湖北省荆州市2018届高三第一次质量检查试卷（理）

湖北省荆州市2018届高三第一次质量检查

数学试卷（理）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确． 1．已知集合A?{x|A．?

x?0，x?R}，B＝{y|y＝3x2+1，x∈R}，则A∩B＝（ ） x?1B．(1，+∞) C．[1，+∞) D．(-∞，0)∪(1，+∞)

2．下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ） A．y＝ex

B．y＝tanx

C．y＝x3-x

D．y?ln2?x 2?x3．已知角α的终边经过点P(-5，-12)，则sin(A．?5 133π??)的值等于（ ） 2 B．?12 13 C．

5 13 D．

12 134．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5＝3，a8＝8，则a12的值是（ ） A．15

B．30

C．31

D．64

5．若a，b，c为实数，下列结论正确的是（ ） A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若a＜b＜0，则

11? ab

B．若a＜b＜0，则

ba? abD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2

6．a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，则的值为（ ） A．

1 2b3?b4b4?b5 B．4 C．2

D．2

3sinB＝2sinC，，47．B，C的对边分别为a，b，c．设△ABC的内角A，已知a?22，cosA?则△ABC的面积是（ ） A．7

B．7 4 C．

16 5

8 D．

58．函数f(x)?ln|x|?1的图象大致为（ ） ex

?x?y?2?0?y?29．已知x、y满足约束条件?x?2y?8?0，如果目标函数z?的取值范围为[0，2)，则

x?a?2x?y?4?0?实数a的取值范围是（ ） A．a≥1

B．a≤2

C．a＜2

D．a＜1

10．已知函数f(x)?cos2?x2?31sin?x?(??0，x?R)，若函数f(x)在区间(π，2π)内没有22零点，则ω的取值范围是（ ） 5A．(0，]

125 B．(0，)

65511 C．(0，][，]

126125511 D．(0，](，]

1261211．f(x)＝ln(-x)．定义在R上的函数f(x)满足f(x-3)＝f(-x-3)，且当x≤-3时，若对任意x∈R，不等式f(sinx-t)＞f(3sinx-1)恒成立，则实数t的取值范围是（ ） A．t＜-3或t＞9

B．t＜-1或t＞9

C． -3＜t＜9

D．t＜1或t＞9

12．设函数f(x)＝ex+1-ma，g(x)＝aex-x（m，a为实数），若存在实数a，使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．[?1，??) 2e B．[?1，0) 2e

1??) C．[?，e10) D．[?，e二、填空题

1x13．计算定积分?edx?________．

014．已知实数a＞0，b＞0，2是8a与2b的等比中项，则

12?的最小值是________． ab15．某商船在海上遭海盗袭扰，正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶，此时在其南偏东45°方向，相距20海里处的我海军舰艇接到命令，必须在80分钟内（含80分钟）追上商船为其护航．为完成任务，我海军舰艇速度的最小值为________（海里/h）． 16．在数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an-1+n，若不等式则实数λ的取值范围是________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数f(x)?23sinxcosx?2sin2x． π（1）若f(x)＝0，x?(?，π)，求x的值；

2?n?n?1*

对任意n∈N恒成立，an?1（2）将函数f(x)的图象向左平移

π个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍3

π对称，4（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，若曲线y＝h(x)与y＝g(x)的图象关于直线x?π2π求函数h(x)在(?，]上的值域．

63

18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n＝2an(n∈N*)． （1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； （2）若bn＝nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式

19．已知点O是等边△ABC内一点，BC＝3，∠BOC＝120°，设∠BCO＝θ． （1）若AO＝BO，求θ；

（2）设△BOC与△AOC的面积差为S，求S关于θ的函数S(θ)，那么θ取何值时，S(θ)有最大值？最大值是多少？

Tn?2?2018的n的最小值． n

20．习总书记在十九大报告中明确指出，“要着力解决突出环境问题，坚持全民共治，源头防治，持续实施大气污染防治行动，打赢蓝天保卫战．”．为落实十九大报告精神，某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x（时）的关系为：f(x)?1参数，且a?[0，]．

22x2x3|?a|?，x∈[0，24]，其中a是与气象有关的x2?4x2?44（1）令t(x)?2x，x∈[0，24]，求t(x)的最值； x2?4（2）若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数，市政府规定：每天的综合污染指数不得超过2．试问目前市中心的综合污染指数是否超标？

21．已知函数f(x)＝ex-m-xlnx-(m-1)x，m∈R，f′(x)为函数f(x)的导函数． （1）若m＝1，求证：对任意x∈(0，+∞)，f′(x)≥0； （2）若f(x)有两个极值点，求实数m的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题做答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

?x?sin??cos?在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（α为参数）．

?y?sin??cos?（1）求曲线C的普通方程；

π1（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为2?sin(??)??0，

42已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．

23．选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)＝|x-a|，不等式f(x)≤3的解集为[-6，0]． （1）求实数a的值；

（2）若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

【参考答案】

一、选择题

1-5：BDCAD 6-10：AACDC 11-12：BC 二、填空题

13.e?1 14.5?26 15.153 16.?2,??? 三、解答题

17．解：f?x??23sinxcosx?2sinx?2sin?2x?2??π???1 6?π6π1ππ2π?sin(2x?)??，又?x?(?,π)，?x??或0或.

62233π（2）由题知g(x)?2cosx?1，则h(x)?g(?x)=2sinx?1，

2（1）由f(x)?0，即2sin(2x?)?1?0，

?π2π??1??x???,?，?sinx???,1?，故函数h(x)的值域为?0,3?.

