磁悬浮实验装置安装使用说明与自动控制原理实验V1.02

Googol Technology

磁悬浮实验装置

安装使用说明与

自动控制原理实验

V1.02

固高科技（深圳）有限公司

2006年10月

?Googol 2006

固高科技（深圳）有限公司

GOOGOL TECHNOLOGY (SHENZHEN) LTD

版权声明

固高科技（深圳）有限公司

保留所有版权

固高科技(深圳)有限公司（以下简称固高科技）具有本产品及其软件的专利权、版权和其它知识产权。未经授权，不得直接或间接的复制、制造、加工、使用本产品及相关部分。

声明

固高科技保留在不预先通知的情况下修改设备和文档的权力。

固高科技不承担由于使用本说明书或本产品不当，所造成的直接的、间接的、特殊的、附带的、或相应的损失和赔偿。

商标声明

Windows 和 Microsoft 为Microsoft 公司注册商标。

Mathematica为沃尔夫勒姆研究公司（Wolfram Research Inc.)公司注册商标。Matlab为Mathworks公司注册商标。

?Googol 2006 I

?Googol 2006 II 安全注意事项

磁悬浮实验装置主要用于教学和科研。在安装，使用和维护之前，请仔细阅读本装置附带手册。请将本手册妥善保存，以备需要时随时查阅。

使用注意事项

使用（安装、运转、保养、检修）前，请务必熟悉并全部掌握本手册和其它相关资料，在熟知全部机器知识、安全知识、以及注意事项后再使用设备。 本手册将安全注意事项分为“危险”“注意”“强制”“禁止”分别记载。

表 1-1警告标志

不正确的操作将会导致重大人身事故。

不正确的操作会导致设备损坏。

必须要做的操作。

被禁止的操作。

另外，即使“注意”所记载的内容，也可能因为不同的情况产生严重后果，因此任何一条注意事项都很重要，在设备使用过程中请严格遵守。

虽然不符合“危险”“注意”的内容，但是用户在使用过程中必须严

格遵守的事项，在相关地方以记载。

z本手册记述了安全上一般应该注意的事项，在实际实验环境下实验研究人员的安全措施不可能完全记载，敬请原谅。

z为了安全的使用磁悬浮实验装置，用户必须按照本说明书的要求对设备操作及维护人员进行安全教育，直接操作人员必须认真阅读磁悬浮实验装置所有说明书。

z本手册中的图以及相片，为代表性实例，和实际产品可能有所不同；

z由于破损或是丢失说明书需要定购说明书，请与我公司销售部门联系；

z客户自行进行产品改造，不在本公司保修范围之内，本公司概不负责。

z在操作运行的机器中，存在一定的危险，请实验人员注意可能会出现的危险情况。

?Googol 2006 III

内容简介

这是一本为科技馆或高校工科自动化和机电一体化的专科、本科以及研究生编写的实验教科书，可以作为控制领域各门控制课程的配套实验教材，本书的主要内容包括经典控制理论的部分实验内容和现代控制理论的部分实验内容。

经典控制理论内容包括实际系统模型的建立、仿真，根轨迹分析和控制器设计、频率响应分析、PID控制分析等内容；现代控制理论内容主要包括模糊控制等。本书实验内容主要基于固高科技(深圳)有限公司的磁悬浮实验装置上完成。

?Googol 2006 IV

前言

前言

利用磁力使物体处于无接触悬浮状态的设想是人类一个古老的梦想。但实现起来并不容易，因为磁悬浮技术是集电磁学、电子技术、控制工程、信号处理、机械学、动力学为一体的典型的机电一体化技术。

随着电子技术、控制工程、信号处理元器件、电磁理论及新型电磁材料的发展和转子动力学的进展，磁悬浮技术得到了长足的发展。近年来，磁悬浮技术在很多领域得到广泛的应用，如磁悬浮列车、主动控制磁悬浮轴承、磁悬挂天平、磁悬浮小型传输设备、磁悬浮测量仪器、磁悬浮机器人手腕、磁悬浮教学系统等。尤其是磁悬浮列车更具有代表性，许多国家已经取得了初步的成果，其中主要集中在法国、德国、和日本。

