20．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点D，E是位于AB两侧的半圆AB上的动点，射线DC切⊙O于点D．连接DE，AE，DE与AB交于点P，F是射线DC上一动点，连接FP，FB，且∠AED＝45°．

（1）求证：CD∥AB；

（2）填空：

①若DF＝AP，当∠DAE＝时，四边形ADFP是菱形；

②若BF⊥DF，当∠DAE＝时，四边形BFDP是正方形．

21．（8分）某种商品的标价为600元/件，经过两次降价后的价格为486元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；

（2）若该种商品进价为450元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于4680

元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

22．（10分）操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AF．取AF中点M，EF的中点N，连接MD、MN．

（1）连接AE，求证：△AEF是等腰三角形；

猜想与发现：

（2）在（1）的条件下，请判断MD、MN的数量关系和位置关系，得出结论．

结论1：DM、MN的数量关系是；

结论2：DM、MN的位置关系是；

拓展与探究：

（3）如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

23．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝x+3交于点A（m，0）和点B（2，n），与y轴交于点C．

（1）求m，n的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把△AOC平移，始终保持点A的对应点P在抛物线上，点C，O的对应点分别为M，N，连接OP，若点M恰好在直线y＝x+3上，求线段OP的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点Q（不与点C重合），使△QAB和△ABC的面积相等？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2019-2020学年河南省信阳九中九年级（上）第三次月考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故正确；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．

故选：A．

2．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）＝x﹣3

∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）＝0

∴（x﹣3）（x+1﹣1）＝0

∴x1＝0，x2＝3．

故选：D．

3．【解答】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE＝∠A＝45°，

∴旋转角n＝45时，EF∥AB．

②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A＝180°，

∴∠ACE＝135°

∴旋转角n＝360﹣135＝225，

∵0＜n＜180，

∴此种情形不合题意，

故选：C．

4．【解答】解：A、若y1＝y2，则x1＝﹣x2，说法正确；

B、若0＜x1＜x2，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，则y1＜y2，说法错误；

C、若x1＜x2＜0，则在对称轴的正侧，y随x的增大而减小，则y1＞y2，说法正确；

D、抛物线的对称轴是y轴，说法正确．

故选：B．

5．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠BAE＝∠C＝90°，

∴把△ABE绕点B顺时针旋转90°可得到△BCG，如图，

∴BG＝BE，CG＝AE，∠GBE＝90°，∠BAE＝∠C＝90°，

∴点G在DC的延长线上，

∵∠EBF＝45°，

∴∠FBG＝∠EBG﹣∠EBF＝45°，

∴∠FBG＝∠FBE，

在△FBG和△EBF中，

BF＝BF，∠FBG＝∠FBE，BG＝BE

∴△FBG≌△FBE（SAS），

∴FG＝EF，

而FG＝FC+CG＝CF+AE，

∴EF＝CF+AE，

∴△DEF的周长＝DF+DE+CF+AE＝CD+AD＝2+2＝4

故选：C．

6．【解答】解：∵∠A＝40°，

∴∠D＝40°，

∵∠APD＝76°，

∴∠B＝76°﹣40°＝36°，

故选：C．

7．【解答】解；如图，

由四边形的内角和定理，得

∠BOA＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，

由＝，得

∠AOC＝∠BOC＝50°．

由圆周角定理，得

∠ADC＝∠AOC＝25°，

故选：C．

8．【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），

∵只有∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，

∴当△BO′D≌△FBE时，

∴EF＝BD＝2，

F点的坐标为：（5，1），

∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．

故选：B．

9．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），

∴OC＝3，PC＝a，

把x＝3代入y＝x得y＝3，

∴D点坐标为（3，3），

∴CD＝3，

∴△OCD为等腰直角三角形，

∴△PED也为等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，

在Rt△PBE中，PB＝3，

∴PE＝，

∴PD＝PE＝，

∴a＝3+．

故选：B．

10．【解答】解：由图象可得，

点D到AB的最短距离为，

∴BD＝＝2，

∵点D是BC的中点，

∴BC＝4，

∴△ABC的面积是：＝4，

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，∴b＝﹣1，a＝2，

∴a b＝2﹣1＝．

故答案为：．

12．【解答】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，如图所示：

由题意得，OA＝3，AB＝OC＝，

则tan∠BOA＝＝，

∴∠BOA＝30°，

∴∠OBA＝60°，

由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，

∴∠B1OH＝60°，

在△AOB和△HB1O中，，

∴△AOB≌△HB1O（AAS），

∴B1H＝OA＝3，OH＝AB＝，

∴点B1的坐标为（﹣，3），

故答案为：（﹣，3）．

13．【解答】解：∵直线和圆相切，

∴d＝r，

∴△＝16﹣4m＝0，

∴m＝4．

14．【解答】解：过D点作DF⊥BC，垂足为F，过E点作EG⊥AD，交AD的延长线与G点，由旋转的性质可知CD＝ED，

∵∠EDG+∠CDG＝∠CDG+∠FDC＝90°，

∴∠EDG＝∠FDC，又∠DFC＝∠G＝90°，

∴△CDF≌△EDG，

∴CF＝EG，

∵S△ADE＝AD×EG＝12，AD＝4，

∴EG＝6，则CF＝EG＝6，

依题意得四边形ABFD为矩形，∴BF＝AD＝4，

∴BC＝BF+CF＝4+6＝10．

15．【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC．

∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC＝∠P AB，

∴∠ABP+∠P AB＝90°，

∴∠APB＝90°，

∵OA＝OB，

∴OP＝AB＝4，OC＝＝＝4，∵PC≥OC﹣OP，

∴PC≥4﹣4，

∴PC的最小值为4﹣4，

故答案为4﹣4．

三、解答题（本大题共8小题，满分75分）

16．【解答】解：原式＝，

＝．

＝．

∵x2+2x﹣8＝0，

∴x1＝﹣4，x2＝2，

当x＝2时，原式无意义，

当x＝﹣4时，原式＝﹣．

17．【解答】解：（1）由图可得，2013年抽取的调查人数最少；2016年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；

