初中数学动点问题专题复习及答案

初中数学动点问题练习题

1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形边

ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的

AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点BAB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运

MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；

时运动终止），过点M、N分别作动的时间为t秒．

1、线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形（2）线段MN在运动的过程中，四边形

MNQP的面积为S，运动的时间为t．求四边形MNQP的面

C Q

积S随运动时间t变化的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

2、如图，在梯形

P

A M N

B

ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）当MN∥AB时，求t的值．

（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

A D N

B C

M

3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点 A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(4，3)，点C在y轴的正半轴上．动点M在OA上运动，从O点出发到A点；动点N在AB上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC？

y (2)设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式， B C 并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ N

O M A x

1

(3)连接AC，那么是否存在这样的t，使MN与AC互相垂直？ 若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 4、（河北卷）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？

（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由．

5、（山东济宁）如图，A、B分别为x轴和y轴正半轴上的点。

P 2

OA、OB的长分别是方程x－14x＋48＝0的两根(OA＞OB)，直线BC平分∠ABO交x轴于C点，P为BC上一动点，P点以每秒1个单位的速度从B点开始沿BC方向移动。

(1)设△APB和△OPB的面积分别为S1、S2，求S1∶S2的值； y C (2)求直线BC的解析式；

B (3)设PA－PO＝m，P点的移动时间为t。 ①当0＜t≤45时，试求出m的取值范围；

②当t＞45时，你认为m的取值范围如何(只要求写出结论)？

A D Q B P x O C A ＝3cm,现有6、在?ABC中，?C?Rt?,AC?4cm,BC?5cm,点D在BC上，且以CD两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移

动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE∥BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。

（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；

2y(cm)，求y与月份x?EDQ（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设的面积为

的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当x为何值时，?EDQ为直角三角形。

EAPBQDC2

cm（如图1）7（杭州）在直角梯形ABCD中，?C?90?，高CD?6。动点P,Q同时从点B出发，点P沿BA,AD,DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，两点运动时的速度都是1cm/s。而当点P到达点A时，点Q正好到达点C。设P,Q同时从点B出发，经过的时间为

t?s?y?cm?时，?BPQ的面积为（如图2）。分别以t,y为横、纵坐标建立直角坐

2标系，已知点P在AD边上从A到D运动时，y与t的函数图象是图3中的线段MN。 （1）分别求出梯形中BA,AD的长度； （2）写出图3中M,N两点的坐标；

（3）分别写出点P在BA边上和DC边上运动时，y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y关于t的函数关系的大致图象。

y

ADAD 30 P B COBxA(0，43)8、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点在正半轴上，且tBQC（图1） （图2） （图3） ∠ABO?30．动点P在线段AB上从点A向点B以每秒3个单位的速度运动，设运动

时间为t秒．在x轴上取两点M，N作等边△PMN． （1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当等边△PMN的顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当

0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

3

yy

APC E OMONBxDBx

（图1） （图2）

9、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．

A1（1）如图2，求当x=2时，y的值是多少？

（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值； （3）求y与x之间的函数关系式；

10、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成直线

?AC1D1和

?BC2D2两个三角形（如图2所示）.将纸片

?AC1D1沿

D2B（AB）方向平移（点

A,D1,D2,BBC2始终在同一直线上），当点

D1于点B重合时，停

止平移.在平移过程中，（1）当

C1D1与交于点E,

AC1与

C2D2、BC2D1E与

分别交于点F、P.

?AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的

D2F的数量关系，并证明

你的猜想； （2）设平移距离

D2D1为x，

?AC1D1与

?BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数

关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；使得重叠部分的面积等于原?ABC面积

1的4？若不存在，请说明理由.

4

C1C2CC1 C2 P

FE

ABABDD1D2D1BAD2 图1

图2 ，AB=8cm，BC=26cm，动点图3 P从点A开始，1. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm

沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。

已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t秒，问：

（1）t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？

（2）在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？ （3）t为何值时，四边形PQCD是直角梯形？

PAD（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形？

CBQ

2. 如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点

P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C 开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时 出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t(s)，t为何值时，四边形APQD也为矩形？

3. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD?BC?5cm,AB=12 cm,CD=6cm , 点P从

A开始沿AB边向B以每秒3cm的速度移动，点Q从C开始沿CD边向D以每秒1cm的速

度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒。

3（1）求证：当t=2时，四边形APQD是平行四边形；

（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD；若不能，请说明理由；

Q

D C （3）若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

B A

P 4. 如图所示，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过O作直线MN//BC，设MN交?BCA的平分线于

点E，交?BCA的外角平分线于F。 （1）求让：EO?FO；

5

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。

A AE

（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，且BC M O F N 6

E =2，求?B的大小。

D' B C D 5. 如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D

A落在点D’处，求重叠部分⊿AFC的面积. BF

CD

6. 如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、

A F D CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。

（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明。

P （2）PE是否总过某一定点，并说明理由。

（3）四边形PQEF的顶点位于何处时，

E 其面积最小，最大？各是多少？

B Q C

7. 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（E点不与B、C两点重合），EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G. ⑴求证：四边形EFOG的周长等于2 OB；

⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2 OB”

A仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、D求证、不必证明. O FG

BE图10C如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，

已知AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒． (1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；

(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？

(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

6

（1）NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|

（2）若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4

此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样（1）

NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t| （2）

若t时刻满足条件，则满足矩形ABNQ面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4

此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样的t。t。

9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点． 如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）． （1）当x为何值时，OP∥AC ?

