2015届高考数学第一轮知识点巩固题库 第5讲 双曲线（含

第5讲 双曲线

一、选择题

x2y2

1．设双曲线2－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )．

a9

A．4 B．3 C．2 D．1

x2y2

解析 双曲线2－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.

a9

答案 C

x2y2

2．已知双曲线C：2－2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为

ab

( )．

x2y2

A.－＝1 205x2y2

C.－＝1 8020

x2y2

B.－＝1 520x2y2

D.－＝1 2080

解析 不妨设a>0，b>0，c＝a2＋b2. 据题意，2c＝10，∴c＝5.

②

①

b2b

双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在C的渐近线上，∴1＝.

aa由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A. 答案 A

y2→→

3．已知双曲线x－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2的

3

2

最小值为 A．－2

( )．

D．0

81B．－

16

C．1

y22

解析 设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，则有＝x－1，y2＝3(x2

3→→

－1)，PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2181→→

x－?2－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·－x－5＝4?PF2取得最小值－2，选A. ?8?16答案 A

2x2y222a4．过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)(c>0)作圆x＋y＝的切线，切点为E，ab4

→→→

延长FE交双曲线右支于点P，若OF＋OP＝2OE，则双曲线的离心率为

( )．

1

A.2 B.

10 5

C.

10 2

D.10

→→→→→→→→

解析 设双曲线的右焦点为A，则OF＝－OA，故OF＋OP＝OP－OA＝AP＝2OE，即OE1a

＝AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中，a2

225

＋(3a)2＝(2c)2，即10a2＝4c2，所以e2＝，即离心率为e＝

2答案 C

x2y2

5．已知双曲线－2＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐

4b近线的距离等于 A.5

2

510＝，选C. 22

( )．

C．3

D．5

B．4 2

x2y2

解析 易求得抛物线y＝12x的焦点为(3,0)，故双曲线－2＝1的右焦点为(3,0)，即c

4b5

＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴双曲线的右焦点到

2

其渐近线的距离为

?5×3??2?

5

1＋

4

＝5.

答案 A

6．如图，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I169

为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为( )

x2y2

54A. B. 8543C. D. 34

解析 根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，

a4

即2a＝λ2c，即λ＝＝. c5

答案 B 二、填空题

7．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．

36解析 由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x.

36

x2y2

x2y2

2

∴焦点(3,0)到直线y＝±2x的距离为答案 6

322＋1

＝6.

x2y2

8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－2＝1的离心率为5，则m的值为________．

mm＋4解析 由题意得m＞0，∴a＝m，b＝m2＋4. m2＋m＋4c

∴c＝m＋m＋4，由e＝＝5，得＝5，

am

2解得m＝2. 答案 2

9．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若

AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．

x2y2

解析 设双曲线的标准方程为2－2＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，

ab4＝a＋b，??

∴?49

2－2＝1，??ab2

2

??a＝1，

解得?2

?b＝3，?

2

∴双曲线的标准方程为x－＝1. 3答案 x－＝1

3

x2y2

10．如图，双曲线2－2＝1(a，b＞0)的两顶点为A1，

abA2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则

(1)双曲线的离心率e＝________；

(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S1S2的比值＝________.

S2解析 (1)由题意可得a 3＋51＋5

，∴e＝. 22

3

2

2

y2

y2

b2＋c2＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝

b2＋c221bcS12bc2bc

(2)设sin θ＝22，cos θ＝22，＝2＝＝＝e－＝

2a22b＋cb＋cS24asin θcos θ4a2bc

22b＋c2＋5

. 2

1＋52＋5

答案 (1) (2)

22三、解答题

11．中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；

(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．

解 (1)由已知：c＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a，b，双曲线半实、虚轴长分别为m，n，

a－m＝4，??

则?1313

7·＝3·.?m?a

解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.

x2y2x2y2

∴椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.

493694

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，

所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213， |PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2

∴cos∠F1PF2＝

2|PF1|·|PF2|102＋42－?213?24

＝＝. 52×10×4

12．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；

→→

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0； (3)求△F1MF2的面积．

(1)解 ∵e＝2，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x2－y2＝6.

