上海市南洋模范中学2019届高三下学期3月月考数学试题（解析版）

2018学年南模中学高三年级三月份月考卷

数学

2019.3.6

一、填空题。

1.已知全集【答案】【解析】 【分析】

求出集合A，即可求解?UA

【详解】全集U＝R，集合A＝{x|x＞1或x<0} 则

＝

，若集合

，则

_________.

故答案为

【点睛】本题考查集合的基本运算，补集的求法，分式不等式解法，准确计算是关键，是基础题． 2.双曲线【答案】6 【解析】 【分析】

将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，c，可得焦距2c的值． 【详解】双曲线2x2﹣y2＝6即为可得a

，b

，c

3，

1，

的焦距为__________.

即焦距为2c＝6． 故答案为：6．

【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，焦距的求法，注意将双曲线的方程化为标准方程，运用双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题． 3.已知【答案】【解析】

1

二项展开式中的第五项系数为

，则正实数_____.

【分析】

由二项式定理的通项公式可得：【详解】T5∴解得a

，a＞0． ． ．

x﹣2，

，解出即可得出．

故答案为：

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，准确计算是关键，属于基础题． 4.已知函数【答案】-3 【解析】 【分析】 先求反函数：y即可得出． 【详解】由y∵函数f（x）

（a（a

），解得x

（y≠3），把x与y互换可得：y

，

，利用函数f（x）

（a

）图象与它的反函数图象重合，即为同一个函数

的图像与它的反函数的图像重合，则实数的值为___.

）图象与它的反函数图象重合，

∴﹣a＝3，解得a＝﹣3． 故答案为：﹣3．

【点睛】本题考查了反函数的求法及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.设，满足约束条件【答案】14 【解析】 【分析】

画出可行域，通过向上平移基准直线

到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.

在点

处取得最大值，且最大值为

，则目标函数

的最大值为_____.

【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数

.

2

【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 6.从集合

中随机选取一个数记为，从集合

中随机选取一个数记为，则直线不经过

第三象限的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】

将试验发生包含的事件（k，b）的所有可能的结果列举，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．

【详解】试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果． 而当

时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，

，

∴直线不过第三象限的概率P故答案为 ．

3

【点睛】本题考查古典概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，属于基础题． 7.设，是双曲线【答案】24 【解析】 【分析】

先由双曲线的方程求出|F1F2|＝10，再由3|PF1|＝4|PF2|，运用双曲线的定义，求出|PF1|＝8，|PF2|＝6，由此能求出△PF1F2的周长． 【详解】双曲线x

2

的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的周长为___.

1的a＝1，c5，

两个焦点F1（﹣5，0），F2（5，0）， 即|F1F2|＝10，

由3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|

x，

由双曲线的定义知，x﹣x＝2，解得x＝6． ∴|PF1|＝8，|PF2|＝6， |F1F2|＝10，

则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝8+6+10＝24． 故答案为：24．

【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题． 8.已知四面体【答案】1或【解析】 【分析】

取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，【详解】取BD中点O，连结EO、FO，

∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为， ∴EO∥CD，且EO

，FO∥AB，且FO

1，

，或

，由此能求出EF．

中，

，，分别为

，的中点，且异面直线

与

所成的角为，则

____.

∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角， ∴

，或

，

4

当∠EOF当

时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1． 时，EF

．

．

故答案为：1或

【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题 9.已知函数【答案】【解析】 【分析】

由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可． 【详解】∵函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴当x＞0时，﹣x＜0， ∴f（﹣x）＝x2﹣6，

由奇函数可得f（x）＝﹣x+6， ∴不等式f（x）＜x可化为解得x＞2

∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞） 故答案为：（2，+∞）

【点睛】本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题． 10.关于的方程【答案】7

在

上的解的个数是____. ，

2

是定义在上的奇函数，当

时，，则时，不等式的解集为____.

5

【解析】 【分析】 化简y=

从而作函数

的图像，从而可解

【详解】化简y=,作函数在上的图像如下：

结合图像可知，两个图像共有7 个交点 故答案为7

【点睛】本题考查函数与方程，函数的性质，三角函数，准确作图是关键，是中档题 11.任意实数，，定义且

，

，设函数

，则

，数列____.