在国内，磁悬浮技术的研究起始于80年代初，目前我们已掌握了磁悬浮列车的技术，但由于进行高速磁悬浮列车技术的研究耗资巨大，所以在目前情况下我们还不能采取国外以实验为主的研究方法，而主要从理论上进行研究，在此基础上进行模拟试验，为我国磁悬浮技术提供理论依据。

在全国一千多所普通高校中，80％的学校开设了自动控制/自动化相关的课程，但绝大多数的关于此领域的实验设备以倒立摆系统为主，磁悬浮控制系统的实验装置很难见到，而且几乎都为国外产品。因此，要想更好的培养此方面的人才，使学生在校期间就具有相应的、牢固的知识储备，配套的实验设备是必不可少的。基于此种目的，本公司设计出一套基于磁悬浮球控制技术的实验系统，达到国外同等产品的水平，以满足高校实验设施的需求。

固高磁悬浮实验装置适应如下课程的实验：自动控制原理，现代控制理论，现代控制工程，非线性系统控制，智能控制，模糊控制和神经网络控制等等。本书针对固高磁悬浮装置组织了一系列实验，教师可以根据学生实际情况开设相应的实验课程。在开设本书实验课程时，用户必须具备本产品所附的相关说明书。

?Googol 2006 V

目录

目录

版权声明.............................................................................................................................................I 声明...............................................................................................................................................I 商标声明.............................................................................................................................................I 安全注意事项....................................................................................................................................II 使用注意事项....................................................................................................................................II 内容简介...........................................................................................................................................IV 前言..............................................................................................................................................V 目录.............................................................................................................................................VI

第一篇安装使用说明 (1)

1.系统组成 (1)

2.硬件安装 (1)

3.软件安装 (2)

4.使用说明 (2)

第二篇自动控制原理实验 (6)

第1章磁悬浮系统介绍 (6)

1.1磁悬浮系统简介 (6)

1.2磁悬浮技术的应用领域 (6)

1.3磁悬浮系统的特性 (8)

1.4控制器的设计 (8)

第2章电磁学理论基础 (9)

2.1铁磁物质磁性的研究 (9)

2.2毕奥—萨伐尔定律 (11)

第3章光电位置传感器分析 (15)

3.1传感器原理 (15)

3.2传感器装置及后处理电路 (16)

3.3传感器标定实验 (17)

第4章磁悬浮建模、仿真及实验 (21)

4.1磁悬浮的物理模型 (21)

4.1.1微分方程的推导 (21)

4.1.1.1控制对象的动力学方程 (21)

4.1.1.2系统的电磁力模型 (22)

4.1.1.3电磁铁中控制电压与和电流的模型 (23)

4.1.1.4功率放大器模型 (25)

4.1.1.5系统平衡的边界条件 (25)

?Googol 2006 VI

目录

4.1.1.6系统方程的描述 (25)

4.1.1.7系统模型线性化处理 (25)

4.1.1.8系统控制模型的建立 (28)

4.1.2系统物理参数 (29)

4.1.3实际系统模型 (30)

4.1.4系统可控性分析 (30)

4.1.5系统的阶跃响应分析 (32)

4.2根轨迹控制实验 (33)

4.2.1根轨迹分析 (33)

4.2.2根轨迹校正和仿真 (35)

4.2.2.1根轨迹校正 (35)

4.2.2.2MATLAB计算仿真 (39)

4.2.2.3MATLAB Simulink仿真 (43)

4.2.3根轨迹校正实时控制实验 (49)

4.2.3.1实验结果及实验报告 (51)

4.3频率响应控制实验 (53)

4.3.1频率响应设计及仿真 (55)

4.3.2频率响应校正法实验 (63)

4.3.3实验结果及实验报告 (65)