(2)证明 法一 由(1)知a＝b＝6，c＝23， ∴F1(－23，0)，F2(23，0)，

4

mm

∴kMF1＝，kMF2＝，

3＋233－23m2m2

∴kMF1·kMF2＝＝，

9－12－3又点(3，m)在双曲线上，∴m2＝3，

→→

∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，MF1·MF2＝0.

→→

法二 ∵MF1＝(－3－23，－m)，MF2＝(23－3，－m)， →→∴MF1·MF2＝(3＋23)(3－23)＋m2＝－3＋m2. ∵M在双曲线上，∴9－m2＝6， →→∴m2＝3，∴MF1·MF2＝0.

(3)解 ∵在△F1MF2中，|F1F2|＝43，且|m|＝3，

11∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝×43×3＝6.

2222xy

13．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且PF1

ab⊥PF2，|PF1|＝8，|PF2|＝6. (1)求双曲线的方程；

→→

(2)设过双曲线左焦点F1的直线与双曲线的两渐近线交于A，B两点，且F1A＝2F1B，求此直线方程．

解 (1)由题意知，在Rt△PF1F2中， |F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2， 即2c＝82＋62＝10，所以c＝5.

由椭圆的定义，知2a＝|PF1|－|PF2|＝8－6＝2，即a＝1. y2

所以b＝c－a＝24，故双曲线的方程为x－＝1.

24

2

2

2

2

(2)左焦点为F1(－5,0)，两渐近线方程为y＝±26x. 由题意得过左焦点的该直线的斜率存在．

设过左焦点的直线方程为y＝k(x＋5)，则与两渐近线的交点为?

?5k，106k??和

?26－k26－k?

?－5k，106k??k＋26k＋26?. ??

→→

由F1A＝2F1B，得

?5k＋5，106k??－5k＋5，106k??26－k?＝2??或者

26－k??k＋26k＋26??

5

5k106k??5k106k??

?－k＋26＋5，k＋26?＝2?26－k＋5，26－k?， ????26解得k＝±.

3

26

故直线方程为y＝±(x＋5)．

3

x2y2

14． P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的

ab1

左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. 5(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为→→→

双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．

x2y2x2y200解 (1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上，有2－2＝1.

ababy0y01

由题意有·＝，

x0－ax0＋a5

c30

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝. a5

222

??x－5y＝5b，

(2)联立?得4x2－10cx＋35b2＝0.

??y＝x－c，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?x＋x＝2，则?35b

xx＝.?4

1

2

2

12

5c

①

??x3＝λx1＋x2，→→→→

设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即?

??y3＝λy1＋y2.

22

又C为双曲线上一点，即x23－5y3＝5b，有

(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.

2222化简得λ2(x21－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.

②

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，

22222所以x21－5y1＝5b，x2－5y2＝5b.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

6

5k106k??5k106k??

?－k＋26＋5，k＋26?＝2?26－k＋5，26－k?， ????26解得k＝±.

3

26

故直线方程为y＝±(x＋5)．

3

x2y2

14． P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的

ab1

左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为. 5(1)求双曲线的离心率；

(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为→→→

双曲线上一点，满足OC＝λOA＋OB，求λ的值．

x2y2x2y200解 (1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线2－2＝1上，有2－2＝1.

ababy0y01

由题意有·＝，

x0－ax0＋a5

c30

可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝. a5

222

??x－5y＝5b，

(2)联立?得4x2－10cx＋35b2＝0.

??y＝x－c，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?x＋x＝2，则?35b

xx＝.?4

1

2

2

12

5c

①

??x3＝λx1＋x2，→→→→

设OC＝(x3，y3)，OC＝λOA＋OB，即?

??y3＝λy1＋y2.

22

又C为双曲线上一点，即x23－5y3＝5b，有

(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.

2222化简得λ2(x21－5y1)＋(x2－5y2)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b.

②

又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，

22222所以x21－5y1＝5b，x2－5y2＝5b.

由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2， ②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.

6

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