是公比大于0的等比数列，

【答案】4 【解析】 【分析】 f（x）＝

，及其数列{an}是公比大于0的等比数列，且＝1，对公比q分类讨

论，再利用对数的运算性质即可得出．

6

【详解】由题

∵数列{an}是公比大于0的等比数列，且

，

，

①1＜q时，，，…，∈（0，1），，，∴

，

∈（1，+∞），1．

分别为：，，…，，1，q，…，q4． ∵∴∴∴

q42

0+

q

q

+…+

＝2， ．

．左边小于0，右边大于0，不成立，舍去． 1，∴

，

∈（0，1），

②0＜q＜1时，

分别为：，，…，，1，q，…，q4，，，…，∈（1，+∞），，，∵∴∴∴

4，

2

．

log2q

2

．

∴a1＝4．

③q＝1时，＝…＝＝…＝综上可得：＝4． 故答案为：4．

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、对数的运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

12.以正方形的四个顶点分别作为椭圆的两个焦点和短轴的两个端点，，，是椭圆上的任意三点（异于椭圆顶点），若存在锐角，使【答案】【解析】 【分析】

7

＝1，不满足舍去．

，（0为坐标原点）则直线，的斜率乘积为___.

或-2

设椭圆方程为，A（，），B（，），从而得到的坐标表示，然后，再根据M点在该椭圆

上，建立关系式，结合A、B点在也该椭圆上，得到，，从而得到相应的结果，同理

当椭圆方程为可得答案

，

【详解】由题意可设椭圆方程为又设A（，），B（，），因为M点在该椭圆上， ∴

，则

又因为A、B点在也该椭圆上， ∴

，

∴

即直线OA、OB的斜率乘积为同理当椭圆方程为故答案为：

或﹣2．

，

，

时直线OA、OB的斜率乘积为﹣2．

【点睛】本题重点考查椭圆综合，平面向量的坐标运算，注意审题仔细，要注意分类讨论椭圆的焦点位置，属于中档题．

二、选择题。

13.“A. 充分条件 C. 充分必要条件 【答案】A 【解析】

”是“不等式

成立”的（ ）

B. 必要条件

D. 既非充分也不必要条件

8

【分析】

解不等式|x﹣1|＜1，再由充分必要条件即可判断出结论．

【详解】不等式|x﹣1|＜1成立，化为﹣1＜x﹣1＜1，解得0＜x＜2， ∴“故选：A．

【点睛】本题考查了充分必要条件，绝对值不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

14.给出下列命题，其中正确的命题为（ ） A. 若直线和共面，直线和共面，则和共面；

B. 直线与平面不垂直，则与平面内的所有直线都不垂直； C. 直线与平面不平行，则与平面内的所有直线都不平行； D. 异面直线，不垂直，则过的任何平面与都不垂直. 【答案】D 【解析】

试题分析：A：直线共面不具有传递性，故A错误；B：根据线面垂直的判定可知B错误；C：若直线满足直线与平面不平行，故C错误；D：假设存在过的平面与垂直，则可知正确，故选D．

考点：空间中点、线、面的位置关系及其判定． 15.已知数列为（ ） A. C. 【答案】C 【解析】

试题分析：根据数列

的通项公式为

可知a=

,其前

项和

，那么可知的渐近线方

B. D.

的通项公式为

，其前项和

，则双曲线

的渐近线方程

，

”是“不等式|x﹣1|＜1成立”的充分条件．

，∴假设不成立，故D

，可知n=9,那么根据

程为

，选C.

,b= 3,故可知双曲线

考点：数列的求和，双曲线的性质

9

点评：主要是考查了数列的通项公式和双曲线的性质的运用，属于基础题。 16.已知平面直角坐标系中两个定点的图像上有且只有6个不同的点，使得A.

B.

，

，如果对于常数，在函数

成立，那么的取值范围是（ ） C.

D.

，

【答案】C 【解析】 【分析】

画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围． 【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4

，

（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2． ∴∴

（3﹣x，6+2x），

2

2

（﹣3﹣x，6+2x）．

2

x﹣9+（6+2x）＝5x+24x+27=

λ≤11． 时有一解，当

，

∵x∈[﹣4，﹣2]，∴∴当λ

或

λ≤9时有两解；

（2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2． ∴∴

（3﹣x，2），

2

2

（﹣3﹣x，2）．

x﹣9+4＝x﹣5，

∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1．

∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解； （3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4．

（3﹣x，6﹣2x），∴

（﹣3﹣x，6﹣2x），

x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27，

λ≤11．

时有一解，当

λ<9时有两解；

∵2＜x≤4，∴∴当λ

10

或

综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是故选：C．

λ＜﹣1．

【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题．

三、解答题。

17.如图，在圆锥

中，

为底面圆的直径，点为弧AB的中点，

.