4.4PID控制器设计实验 (66)

4.4.1PID控制器的基本原理 (66)

4.4.1.1比例作用 (66)

4.4.1.2积分作用 (66)

4.4.1.3微分作用 (66)

4.4.2数字PID控制算法 (67)

4.4.2.1位置式PID控制算法 (67)

4.4.2.2增量式PID控制算法 (68)

4.4.3PID控制器的参数整定与仿真 (68)

4.4.4PID控制实验 (73)

4.4.4.2实验结果与实验报告 (76)

4.5模糊控制器设计实验 (77)

4.5.1模糊控制算法的理论基础 (77)

4.5.1.1模糊控制器的工作原理 (77)

4.5.2模糊PID控制器 (80)

4.5.2.1模糊PID控制器的结构 (81)

4.5.2.2模糊PID控制器的基本形式 (81)

4.5.2.3模糊PID控制器的设计步骤 (82)

4.5.3模糊PID的实现 (82)

4.5.3.1确定系统的输入输出变量 (82)

4.5.3.2PID参数模糊调整规则 (84)

4.5.3.3模糊推理及解模糊化 (88)

4.5.3.4模糊PID在Matlab下的实现 (88)

4.5.3.5实验结果及分析 (91)

第5章附录 (93)

?Googol 2006 VII

目录

5.1维护及常见故障处理 (93)

5.2图表目录 (93)

?Googol 2006 VIII

第一篇安装使用说明

第一篇安装使用说明 1.系统组成

磁悬浮实验装置主要由LED光源、电磁铁、光电位置传感器、电源、放大及补偿装置、数据采集卡和控制对象(钢球)等元件组成。它是一个典型的吸浮式悬浮系统。系统组成框图见下图。

图示 I 系统组成结构图

2.硬件安装

1.安装数据采集卡

将数据采集卡从防静电袋取出之前，请将手与有效接地的导体接触，以去除静电。不要用手接触卡上的芯片，以免损坏数据采集卡

?检查数据采集卡外观是否有损坏。板卡出厂前均通过反复检查和测试，保证其质量可靠。但是不排除运输等意外损坏的存在。如果板卡表面有损坏，请不要使用，立即与我们联系。

?板卡在出厂时，已经按照一般的通用要求设置成缺省状态。通常用户不需要更改他们。

?关闭计算机电源，打开机箱。

?将数据采集卡插入主机中空闲的PCI插槽中。

1

第一篇安装使用说明

?用螺钉锁紧数据采集卡和转接头。

?合上机箱。

2.连线

?检查本体右侧船型电源开关处于OFF状态，如没有则打到关闭（OFF）状态。?开关打到Dig档时，用配套相应电缆将插在PC中的数据采集卡和磁悬浮实验本体连接起来，进行数字量控制实验。

?开关打到Ana档时，用配套相应电缆将模拟量控制模块和磁悬浮实验本体连接起来，无须安装任何其他部件，即可进行模拟量控制实验(模拟量控制模块电路也可以自主设计搭建)。

3.软件安装

系统所附带的实验软件运行于Windows操作系统，需要Matlab6.5版软件和VC++6.0及相关工具的支持。

z驱动安装

数据采集卡PCI1711驱动程序的安装：将PCI型数据采集卡安装完毕后、计算机加电启动进入操作系统。系统自动搜索新硬件后，会提示用户插入磁盘进行驱动程序的安装，取消，进入Windows系统，装入随数据采集卡产品所带的驱动安装盘，从光驱启动运行安装程序，根据板卡的型号，选择相应的驱动程序，按照提示一步步进行。

注意：先安装板卡自带Device Manager，再安装PCI1711驱动程序。

安装完成后，进入系统属性框。查看设备管理器中是否有Advantech DA&C I/O cards中的 Advantech PCI1711S Device标识的硬件。若有且正确显示则说明数据采集卡安装成功。若没有此硬件，则需要重新安装，详细请查看数据采集卡说明书。

z系统实验软件安装

在Windows 环境下进入资源管理器，将光盘中程序目录拷贝到硬盘中，直接点击指定Matlab Setup安装包里安装文件，即可启动安装实时控制程序（详细请参考固高自动控制软件使用说明书，详细见光盘）。

