2015届高考人教版数学（理）大一轮复习（2009-2013高考题库）第2章 第8节 函数与方程

2009~2013年高考真题备选题库 第2章 函数、导数及其应用

第8节 函数与方程

考点 函数零点与方程的根

1．(2013安徽，5分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1

A．3 C．5

B．4 D．6

解析：本题主要考查函数与导数以及函数与方程的基础知识，意在考查考生的数形结合思想、推理论证能力以及创新意识．因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2.则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根，即f(x)

＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根的个数之和．由上述可知函数f(x)在区间(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是单调递增的，在区间(x1，x2)上是单调递减的，又f(x1)＝x1

答案：A

2．(2013天津，5分)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：本题考查函数零点，意在考查考生的数形结合能力．函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的1

零点个数即为函数y＝|log0.5x|与y＝x图象的交点个数．在同一直角坐标系中作出函数y＝

21

|log0.5x|与y＝x的图象，易知有2个交点．

2

答案：B

3．(2013湖南，5分)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为( )

A．3 C．1

B．2 D．0

解析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图象及性质，考查对数值的取值范围的探究及数形结合思想．由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图象的下方，故函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5

的图象有2个交点．

答案：B

4．(2013重庆，5分)若a

A．(a，b) 和(b，c)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内

B．(－∞，a)和(a，b)内 D．(－∞，a) 和(c，＋∞)内

解析：本题考查函数的零点，意在考查考生数形结合的能力．由已知易得f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，故函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．

答案：A

5．(2013福建，5分)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为( )

A．14 C．12

B．13 D．10

解析：本题考查集合、方程的根、计数原理等基础知识，意在考查考生的综合能力．因为a，b∈{－1,0,1,2}，可分为两类：①当a＝0时，b可能为－1或1或0或2，即b有4种不同的选法；②当a≠0时，依题意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.当a＝－1时，b有4种不同的选法，当a＝1时，b可能为－1或0或1，即b有3种不同的选法，当a＝2时，b可能为－1或0，即b有2种不同的选法．根据分类加法计数原理，(a，b)的个数共有4＋4＋3＋2＝13.

答案：B

6．（2012辽宁，5分）设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]13时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为( )

22

A．5 C．7

B．6 D．8

解析：由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图像，13

如图．由图可知函数y＝g(x)，y＝f(x)在[－，]图像有6个交点，故h(x)＝g(x)

2213

－f(x)在[－，]上的零点有6个．

22

答案：B

7．（2012天津，5分）函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A．0 C．2

B．1 D．3

解析：法一：函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数即为函数y＝2x，y＝2－x3

在区间(0,1)内的图像的交点个数，作出图像即可知两个函数图像在区间(0,1)内有1个交点，故原函数在区间(0,1)内的零点个数是1.

法二：由题意知f(x)为单调增函数且f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0， 所以在区间(0,1)内有且只有一个零点． 答案：B

8．（2012湖北，5分）函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A．4 C．6

B．5 D．7

πkπ＋(k＝0,1,2,3,4)，

2

π

解析：令xcos x2＝0，则x＝0，或x2＝kπ＋，又x∈[0,4]，因此xk＝

2共有6个零点．

答案：C

1

9．（2011新课标全国，5分）函数y＝的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像所

1－x有交点的横坐标之和等于( )

A．2 C．6

B．4 D．8

解析：如图，两个函数图像都关于点(1,0)成中心对称，两个图像在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.

答案：D

10．（2011山东，5分）已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )

A．6 C．8

B．7 D．9

解析：由f(x)＝0，x∈[0,2)可得x＝0或x＝1，即在一个周期内，函数的图像与x轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．

答案：B

?x2＋2x－3，x≤0，?

11．（2010福建，5分）函数f(x)＝?的零点个数为( )

??－2＋lnx，x>0

A．0 C．2

解析：法一：令f(x)＝0得，

B．1 D．3

???x≤0?x>0?2或?，

??x＋2x－3＝0?lnx＝2?

∴x＝－3或x＝e2.

法二：画出函数f(x)的图象可得其图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有2个零点． 答案：C

1

12．(2009·天津，5分)设函数f(x)＝x－lnx(x>0)，则y＝f(x)( )

31

A．在区间(，1)，(1，e)内均有零点

e1

B．在区间(，1)，(1，e)内均无零点

e

1

C．在区间(，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点

e1

D．在区间(，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点

e111

解析：f()＝＋1>0，f(1)＝－0>0，

e3e3e

f(e)＝－1<0，根据闭区间上根的存在性定理．

3答案：D

2??x，x≥2，

13．（2011北京，5分）已知函数f(x)＝?若关于x的方程f(x)＝k有两

???x－1?3，x＜2.个不同的实根，则实数k的取值范围是____．

解析：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当0＜k＜1时，函数 f(x)与y＝k的图像有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)． 答案：(0,1)

14．(2009·山东，4分)若函数f(x)＝ax－x－a(a＞0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax与函数y＝x＋a交点的个数，由函数的图象可知a＞1时两函数图象有两个交点，0＜a＜1时两函数图象有唯一交点，故a＞1.

答案：(1，＋∞)

15．(2009·广东，14分)(本小题满分14分)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线

g?x?

y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1(m≠0)．设f(x)＝，

x

(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； (2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点． 解：∵y＝g′(x)＝2ax＋b的图象与直线y＝2x平行， ∴a＝1.

又∵y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1， b

∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，

2a所以b＝2，c＝m.从而f(x)＝

g?x?m

＝＋x＋2. xx

(1)已知m≠0，设曲线y＝f(x)上点P的坐标为 P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为 |PQ|＝?x－0?2＋?y－2?2＝ ＝＝

m22x＋2＋2m≥

x

2

m

x2＋?＋x?2

xm22x·2＋2m

x

2

2

22|m|＋2m，

2

m2

当且仅当2x＝2?x＝±

x∵|PQ|的最小值为2，

|m|时等号成立． 2∴22|m|＋2m＝2?2|m|＋m＝1. ①当m＞0时，解得m＝1

＝2－1. 2＋1

1

②当m＜0时，解得m＝＝－2－1.

1－2故m＝2－1或m＝－2－1. (2)y＝f(x)－kx的零点， m

即方程＋(1－k)x＋2＝0的解，

x

m

∵m≠0，∴＋(1－k)x＋2＝0与(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解．

xm

①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0?x＝－≠0，

2m

所以函数y＝f(x)－kx有零点x＝－. 2②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判别式 Δ＝4[1＋m(k－1)]．

1

若Δ＝0?k＝1－，

m

此时函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m. 若Δ＞0?1＋m(k－1)＞0，

11

∴当m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－时，

mm方程(k－1)x2－2x－m＝0有两个解． 1＋1＋m?k－1?1－1＋m?k－1?

x1＝和x2＝. k－1k－1此时函数y＝f(x)－kx有两个零点x1和x2. 若Δ＜0?1＋m(k－1)＜0，

11

∴当m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－时，

mm方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解， 此时函数y＝f(x)－kx没有零点．

1

若Δ＝0?k＝1－，

m

此时函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m. 若Δ＞0?1＋m(k－1)＞0，

11

∴当m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－时，

mm方程(k－1)x2－2x－m＝0有两个解． 1＋1＋m?k－1?1－1＋m?k－1?

x1＝和x2＝. k－1k－1此时函数y＝f(x)－kx有两个零点x1和x2. 若Δ＜0?1＋m(k－1)＜0，

11

∴当m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－时，

mm方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解， 此时函数y＝f(x)－kx没有零点．

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