（1）证明：平面；

与平面

所成的角.（结果用反三角函数表示）

（2）若点为母线的中点，求

【答案】（1）见证明；（2）【解析】 【分析】

（1）由圆的性质得出AB⊥OC，由SO⊥平面ABC得出SO⊥AB，故而AB⊥平面SOC；（2）连结OD，由AB⊥平面SOC可知∠ADO为所求角，设圆锥底面半径为a，求出OD，得出tan∠ADO,得解

【详解】

（1）证明：在圆锥中，

∵点为弧AB的中点，∴

11

∴由（2）联结∴设∴

为

，∵与平面

平面平面

所成的角 ，

，则

∴在中，

∴

【点睛】本题考查了线面垂直的判定，线面角的计算，熟记判断定理，准确找到所成角是关键，属于中档题． 18.已知函数（1）求（2）在

的最小正周期及判断函数中，

，函数

，

，

. 的奇偶性；

，若任意实数恒有

，求

面积的最大值.

【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由

是非奇非偶函数;（2）

化简得

将

则周期可求，计算

平方，得t的二次不等式，利用

，得

；，，

可判奇偶性；（2）由题得进而得【

详由

求得最大值

解

】

（

1

）

所以，的最小正周期为

；

，

所以，函数（2）由

12

是非奇非偶函数.

得

因为是由

的内角，所以0

，得

两边平方，整理得，所以得所以

则有

且

对任意实数恒成立

（当且仅当

所以，当

时，

面积的最大值为

等号成立）

【点睛】本题考查三角恒等变换，向量数量积，三角形面积，熟记三角公式，灵活运用二次不等式转化

是关键，是中档题

19.数列

满足：

，

，且，

的通项公式；

成立的自然数恰有4个，求正整数的值.

，

（2）

，成等差数列，其中

.

（1）求实数的值及数列（2）若不等式【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）由题意和等差中项的性质列出方程求出λ，再利用累加法求出数列{an}的通项公式；（2）结合条件对n进行分类讨论，当n≥3时利用分离常数法化简得p

，利用取特值和做商法判断出

的单调性，

再判断出的单调性，根据条件即可求出正整数p的值．

，

【详解】（1）由题意：∵，∴∵∴故

，

，成等差数列，

，解得：，

，检验n=1 成立

13

（2）解：∵∵当∴当又若即

时，，

，；当

，

，∴时，

，∴

显然成立

，设

时，

，

；

还需有2解，则，解得

，

，所以正整数

【点睛】本题考查了等差中项的性质，累加法求数列的通项公式，以及数列单调性的判断与应用，考查方程思想与分类讨论思想的应用，是难题 20.教材曾有介绍：圆

上的点

与椭圆

上的点

处的切线方程为

。我们将其结论推广：椭圆

，在解本题时可以直接应用。已知，直线

处的切线方程为

有且只有一个公共点.

（1）求的值；

（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点化时，求

面积的最大值；

作直线与该椭圆交于、两点，在线段上，请说明理由.

上存在点，使

。当变

（3）在（2）的条件下，经过点成立，试问：点是否在直线【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）将直线y＝x

（2）

（3）见解析

代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a

14

的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线,,，再将M代入上式，结

合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点在直线设

、、

化简得

【详解】（1）联立

、

、，即在直线

整理得，且

，将上.

，于是

代入椭圆方程，结合

上，因为

、

，向量坐标化，得

、

在椭圆上，整理

依题意（2）设将

即

、

于是直线、的方程分别为

且

、

代入、的方程得的方程为

所以直线联立

显然，由，是该方程的两个实根，有面积

的绝对值，即

，

即

当且仅当时，“=”成立，取得最大值

上，因为、，即

，且

、

（3）点在直线设于是

、

、

、

又，

，

，即在直线

上.

15

【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题． 21.一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：

………

（1）求第2行和第3行的通项公式

和

；

关于，使得

时，都有

.

的表达式；

… …

）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，

；

为数表中第行的第个数.

（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求（3）若

，

，试求一个等比数列，且对于任意的

【答案】（1）（2）见证明；（3）【解析】 【分析】

.

。

，均存在实数，当

.

（1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）根据条件建立方程关系即可求出f（i，1）的表达式．（3）根据条件寻找等比数列g（i），即可得到结论． 【详解】（1）

.

（2）由已知，第一行是等差数列，假设第则由

（常数）知第

数表中除最后2行以外每一行都成等差数列； 由于

，

，所以

，由

得于是

16

行是以为公差的等差数列，

行的数也依次成等差数列，且其公差为

.综上可得，

，所以

，

， ，

即所以，数列所以，（3）

，又因为，

是以2为首项，1为公差的等差数列，

，所以

，

，

.

令，

.

，

，

，

令，则当时，都有

.

，

∴适合题设的一个等比数列为

【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，裂项相消求和，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大，是难题

17

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