在进行系统连线、拆卸与安装前，必须关闭系统所有电源。

使用前请仔细检查各个部分连线，是否有松动或断线处。

检查传感器和光源之间是否有障碍物。

系统运行时，传感器和光源之间不应有太大干扰。

照相机闪光灯尽量不要正对传感器透光缝隙。

4.使用说明

z RTW应用工具箱简介

2

第一篇安装使用说明

MatLab软件提供了一个实时开发环境，可用于实时系统仿真和产品的快速原型化，这一点是通过特殊应用工具箱——Real-Time Workshop(RTW)实现的。RTW是MatLab图形建模和仿真环境Simulink的一个重要的补充功能模块，简言之，它是一个基于Simulink的代码自动生成环境。它能直接从Simulink的模型中产生优化的、可移植的和个性化的代码，并根据目标配置自动生成多种环境下的程序。本系统软件是在实时视窗目标（Real-Time Windows Target）环境下实现的。

z系统操作步骤：

1)第一次使用需先安装数据采集卡驱动程序。

利用产品所附带的采集卡驱动光盘，安装相应的驱动程序完成后，双击进入Real Control 模块，双击Analog Input和Analog Output模块，选择Install new board\Advantech\PCI1711,安装数据采集卡，如图示 III所示。

图示 II 数据采集卡驱动接口图

安装完毕后，进行检测。单击Board setup弹出上一步安装的数据采集卡测试对话框Advanctech PCI-1711，复选Auto-detect选项，然后点击Test按钮，将出现测试成功对话框，如图示 IV所示。

3

第一篇安装使用说明

图示 III 数据采集卡安装框图

图示 IV 采集卡测试流程图

2)下面以PID Control Demo为例，简要介绍软件的使用方法。

4

第一篇安装使用说明

（进入MATLAB Simulink 实时控制工具箱“Googol Education Products”打开“Magnetic Levitation System \ PID Experiments”中的“PID Control Demo”）

图示 V PID控制程序框图

3)对程序进行编译（Ctrl+B），然后点击连接按钮。

4)单击Start real-time code 按钮，开始实时控制。

5)在调试过程中若参数不合适可在线双击PID Controller模块弹出参数对

话框，在其中实时修改适合的参数，不需要停止程序，重复5~6步骤使

小球浮起。

6)双击“Pos Ref”模块可以在线实时调整小球稳定的位置。

7)完成实验后按停止键停止程序运行。

8)退出Matlab工作环境。

9)关闭电脑与系统电源。

5

第1章 磁悬浮系统介绍

6 第二篇 自动控制原理实验

第1章 磁悬浮系统介绍

1.1 磁悬浮系统简介

磁悬浮球控制系统是研究磁悬浮技术的平台，它是一个典型的吸浮式悬浮系

统。系统结构图如下图 1.1。

图 1.1 磁悬浮实验系统结构图

电磁铁绕组中通以一定的电流会产生电磁力F ，只要控制电磁铁绕组中的电流，使之产生的电磁力与钢球的重力mg 相平衡,钢球就可以悬浮在空中而处于平衡状态。为了得到一个稳定的平衡系统，必须实现闭环控制，使整个系统稳定具有一定的抗干扰能力。本系统中采用光源和光电位置传感器组成的无接触测量装置检测钢球与电磁铁之间的距离x的变化，为了提高控制的效果，还可以检测距离变化的速率。电磁铁中控制电流的大小作为磁悬浮控制对象的输入量。