?2??63?18.（1）证明：当n?1时，a1?1?2a1，?a1?1．

?Sn?n?2an，n?N?，?n?2时，Sn?1?n?1?2an?1，

两式相减得：an?1?2an?2an?1，即an?2an?1?1，?an?1?2(an?1?1)， ∴数列?an?1?为以2为首项，2为公比的等比数列，

?an?1?2n，?an?2n?1，n?N?.

nn（2）解：bn?nan?n?n2?1?n?n?2，

???Tn?1?21?2?22?3?23???n?2n， ?2Tn?1?22?2?23????n?1??2n?n?2n?1，

123nn?1两式相减得：?Tn?2?2?2???2?n?2，

?Tn??n?1??2n?1?2.

∴

n-1nTn?2?2?1009， ?2018可化为：nn

n?1nn2?1n?2，?bn?1?bn?2设bn??2?0，?数列?bn?为递增数列， nn?n?b10?91010?2?1009，b11??211?1009， 1011Tn?2?2018的n的最小值为11． n∴满足不等式

19.解：（1）

OA?OB,CA?CB，?O、C两点在线段AB的垂直平分线上.

1??BCO??ACO??BCA?300，又?BOC?1200，则??300.

2OCAB?OC?23sin?600???， ?（2）在?B由正弦定理有：，OC中，

sin?CBOsin?BOC11又S?BOC?BC?OC?sin?BCO；S?AOC?AC?OC?sin?ACO，

220??9sin2??93，???0,600? ?S????33sin?600????sin??sin60??????24故当sin2??900，即??450时S???取得最大值

92?34??.

2(x2?4)?2x2x?2(x?2)(x?2)?,x??0,24?， 20.解：（1）t?(x)?2222(x?4)(x?4)令t?(x)?0则(x?2)(x?2)?0?0?x?2令t?(x)?0则(x?2)(x?2)?0?x?2

?t(x)在?0,2?上递增,在?2,???上递减， ?当x?0时,tmin(x)?0;当x?2时,tmax(x)?（2）由（1）t?1. 232x?1?令g(t)?f(x)?tt?a?,t?0,?， ,x?0,24，???4x2?4?2?3?2?t?at?,0?t?a??4则g(t)??

31?t2?at?,a?t???42?a??1??a?g(t)在?0,?和?a,?上递增，在?,a?上递减，

?2??2??2?a3a21aa1a2a1且g()??,g()?1?,g()?g()???，

2442222424

a2a11a2a1令???0则2?1?a?；令???0则0?a?2?1，

4242424?11?a,0?a?2?1??2(x)?? ， 2max3a1??,2?1?a???442?f

fmax(x)?1，?目前市中心的综合污染指数没有超标.

21.解：（1）令i(x)?ex?1?x，则i'(x)?ex?1?1，当x?1时，i'(x)?0 当x?1时，i(x)?0，故i(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增，

x?1. 所以i(x)?i(1)?0，即e?x(当且仅当x?1时取等号）''令j(x)?x?1?lnx(x?0)，则j(x)=

x?1'，当0?x?1时，j(x)?0， x当x?1时，j(x)'?0，故j(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增，

所以j(x)?j(1)?0，即x?lnx?1（当且仅当x?1时取等号）. 当m=1时，

f(x)?ex?1?xlnx(x＞0),则f'(x)?ex?1?lnx?1?x?(lnx?1)?（当且仅当 0x?1时取等号）所以，?x?(0,??),f(x)?0;

'x?m?lnx?m有两个变号零点. （2）f(x)有两个极值点，即f(x)?e'①当m?1时，f(x)?e'x?m?lnx?m?ex?1?lnx?1，由⑴知f'(x)?0，

则f(x)在(0,??)上是增函数，无极值点；

'②当m?1时，令g(x)?f(x)，则g(x)?e'x?m1?， xg'(1)?e1?m?1?0g'(m)?1?1?0，且g'(x)在(0,??)上单增， m??x0?(1,m) ，使g'(x0)?0.

''当x?(0,x0)时，g(x)?0；当x?(x0,??)时，g(x)?0.

所以，g(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,??)上单调递增.

x?m则g(x)在x?x0处取得极小值，也即最小值g(x0)=e0?lnx0?m.

'由g(x0)?0得m?x0?lnx0，则g(x0)=

1?x0?2lnx0 x0令h(x)=

112?x?2lnx （1?x?m) 则h'(x)??2??1?0， xxxh(x)在(1,m)上单调递减，所以h(x)?h(1)?0.即g(x0)?0，

又x?0时，g(x)???，x???时，g(x)???，故g(x)在(0,??)上有 两个变号零点，从而f(x)有两个极值点.所以，m?1满足题意. 综上所述，f(x)有两个极值点时，m的取值范围是(1,??). 22.解：（1）由已知sin??2x?yx?y,cos??，由sin2??cos2??1，消去?得： 222?x?y??x?y?22普通方程为??????1，化简得x?y?2.

?2??2?（2）由2?sin(π-?)+1=0知?(cos??sin?)?1?0，化为普通方程为x-y+1=0

4222圆心到直线l的距离h=

2，由垂径定理AB?430. 223.解：（1）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3， 又f（x）≤3的解集为[﹣6， 0]．解得：a=-3； （2）∵f（x）+f（x+5）=|x+3|+|x+8|≥5．

又f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，∴2m≤5，m≤

5. 2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wtjg.html