故答案为：2013，2016；

（2）1﹣35%﹣10%﹣15%﹣25%＝15%，

∴α＝360°×15%＝54°；

（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有（600+550）×（25%+15%）＝460（人）；

（4）我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有34000×（25%+35%）＝20400（人）．

18．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；

（3）如图所示，△A1B1C1和△A2B2C2关x轴上的点Q（，0）成中心对称；

（4）如图所示，△P AB即为所求，

∵B（4，2），A'（1，﹣1），

设直线A'B的解析式为y＝kx+n，则

，解得，

∴直线A'B的解析式为y＝x﹣2，

令y＝0，则x＝2，

∴点P的坐标为（2，0）．

19．【解答】解：（1）当x＝﹣时，m＝y＝x2﹣4|x|＝，

故答案为：；

（2）通过描点绘出函数图象如下：

（3）答案不唯一，如：函数关于y轴对称；x＞2，y随x增大而增大；

（4）①函数图象与x轴有3个交点；所以对应的方程x2﹣4|x|＝0有3个根，

故答案为3，3；

②方程x2﹣4|x|＝2，可以理解为：y＝x2﹣4|x|与y＝2的函数图象有几个交点．从图上看，由2个交点，即有2

个实数根，

故答案为4；

③关于x的方程x2﹣4|x|＝α有4个实数根时，由②知：﹣4＜a＜0．

20．【解答】解：（1）如图，OD连接，

∵射线DC切⊙O于点D，

∴OD⊥CD，

∵∠AED＝45°，

∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，

∴CD∥AB．

（2）①连接AF与DP交于点G，如图所示，

∵四边形ADFP是菱形，∠AED＝45°，OA＝OD，

∴AF⊥DP，∠AOD＝90°，∠DAG＝∠P AG，

∴∠AGE＝90°，∠DAO＝45°，

∴∠EAG＝45°，∠DAG＝∠P AG＝22.5°，

∴∠EAD＝∠DAG+∠EAG＝22.5°+45°＝67.5°，

故答案为：67.5°；

②∵四边形BFDP是正方形，

∴BF＝FD＝DP＝PB，

∠DPB＝∠PBF＝∠BFD＝∠FDP＝90°，

∴此时点P与点O重合，

∴此时DE是直径，

∴∠EAD＝90°，

故答案为：90°．

21．【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，

依题意得：600×（1﹣x%）2＝486，

解得：x＝10，或x＝190（舍去）．

答：该种商品每次降价的百分率为10%．

（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品（100﹣m）件，第一次降价后的单件利润为：600×（1﹣10%）﹣450＝90（元/件）；

第二次降价后的单件利润为：486﹣450＝36（元/件）．

依题意得：90m+36×（100﹣m）≥4680，

解得：m≥20．

答：为使两次降价销售的总利润不少于4680元．第一次降价后至少要售出该种商品20件．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，

∵△CEF是等腰直角三角形，∠C＝90°，

∴CE＝CF，

∴BC﹣CE＝CD﹣CF，

即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

∴△AEF是等腰三角形；

（2）解：相等，垂直；

证明：∵在Rt△ADF中DM是斜边AF的中线，

∴AF＝2DM，

∵MN是△AEF的中位线，

∴AE＝2MN，

∵AE＝AF，

∴DM＝MN；

∵∠DMF＝∠DAF+∠ADM，AM＝MD，

∵∠FMN＝∠F AE，∠DAF＝∠BAE，

∴∠ADM＝∠DAF＝∠BAE，

∴∠DMN＝∠BAD＝90°，

∴DM⊥MN；

（3）（2）中的两个结论还成立，

证明：连接AE，交MD于点G，

∵点M为AF的中点，点N为EF的中点，

∴MN∥AE，MN＝AE，

由（1）同理可证，

AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠ADF，CE＝CF，又∵BC+CE＝CD+CF，即BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF，

在Rt△ADF中，

∵点M为AF的中点，

∴DM＝AF，

∴DM＝MN，

∵△ABE≌△ADF，

∴∠1＝∠2，

∵AB∥DF，

∴∠1＝∠3，

同理可证：∠2＝∠4，

∴∠3＝∠4，

∵DM＝AM，

∴∠MAD＝∠5，

∴∠DGE＝∠5+∠4＝∠MAD+∠3＝90°，

∵MN∥AE，

∴∠DMN＝∠DGE＝90°，

∴DM⊥MN．

23．【解答】解：（1）把点A（m，0）和点B（2，n）代入直线y＝x+3，解得：m＝﹣3，n＝5，∴A（﹣3，0）、B（2，5），把A、B坐标代入抛物线方程，解得：a＝1，b＝2，

∴抛物线方程为：y＝x2+2x﹣3…①，

则C（0，﹣3）；

（2）由平移得：PN＝OA＝3，NM＝OC＝3，

设：平移后点P（t，t2+2t﹣3），则N（t+3，t2+2t﹣3），

∴M（t+3，t2+2t﹣6），∵点M在直线y＝x+3上，

∴t2+2t﹣6＝t+3+3，解得：t＝3或﹣4，

∴P点坐标为（3，12）或（﹣4，5），

则线段OP的长度为：3或；

（3）存在．

设：直线AB交y轴于D（0，3），点C关于点D的对称点为C′（0，9）

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