1.2 磁悬浮技术的应用领域

1) 磁悬浮列车

目前国外在磁悬浮方面的研究工作主要集中在磁悬浮列车方面，进展很快，以从实验研究阶段转向试验运行阶段。在日本，已建成多条常导和超导型试验线路。其中大江试验线长1.53km ，HSST-100低速磁悬浮列车于1991年1月开始在该线上进行为期2年的系统测试和评估，取得了令人满意的结果。德国的埃姆斯兰特试验线长31.5km ，研制成功TR07型时速450km 的磁悬浮列车。在取得一系列研究和试验结果后，1990年日本开始建造速度为500km/h 、长48.2km 的超导磁悬浮

第1章磁悬浮系统介绍

列车路线。德国则在2005年建成柏林到汉堡之间284km的常导型磁悬浮列车正式运营路线，其速度为420km/h。此外，法国、美国、加拿大等国也在这方面进行了总多项目的研制和开发。目前国内经过“七五”前期研究和“八五”联合攻关，在常导低速磁悬浮列车方面已取得许多重要成果，已经具备建设应用型低速常导磁悬浮列车试验示范的能力。国防科技大学和铁道部科学研究所合作于1995年5月成功研制出第一台吸力型单转向架磁悬浮列车YDC-III。

2)磁悬浮轴承

磁悬浮轴承的研究是国外另一个非常活跃的研究方向，磁悬浮轴承广泛应用于航天、航天、核反应堆、真空泵、超洁净环境、飞轮储能等场合。目前磁力轴承的转速已达到80000转/分，转子直径可达12米，最大承载力为10吨。我国在这方面研究起步较晚，1980年清华大学开始进行定性研究。1986年哈尔滨工业大学开始研究五维主动式磁力轴承，并获国家自然科学基金资助，1990年成功地实现了静、动态稳定悬浮。目前国内还没有一个实际应用的例子，原因是磁力轴承是集众多学科于一体的高科技产品，有许多理论和实际技术问题需要解决。

3)高速磁悬浮电机

高速磁悬浮电机(Beatingless Motors)是近些年提出的一个新的研究方向，它集磁悬浮轴承和电动机于一体，具有自动悬浮和驱动的能力，且具有体积小、临界转速高等特点。国外自90年代中期开始对其进行了研究，相继出现了永磁同步型磁悬浮电机、开关磁阻型磁悬浮电机、感应型磁悬浮电机等各种结构。磁悬浮电机的研究越来越受到重视，并有一些成功的报道，如磁悬浮电机应用的生命科学领域，现在国外已研制成功的离心式和振动时磁悬浮人工心脏血泵，采用无机械接触式磁悬浮结构不仅效率高，而且可以防止血细胞破损，引起溶血、凝血和血栓等问题。

4)磁悬浮的其他应用领域

磁悬浮技术在其他领域也有很多应用：

风洞磁悬浮系统：这是60年代初就开始发展的研究方向，美国、苏联等为了发展自己的空中优势，花费了相当大的人力、物力。在风洞中小尺寸的飞行器模型，不用任何接触支撑或悬挂而仅靠磁力悬浮，因而可不受干扰的测量飞行器的空气动力学性能，并能直接测量其动力稳定性和控制参数。

磁悬浮隔振系统：磁悬浮隔振是一种新型的主动式隔振方法，他在振源和载荷之间用主动控制的磁场支撑，使振源和载荷之间完全脱离机械接触，由于外加主动控制，磁悬浮隔振的静态刚度和动态隔振效果可以方便的进行调解。

磁悬浮熔炼：磁悬浮熔炼是采用感应电流使金属熔化，且利用感应技术使融化后的金属熔体悬浮于空中，不与任何物体接触。这种非接触的熔炼方法可避免传统熔炼方法中炉料和熔炼金属以及炉子的接触。这样可以减少金属合金中的杂质，提高金属的性能，降低金属成品的废品率。