（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）

A

10、已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点 P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两 点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题： （1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

PBQC7

（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的

关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；

（2005?宁德）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，DB=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym2． （1）求AD的长及t的取值范围；

（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；

（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．

（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、DB=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所

示∴AB∥DE ∴四边形ABED为矩形， ∴DE=AB=12cm 在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm ∴EC=5cm

∴AD=BE=BC-=EC=3cm（2分） 点P从出发到点C共需=8（秒）， 点Q从出发到点C共需=8秒（3分）， 又∵t≥0，

∴0≤t≤8（4分）；

（2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分） ∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上 ∴PC=16-2t

过点P作PM⊥BC于M，如图所示 ∴PM∥DE ∴=即=

∴PM=（16-2t）（7分） 又∵BQ=t ∴y=BQ?PM =t?（16-2t） =-t2+t（3分），

（3）当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大； 当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大； 当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分） 注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分． ②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）

③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）

8

答案

1.解:(1)作CH垂直AB于H,则AH=AB/2=2,CH=√(AC2-AH2)=2√3.

当MN在移动过程中,点M与N在CH两侧,MH=NH时,根据对称性可知,四边形MNQP为矩形.

∴MH=NH=MN/2=0.5,AM=AH-MH=2-0.5=1.5,即t=1.5时,四边形MNQP为矩形. PM⊥AB,CH⊥AB,则PM∥CH,⊿APM∽⊿ACH,PM/CH=AM/AH.

即PM/(2√3)=1.5/2,PM=3√3/2.四边形MNQP的面积为:PM*MN=(3√3/2)*1=(3√3)/2. (2)①当0≤t≤1时,PM/CH=AM/AH,PM/(2√3)=t/2,PM=√3t; QN/CH=AN/AH,QN/(2√3)=(t+1)/2,QN=√3t+√3. ∴S=(PM+QN)*MN/2=(2√3t+√3)*1/2=√3t+√3/2. ②当1

2.(1)

(2) sin∠C=4/5由

于

sin∠MNC=sin(180-∠C-∠NMC) =sin(∠C+∠NMC)

=sin∠Ccos∠NMC+sin∠NMCcos∠C =(4/5)(√2/2)+(√2/2)(3/5) =7√2/10 再

由

正

弦

定

CM=10-2T

，MN//AB

，，

BC=4+3+3=10

CN=T cos∠C=3/5 ∠NMC=45°

理：

CN/sin∠NMC=CM/sin∠MNC T/(√2/2)=(10-2T)/(7√2/10) T=70/19 (3) 此

MNC

为

等时

腰

三

角

形，

，

有

三

种

情

况

：

i.∠C=∠NMC

∠MNC=180-2∠C

sin∠MNC=sin(2∠C)=2sin∠Ccos∠C=24/25 CM/sin∠MNC=CN/sin∠C

9

(10-2T)/(24/25)=T/(4/5) T=25/7

ii.∠C=∠MNC 同T=60/17

iii.∠MNC=∠NMC 此10-2T=T T=10/3

时

，

CM=CN

理

，

得

：

(10-2T)/(4/5)=T/(24/25)

3.求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解．过B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，

根据勾股定理即可求出AB的长．如果MN∥OC，那么△AMN∽△ABD，可的关于AN，AB，AM，AD的比例关系，其中AN=t，AM=6-t，AD=3，AB=5，由此可求出t的值．（2）由于三角形CMN的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的“和，差”关系来求．△CMN的面积=梯形AOCB的面积-△OCM的面积-△AMN的面积-△CBN的面积．可据此来得出S，t的函数关系式．然后根据函数的性质即可得出S的最小值．（3）易得△NME∽△ACO，利用相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值． 解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3．在Rt△ABD中，AB=32+42=5．当MN∥OC时，MN∥BD，∴△AMN∽△ADB，AN/AB=AM/ AD．∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，∴t5=6-t3，即t=154（秒）．

（2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，∵NE∥BD，∴△AEN∽△ADB，EN/DB=AN/AB．即EN4=t5，EN=45t．∵EF=CO=4，∴FN=4-45t．∵S=S梯形OABC-S△COM-S△MNA-S△CBN，∴S=12CO（OA+CB）-12CO?OM-12AM?EN-12CB?FN，=12×4×（6+3）-12×4t-12×（6-t）×45t-12×3×（4-45t）．即S=25t2-165t+12（0≤t≤5）．由S=25t2-165t+12，得S=25（t-4）2+285．∴当t=4时，S有最小值，且S最小=285．（3）设存在点P使MN⊥AC于点P由（2）得AE=35t NE=45t∴ME=AM-AE=6-t-35t=6-85t，∵∠MPA=90°，∴∠PMA+∠PAM=90°，∵∠PAM+∠OCA=90°，∴∠PMA=∠OCA，∴△NME∽△ACO∴NE：OA=ME：OC∴45t6=6-85t4 解得t=4516∴存在这样的t，且t=4516． 4.(1)

PC=12-3t

CQ=4t 0<=t<=4 0<=t<=4

S△PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t2 SPCQD=48t-12t2

(2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（12-3t）:4t=3:4 t=2

<3>存在，t=12/11。 设在时刻t，PD//AB，延长QD交AB于E，过P作PF⊥AB（如图1，下面只给出计算，证明过程略）。 ∵△APF∽△ABC

10

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