2.4.1抛物线及其标准方程

高二数学选修2-1,三维设计,三章全部。

2.4.1 抛物线及其标准方程

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．

问题1：画出的曲线是什么形状？ 提示：抛物线

问题2：|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

提示：是．AB是直角三角形的一条直角边． 问题3：点D在移动过程中，满足什么条件？ 提示：|DA|＝|DC|.

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点Fl.

平面直角坐标系中，有以下点和直线：A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1.

问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝4x.

问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝－4x.

问题3：到定点C和定直线l3，到定点D

和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？

提示：x2＝4y，x2＝－4y.

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抛物线标准方程的几种形式

1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线．

2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点取决于一次项，开口取决于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就2p2p2p2p

在x或－，相应的准线是x＝－或x＝)；如果含的是

4444y的一次项，有类似的结论．

3．抛物线标准方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．

[例1] (1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)；

(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．

[思路点拨] 确定抛物线的类型→设出标准方程→确定参数→写出方程

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[精解详析] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，p

设其方程为x2＝2py(p>0)2，所以2p＝8，故抛物线的标准方程为x2＝8y.

2

(2)∵点(3，－4)在第四象限，

∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝x－2p1y(p1>0)．

把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，169即2p2p1＝34

169∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2.

34(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．

∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.

[一点通] 求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2＝ay(a≠0)．

x2y2

1．以双曲线＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )

169A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x

D．y2＝－8x

x2y2

解析：由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上．由a2＝16，得a＝4，∴该双曲

169线右顶点的坐标是(4,0)，∴抛物线的焦点为F(4,0)．设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，p

则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.

2

答案：A

2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．

解：(1)法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)， ∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， p

则焦点坐标F(0)．

2

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m＝6p，

由题意知 22

m＋ 3－2 ＝5，

2

p＝4， p＝4，

解得 或

m＝26， m＝－2∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26. 法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， pp则焦点坐标F(0)，准线方程x＝.

22由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5， 即点M到准线的距离等于5，

p

则3＋5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.

2又点M(－3，m)在抛物线上， ∴m2＝24，∴m＝±2，

∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26. (2)∵p＝4，∴抛物线的焦点坐标为(－2,0)， 准线方程是x＝2.

[例2] P，使|PF|＋|PA|的值最小．

[思路点拨] 把|PF|转化为点P到准线的距离→画出草图→数形结合 →求出点P的坐标

[精解详析] ∵(－2)2<8×4，

∴点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部．

如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B.

由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.此时P的横1坐标为－2，代入x2＝8y得yP＝.

2

1

故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(

－2，)．

2

[一点通] 利用抛物线的定义可实现抛物线上的点到焦点和到准线距离的相互转化．解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用；其次是注意平面几何知识的应

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用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线中垂线段最短等．

3．点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( ) A．相交 C．相离

B．相切 D．位置由F确定

p

解析：如图，抛物线的焦点为F(，0)，M为PF的中点，准线是l：x＝

2pp

－作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么|PF|＝|PH|，且|QH|＝|OF|＝作MN⊥y22111轴于N，则MN是梯形PQOF的中位线，即|MN|＝OF|＋|PQ|)＝|PH|＝|PF|，

222故以PF为直径的圆与y轴相切．

答案：B

4．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )

2

B．3 9D. 2

5

解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到1

焦点的距离．由图可知，P点，A(0,2)点，抛物线的焦点F(，0)三点

2共线时距离之和最小．所以最小距离

d＝|AF|＝ 答案：A

17 0－2＋ 2－0 2＝22

[例3] 20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米．现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部中央船体高5米，宽16米，且该货船在现有状况下还可多装1 000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米．若不考虑水下深度， 问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？

[思路点拨] 分析题意→建立平面直角坐标系→设出抛物线标准方程 →

确定点的坐标求

p→利用方程求值→回答实际问题

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[精解详析] 如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x轴，竖直直线为y轴，建立直角坐标系．

∵拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米， ∴A(10，－2)．

设桥孔上部抛物线方程是x2＝－2py(p>0)， 则102＝－2p(－2)，∴p＝25，

1

∴抛物线方程为x2＝－50y，即y＝－x2.