7

第1章磁悬浮系统介绍

1.3 磁悬浮系统的特性

虽然磁悬浮的应用领域繁多，系统形式和结构各不相同，但究其本质都共同具有以下特性：

1.本质非线性 磁悬浮是一个典型的非线性复杂系统。实际中可以通过

线性化得到系统的近似模型，线性化处理后再进行控制，也可以利用非

线性控制理论对其进行控制。

2.不确定性 主要是模型误差以及电磁干扰，各种外界因素等，实际控

制中一般通过减少各种误差，如通过采用遮光罩和增强背景光等措施来

减少干扰误差，利用风扇来降低电磁铁温升等不确定因素。

3.开环不稳定性 磁悬浮系统的稳定状态只有一个，即当电磁力与所悬

浮对象的重力平衡时，但这种状态是建立在系统为闭环的情况下。我们

知道若系统处于开环状态下，只要有轻微的干扰即可破坏平衡状态。

磁悬浮的以上特性增加了其控制的难度，也正是由于磁悬浮的这些特性，使其更加具有研究价值和意义。

1.4 控制器的设计

控制器的设计是磁悬浮系统的核心内容，因为磁悬浮系统是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器。目前典型的控制器设计理论有：PID控制、根轨迹法以及频率响应法、状态空间法、最优控制理论、模糊控制理论、神经网络控制、拟人智能控制、鲁棒控制、自适应控制，以及这些控制理论的相互结合组成更加强大的控制算法，都可以在磁悬浮平台上很方便地进行试验。

8

第2章 电磁学理论基础

9 第2章 电磁学理论基础

2.1 铁磁物质磁性的研究

在电磁元件中，为了能用较小的电流产生较强的磁场，得到较大的磁力，通常把产生磁场的线圈绕在由铁磁材料制成的、具有一定形状的铁芯上。由于铁磁材料的导磁性能要远比空气好，使磁通主要集中在铁磁物质内，形成一条闭合的磁路。

铁磁材料的磁性可用其磁导率来μ来表示，

它反映了给定的输入磁场产生磁通时的难易程度，通常它们的磁导率比真空中的磁导率要大几百倍到几千倍。将未被磁化过的磁性材料放到由恒定电流产生的磁场中，使外磁场逐渐增大，材料中的磁感应强度B的变化曲线如图 2.1所示。可以看出，/B H μ=是非线性的。当磁场强度H 变化时，导磁系数μ

变化很大。

图 2.1磁化曲线

当磁化电流为交变电流时，将未被磁化过的磁性材料放到磁场中，经过反复磁化后，便得到一条闭合的磁滞回线，如图 2.2所示。其中r B 为剩磁感应强度，

c H 为矫顽磁力，m B

为饱和磁感应强度。

图 2.2 磁滞回线

按照磁滞回线形状的不同，可将磁性材料分为软磁性材料和硬磁性材料。前者具有导磁系数大、矫顽力小、磁滞损失小、易磁化、剩磁少等优点，即软磁性材料的磁滞特性要比硬磁性材料的磁滞特性要硬。与其他类型的磁性材料相比，软磁材料还具有较稳定的高频特性。EMI 抑制器件的磁芯或EMI 吸收磁环通常选

第2章 电磁学理论基础

10 用软磁材料来制作，因此，在磁悬浮列车上选用的基本上都是软磁性材料，如硅钢、软铁、铁氧铁、铸铁等。

下面主要关心其磁导率的频率特性、饱和特性以及温度特性等。

饱和特性是选择EMI 吸收磁性材料的一项重要参数。图 2.2 中，B-H 曲线随H增大而趋向平缓，其微分磁导率减小，从而使电感减小，这种效应就称为磁性材料的饱和。而磁场强度H 是由电流通过线圈引起的，它满足以下关系：

