全国初中数学竞赛《圆》历届真题

初中数学竞赛《圆》历届考题

1（04）．D是△ABC的边AB上的一点，使得AB=3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得?ADP??ACB，求

PBPD的值.

解：连结AP，则?APB??ACB??ADP，

所以，△APB∽△ADP， …………………………（5分） ∴

ABAP?APAD，

所以AP2?AB?AD?3AD2，

∴AP?3AD， …………………………（10分） 所以

PBPD?APAD?3. …………………………（15分）

B D I A B1

C A1 2、（05）已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是 点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接C1 圆上，则∠ABC等于（ ）

A、30° B、45° C、60° D、90° 答：C

解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以 ＝2ID，

所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60°

点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1

3．（06）正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q．若QP=QO，则QCQA的值为（ ）

D 2（D）3?2

C （A）23?1（B）23 （C）3?答：D．

O Q A P （第3题图）

解：如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r＋m， QA=r－m．在⊙O中，根据相交弦定理，得QA·QC=QP·QD． 即 (r－m)(r＋m)=m·QD ，所以 QD=

r?mm22B ．连结DO，由勾股定理，得QD2=DO2

?r2?m22

＋QO，即??m??QCr?m3??r2?m2，解得所以， ??m?r?QAr?m3?23?13?1?3?2

4．（06）如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B．过点A作PB的平行线，交⊙O于点C．连结PC，交⊙O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K．求证：PE·AC=CE·KB．

P 证明：因为AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切线， 所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是

△KPE∽△KAP， 所以

KPKA?KEKPK E A O B ， 即 KP22?KE?KA．

由切割线定理得 KB?KE?KA

所以 KP?KB． …………………………10分

因为AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是

PECE?KPAC 故

PECE?KBAC，

C （第4题）

即 PE·AC=CE·KB． ………………………………15分

5（07）已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E．若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（ ）．

（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心 答：（B）．

解： 如图，连接BE，因为△ABC为锐角三角形，所以?BAC，

?ABE均为锐角．又因为⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，

且DE为两圆的公共弦，所以?BAC??ABE． 于是，?BEC??BAC??ABE?2?BAC．

（第3题答案图） ?2?BAC若△ABC的外心为O1，则?BOC1，所以，⊙O一定过△ABC的外心．故选（B）．

6．已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点．以点A为圆心，AP为半径作⊙A，⊙A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作⊙B，⊙B与半圆O相交于点D，且线段

CD的中点为M．求证：MP分别与⊙A和⊙B相切．

证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别（第13A ABC为E,F，则CE∥DF．因为AB是⊙O的直径，所以?ACB??ADB?90?．在Rt△题答案图）和

2Rt△

2ABD中，由射影定理得

PA?AC?AE?AB22，

PB?BD?BF?AB． ……………5分

两式相减可得PA?PB?AB?AE?BF?，

22又 PA?PB?(PA?PB)(PA?PB)?AB?PA?PB?，

22于是有 AE?BF?PA?PB，即PA?AE?PB?BF，

所以PE?PF，也就是说，点P是线段EF的中点．因此，MP是直角梯形CDFE的中位线，于是有MP?AB，从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切．

7．如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足

DECF?ADBC．若

CD，FE的延长线相交于点G，△DEG的外接圆与△CFG的外接圆的另一个交点为点P，连接PA，PB，PC，PD．求证：

（1）

ADBC?PDPC；

（2）△PAB∽△PDC．

证明：（1）连接PE，PF，PG，因为?PDG??PEG，

所以?PDC??PEF．

又因为?PCG??PFG，所以△PDC∽△PEF， 于是有 以

PDPC?PDPC?PEPF,?CPD??FPE，从而△PDE∽△PCF，所DECF?ADBCDECF．又已知，所以，

ADBC?PDPC． ………………10分

（2）由于?PDA??PGE??PCB，结合（1）知，△PDA∽△PCB，从而有

PAPB?PDPC, ?DPA??CPB，所以?APB??DP，因此△PAB∽△

PDC． ………………15分

8、△ABC中，AB＝7，BC＝8，CA＝9，过△ABC的内切圆圆心l作DE∥BC，分别与AB、AC相交于点D，E，则DE的长为 解：如图，设△ABC的三边长为a,b,c，

ha 163A 。内切圆l的半径为r，BC边上的高为ha，则

B D I r E C

（第8题）

12aha?S?ABC?12(a?b?c)r，所以

rha?aa?b?c，

ha?rhaDEBC因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此

ha?rharhaaa?b?ca(b?c)a?b?c?,

所以DE＝故 DE＝

?a?(1?166)a?(1?)a?

8?(7?9)8?7?9?。

9、已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB＝a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB＝AB＝a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（ B ）。

A、

52a B、1 C、32 D、a

O E C D 解：如图，连接OE，OA，OB，设∠D＝a，则

∠ECA＝120°－a＝∠EAC 又因为∠ABO＝?ABD?2112(60??180??2a)?120??a 所以 △ACE≌△ABO，于是AE＝OA＝1

A B （第9题）

10．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ．由题设知AC?13ADAHAB的值为 ．

，AB?13AE，在△FHA和△EFA

中，?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF 所

AHAF以

?

AFAERt△FHA∽

AHABRt

?13△.

EFA，

（第10题） .而AF?AB，所以

11（10）．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： tan?PAD? 证明：如图，连接ED，FD. 因为BE和CF都是

EFBC．

直径，所以

ED⊥BC， FD⊥BC，

因此D，E，F三点共线. …………（5分） 连接AE，AF，则

?AEF??ABC??ACB??AFD，

（第11题） 所以，△ABC∽△AEF. …………（10分）

作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得

EFBCEFBC??AHAP），

，

PDAP?EFBC从而

PDAP?PAD?所以 tan. …………（20分）

12（11）、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q

连结AH，BD，QC，QH

∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900 ∴BQ为⊙O2的直径 于是CQ⊥BC，BH⊥HQ

∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC ∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形

则点P为CH的中点。

O2 A

O1 H D P C B Q

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