山东省济南市2012届高三3月高考模拟考试

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数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后将答题卡交回.

注意事项：

1. 答题前，考生务须用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科

类填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.

4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A、B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B);如果事件A、B独立,那么P(A∩B)=P(A) P(B).

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率: Pn(k)=Cknpk(1 p)n k(k=0,1,2, , n).

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1. 复数

1+i

4+3i111A. C. i B.

252525

的虚部是

D.

125

i

2. 直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，则k=

A. -3或-1 B. 3或１

C. -3或１ D. -1或3 3. 函数y=sinxsin

A.

π2

π

x 的最小正周期是 2

B. π C. 2π D. 4π 第4题图

4. 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）

视图的面积为

A. B. 4

C.

D.

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5. 设a= π0sinxdx,

则二项式 的展开式的常数项是

6

A. 160 B. -160

C. 240 D. -240 6. 如右图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有

A. 11种 B. 20种

C. 21种 D. 12种

第6题图

7. 函数

y=lg

1|x 1|

|的大致图象为

8. 设p:|4x-3|≤1，q: x-(2a+1)x+a(a+1)≤0，若非p是非q的必要而不充分条件，则实数a 的

取值范围是

A. 0, B. 0,

2 2 C. （－∞，0］∪ , D.（－∞，0）∪

2

1

1

, 2 S1212

S1010

2

1 1

9. 在等差数列 an 中，a1=-2 012 ，其前n项和为Sn，若

=2，则S2 012的值等于

A. -2 011 B. -2 012 C. -2 010 D. -2 013

1

10. 偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1)，且在x∈[0，1]时,f(x)=x ，则关于x的方程f(x)= ，在

10

x

x∈[0，4]上解的个数是

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 已知实数x,y满足|2x+y+1|≤|x+2y+2|，且-1≤y≤1，则z=2x+y的最大值

A. 6 B. 5 C. 4 D. -3

12. 在△ABC中，E、F分别为AB，AC中点.P为EF上任一点,实数x，y满足PA+xPB+

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yPC=0.设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记

S1S 1,

S2S 2,

S3S

3取最大值时，2x+y的值为 3,则 2

32

A. -1 B. 1 C. - D.

32

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数学（理工类）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

1. 第Ⅱ卷共2页，所有题目的答案考生须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区

域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效;作图时，可用2B铅笔；要求字体工整，笔迹清晰，在草稿纸上答题无效,考试结束后将答题卡和第Ⅱ卷一并上交.

2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚，密封线内答题无效.

二、 填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中横线上. 13. 随机变量ξ服从正态分布N(40, 2)，若P(ξ<30)=0.2，则P(30<ξ<50)= . 14. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S= . 15. 过双曲线

2

xa

22

yb

22

=1(a>0,b>0)的左焦点F，作圆

x y

22

a

4

的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于

点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为 . 16. 下列四种说法中正确的是 .

① “若am<bm,则a<b”的逆命题为真；

2

2

② 线性回归方程对应的直线y bx a一定经过其样本

数据点 (x1 y1),(x2 y2)， ，(xn,yn)中的一个点； 第14题图 ③ 若实数x,y∈[0.1],则满足：x y＞1的概率为

n

2

2

π4

；

④ 用数学归纳法证明(n+1)(n+2) (n+n)= 213 (2n-1)(n∈N*)时，从“k”到“k+1”的证

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明，左边需增添的一个因式是2(2k+1).

三、 解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

cos ,AB AC=3.

2A

（1） 求△ABC的面积； （2） 若c=1,求a、sinB的值. 18. （本小题满分12分）

已知等比数列 an 的前n项和为Sn，且满足Sn=3n+k， （1） 求k的值及数列 an 的通项公式； （2） 若数列 bn 满足19. （本小题满分12分）

如图,在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP⊥AB，AB=BC=

12

an 12

=(4 k)ab，求数列 bn 的前n项和Tn.

nn

AP=2，D是AP的中点，E，F，G

分别为PC、PD、CB的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.

第19题图

(1) 求证：平面PCD⊥平面PAD； (2) 求二面角G-EF-D的大小； (3) 求三棱椎D-PAB的体积. 20. （本小题满分12分）

一次考试共有12道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个是正确的.评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得5分，不答或答错得零分”.某考生已确定有8道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜.请求出该考生：

（1） 得60分的概率；

（2） 所得分数ξ的分布列和数学期望. 21. （本小题满分12分）

已知椭圆的焦点坐标为F1（-1,0），F2（1,0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，

（1） 求椭圆的方程；

（2） 过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在

最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.

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22. （本小题满分14分）

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数. （1） 当a=-1时，求f（x）的最大值；

（2） 若f（x）在区间（0，e］上的最大值为-3，求a的值； （3） 当a=-1时，试推断方程f(x)=

lnxx 12

是否有实数解.

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数学（理工类）参考答案

一、 选择题

1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. C 7. D 8. A 9. B 10. D 11. B 12. D 二、 填空题

13. 0.6 14. 20 15.