H NI ∝

其中N 为线圈匝数；I 为电流。

所以在选择EMI 抑制器件磁芯或磁环时，要注意考虑材料的磁饱和问题；尤其对于工作电流较大的设备，须综合考虑电感量、线圈匝数及材料特性的选择，电感量一般不宜太大。

频率特性反映了磁性材料的磁导率随频率的变化情况。磁性材料的磁导率并非恒定不变，而是随频率的升高而变化的。定义初始磁导率μI为直流磁导率。图

2.3 为两种典型软铁磁性材料的磁导率-频率特性曲线。MnZn 材料的初始磁导率很高，约为1200~8000 左右，但随着频率的升高，磁导率下降很快；NiZn 材料的初始磁导率较低，约为80~800，但随着频率的升高，磁导率缓慢增大。因此，在选用材料时，若干扰电流的频率f 大于临界频率0f （见图 2.3）时，宜采用NiZn 材料；反之应选用MnZn 材料。具体选用时，由于各种材料的具体特性不同，因此临界频率0f 不容易准确给出，但应根据干扰频率的主要分布频段，低频干扰采用MnZn 材料，高频干扰采用 NiZn 材料。

图 2.3 铁磁性材料磁导率~频率特性

温度特性反映磁性材料的初始磁导率随温度的变化关系。军用电子设备的环境温度范围为-55℃~+85℃，为了满足在此温度范围内正常工作，必须考虑磁性材料的温度特性。衡量材料温度特性的关键指标称为居里温度。图 2.4 为某种材料的温度特性：当温度超越居里温度后，磁导率会急剧下降，磁性材料转变为非磁性材料，导致该磁芯的电感量急剧减小，直至失去电感特性。

第2章 电磁学理论基础

11

图 2.4 磁性材料的温度特性

本实验装置中电磁铁选用了整块的软铁加工成铁芯，防止由于剩磁过大而使使铁芯无法释放，铁芯的截面定为圆型，半径取经验值r =22mm，保证足够大的吸力。

2.2 毕奥—萨伐尔定律

毕奥.萨伐尔 (Felix Savart, 1791-1841，法国物理学家.)，分析了许多电流回路产生磁场的实验数据，总结出一条说明两者之间关系的普遍定律，称为毕奥-萨伐尔定律，即：电流元I d l 在真空中给定场点P 所激发的磁感强度d B 的大小，与电流元的大小I d l 成正比，与电流元的方向和由电流元到场点P 的位矢r 间的夹角(d l ，r )之正弦成正比，并与电流元到点P 的距离r 之平方成反比。亦即：

毕奥-萨伐尔定律给出了一段电流元I d l 与它所激发的磁感强度d B 之间的大

小关系：

02sin(,)4Idl dl r dB r

μπ= 这里提到的位矢r ，标示磁场中点P 相对于电流元I d l 的位置，它的方向从电流元所在处指向点P ，它的大小就是电流元到点P 的距离，(d l ，r )是指电流元Id l 与r 之间小于180°的夹角，也可表示为 θ=(d l ，r )。

考虑到电流元I d l 、位矢r 和磁场d B 三者的方向，电流元的磁场可写成矢量形式：

电流元Idl 、位矢r 和磁场dB 三个矢量的方向之间服从右手螺旋法则，由此可确定电流元磁场dB 的方向。

第2章 电磁学理论基础

12

电流本质上是电荷的运动，毕奥-萨伐尔定律的微观实质是运动电荷产生的磁场的集体效果，显然可以反过来从毕奥-萨伐尔定律推出运动电荷的磁场公式。

将一段电流元放大，如图根据电流强度的定义，可知其微观量的表述形式为：

，代入毕奥-萨伐尔定律公式，在真空中电流元Idl 所激发的磁场，其磁

感强度的大小为：

(a) 将电流元放大，如下图所示。按电流强度的定义，有

把上式代入式(a)，并因电流元Idl 的方向和载流子速度的方向相同，

即

得

(b)

磁场可认为就是电流元内这d N 个运动电荷所激发的。这样，根据式(b)，得到其中每一个带电粒子所激发的磁感强度B 的大小为

(c)

写成矢量形式： ，运动电荷磁场B 的方向垂直于和r 所组成的平面，其指向亦适合右手螺旋法则。

应用毕奥-萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具体步骤为：

1. 首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元I d l ，并标出I d l 到

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