50若货船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时， 1

y＝－82＝－1.28，

50

即船体在x＝±8之间通过，B(8，－1.28)，此时B点距水面6＋(－1.28)＝4.72(米)． 而船体高为5米，∴无法通行． 又∵5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7， 150×7＝1 050(吨)，

所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加1 050吨，而船最多还能装1 000吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔．

[一点通] 涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问题，通常用抛物线的标准方程解决．建立直角坐标系后，要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．

5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是( )

A．11.25 cm C．20 cm

B．5.625 cm D．10 cm

解析：如图，建立直角坐标系，设抛物线方程是y2＝2px(p>0)． ∵A(40,30)在抛物线上， 45∴302＝2p×40，∴p＝，

4∴光源到反光镜顶点的距离为

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45p245

＝＝＝5.625 (cm)． 248答案：B

6．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．

a

解：以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，－

2a

，如图所示．

4

设隧道所在抛物线方程为x2＝my， aa则(2＝m·(，∴m＝－a， 24即抛物线方程为x2＝－ay.

0.82将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.8＝－ay，即y＝－.

a

2

a

欲使卡车通过隧道，应有y－(－)>3，

4a0.82即4a

解得a>12.21或a<－0.21(舍去)． ∴使卡车通过的a的最小整数值为

13.

1．求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式，易混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定型”(确定焦点位置)→定量(参数p的值)的程序求解．

2．应用定义可以解决两类问题：①求抛物线的方程；②涉及抛物线的最值问题，通常将到焦点的距离转化为到准线的距离，充分利用直角梯形的性质解题．

1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是( ) A．(0,1)

B．(1,0)

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1

C．(0，)

16

1

D．(，0)

16

1

解析：由y＝4x2得x2＝y，

4

1

∴抛物线焦点在y轴正半轴上且2p＝，

411∴p(0，)．

816答案：C

x2y2

2．若抛物线y＝2px的焦点与椭圆1的右焦点重合，则p的值为( )

62

2

A．－2 C．－4

B．2 D．4

解析：由椭圆方程可知a＝6，b＝2， ∴ca－b＝2，

p

∴椭圆右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.

2答案：D

3．(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )

3 45 4

B．1 74

1

解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点到y轴的距离为(|AF|＋|BF|)

21315－－＝4244

答案：C

4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF3，那么|PF|＝( )

A．43 C．83

B．8 D．16

解析：由抛物线的定义得|PF|＝|PA|， 由直线AF的斜率为－3， 可知∠PAF＝60°.

△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝

4

8. cos60°

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答案：B

5．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________． p

解析：由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－.又圆的方程为(x－3)2＋y2

2p

＝16，∴圆心为(3,0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.

2

答案：2

6．(2012·陕西高考)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽______米．

解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系．设

抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为6米．

答案：27．根据下列条件求抛物线的标准方程．

(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)抛物线的焦点在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. x2y2

解：(1)双曲线方程化为－1，

916左顶点为(－3,0)． 由题意设抛物线方程为 －p

y2＝－2px(p>0)3，

2∴p＝6，

∴方程为y2＝－12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)． p

由抛物线定义得5＝|AF|＝|m|.

2又(－3)2＝2pm， ∴p＝±1或p＝±9，

故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

8．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下．若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为多少米？(精确到

1 m)

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解：如图所示，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． 依题意有P′(1，－1)在此抛物线上， 1

代入得p＝2

故得抛物线方程为x2＝－y.

B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得x＝2， 即|AB|＝2，则|AB|＋1＝2＋1，

因此所求水池的直径为2(1＋2) m，约为5 m， 即水池的直径至少应设计为5 m.

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