三、 解答题

3

17. 解：（1） cosA=2

×-1=, 2分 5 3而AB AC |AB| |AC|cosA=bc=3，∴bc=5 4分

54

又A∈（0，π），∴sinA=， 5分

5

114

∴S=bcsinA=×5×=2. 6分

225

（2） ∵bc=5,而c=1，∴b=5. 8分

222

∴a b c-2bccosA=20，a

=10分

16. ④

2

又

asinA

bsinB

，∴

sinB=

bsinAa

n

4

. 12分

n 1

18. 解（1） 当n≥2时由an Sn Sn 1 3 k 3

k 2 3

n 1

2分

a1 S1=3+k，所以k= 1， 4分

（2） 由

an 12

(4 k)

anbn

，可得bn

n2 3

n 1

,bn

3n

n, ６分 23

Tn

3 123n

７分 23n

2 3333

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1323

Tn

3 123n

9分 234n 1

2 3333 3 1111n

10分 23nn 1

2 33333

Tn

Tn

9 11n

12分 nn 1

4 22 33

19. 解 (1) 证明:方法一:

∵PD⊥平面ABCD

∴PD⊥CD 1分 ∵CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD 2分 ∵CD 平面PCD

∴平面PCD⊥平面PAD 3分 方法二：略（向量法）

（2） 如图以D为原点,以DA,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz.

则有关点及向量的坐标为: 4分

G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）

，EG=（1，1，-1） 5分 EF=（0，-1，0）

设平面EFG的法向量为n=（x，y，z）

y 0 x z n EF 0

. 第19题图 ∴ x y z 0 y 0 n EG 0

取n=(1,0,1) 6分

平面PCD的一个法向量, DA=(1,0,0) 7分

DA n ∴

cosDA,n 8分

|DA| |n|结合图知二面角G-EF-D的平面角为45° 9分 VD PAB VP DAB

13

S ABDPD=

13 12

2 2 2

43

12分

20. 解：（1） 设“可判断两个选项是错误的”两道题之一选对的为事件A，“有一道题

可判断一个选项是错误”选对的为事件B，“有一道题不理解题意”选对

的为事件C，

∴P（A）=

p=

12 1

12

1

13

14

，P（B）=，P（C）=，∴得60分的概率为

11 ． 4分 23448

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（2） ξ可能的取值为40，45，50，55，60 5分

P（ξ=40）=

12 1212 1223 2334 3418

； 6分

12 1

13112117

2342234481

1

3

1

1

2

P（ξ=45）=C12

7分 P（ξ=50）=

1

22342234223

1111117

； 8分

422344812

12

1

1

1

1

2

1

1

1

1

3

748

1 2 3 C2

1

1

C

12

P（ξ=55）=

34223422341111111111

P（ξ=60）=

C2

1

9分

648

1748

748

148

10分 （3） Eξ

=40×

+（45+50）×xa

22

+55×+60×=

57512

12分

21. 解：（1） 设椭圆方程为

由PQ|=3，可得

2

yb

22

=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1 1分

2ba

2

=3， 2分

解得a=2，b

43

（2） 设M(x1,y1)，N(x2,y2),不妨y1>0, y2<0,设△F1MN的内切圆的径R，

故椭圆方程为

x

y

2

=1 4分

则△F1MN的周长=4a=8，S FMN

1

1

12

（MN+F1M+F1N）R=4R

因此S FMN最大，

R就最大， 6分

SAMN

12

F1F2(y1 y2) y1 y2，

由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

x my 1

22由 x2y2得(3m

4)y+6my-9=0， ８分

1

3

4

得y1

12

，y2

，

则S AMN

AB（y1 y2）=y1 y2， 9分

令则t≥1,

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则S AMN

12t3t 1

1t

2

2

123t

1t

, 10分

令f（t）=3t+，则f′(t) =3-t

1

，

当t≥1时，f′(t)≥0,f(t)在［1,+∞)上单调递增，

有f(t)≥f(1)=4, S AMN≤

123123

=3,

=3, S AMN=4R，∴Rmax=

916

34

即当t=1,m=0时，S AMN≤

，

这时所求内切圆面积的最大值为π.

9

故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为

22. 解：(1) 当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′(x)=－1+

1x

161 xx

π 12分

1分

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.

∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数 3分 f(x)max=f（1）=-1 4分 (2) ∵f′(x)=a+

1e1x

，x∈(0,e］，

1x

∈ , 5分

e

1

① 若a≥ ，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0,e］上增函数

∴f(x)max=f（e）=ae+1≥0.不合题意 6分 ② 若a< ，则由f′(x)>0 a

e1

1x

>0，即0<x<

1a

由f(x)<0 a

1x

<0，即

1a

<x≤e.

从而f(x)在 0,

1 1

上增函数,在 ,e 为减函数 a a

1 1

=-1+ln 8分 a a

∴f(x)max=f 令-1+ln

1 1 =-3，则ln =-2 a a

∴

1a

=e，即a= e. ∵ e<

2 2 2

1e

,∴a= e为所求 9分

2

(3) 由（Ⅰ）知当a=-1时f(x)max=f（1）=-1，

∴|f（x）|≥1 10分 又令g（x）=

lnxx 12

,g′（x）=

1 lnxx

2

,令g′(x)=0，得x=e,

当0<x<e时，g′(x)>0,g(x) 在(0,e)单调递增；

当x>e时,g′(x)<0，g(x) 在(e,+∞)单调递减 11分

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∴g(x)max=g（e）=

1e

1

∴|f（x）|>g(x),即|f(x)|> ∴方程|f（x）|=

lnxx 12

2lnxx

<1, ∴g(x)<1 12分

12

13分

没有实数解. 14分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/wt24.html